基于“學為中心”教育觀的“分式的基本性質”教學探索及反思

張煒

[摘 要] “學為中心”的教育觀就是將教師“以教論學”轉變成“以學論教”的課堂教學模式，強調學生是學習的主體. 在這樣的教育觀的指導下，教學探索的重點目標是“學什么，為什么學，怎樣學”等重要內容.

[關鍵詞] 教育觀；學為中心；教學探索

“學為中心”的教育觀是教與學的辯證關系的一種看法. 初中數學“學為中心”教育觀的基本觀點是：首先，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者. 其次，學生的學是課堂教學的核心，學什么、為什么學、怎樣學等應成為教學探索的重要內容. 特別是在學習過程中，除了獲得相應的基礎知識和基本技能的提升，更重要的是學習之后問題探索思維上的提升，基本數學思想方法及基本活動經驗的收獲. 但筆者在浙江省象山縣舉行的以浙教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》七年級下冊“5.2 分式的基本性質”為載體的“同課異構”式“學為中心”的數學教師培訓活動中發現，課堂教學存在著共同的問題：學什么、為什么學、怎樣學等內容存在缺失或者顯得突兀. 這有悖于“學為中心”的教育觀，不能滿足教與學和諧發展的需要. 基于此，筆者對本節課重新進行了進一步地教學探索，本文簡錄其教學過程，并提供教后反思，以饗讀者.

教學過程簡錄

第一階段：以探索有價值的“數學題材”為載體的活動

環節1：課前預習——自主探索

課前，教師設計如下的“先行組織者”供學生課前預習，并允許合作探討.

（3）已知這樣一個表達式：+2b，請同學們任意給出你喜歡的a，b的值. 老師馬上就能給出答案，你知道其中的奧妙嗎？

反思：在問題（1）中每一組左邊的分式化成右邊的分式體現了什么思想？其數學本質是什么？

在問題（2）中，根據圖1和圖2的聯系，能給你哪些啟示？

在問題（3）中，你能發現老師速算的秘訣嗎？你從中獲得哪些啟發？根據分數與分式的類比性，你從中獲得分式的哪些不變性？

環節2：匯報交流——矯正互學

上課一開始，教師出示課前布置的問題，要求學生匯報預習成果，并進行交流. 必要時，教師進行追問、激勵與評析. 在此基礎上，教師進行總結.

問題（1）中的每一組彼此相等，前兩個等式的左邊，分子、分母采用擴大倍數，分子、分母擴大的倍數分別是6倍、10倍；后三個等式的左邊采用分子、分母縮小倍數，縮小的倍數分別是2a3，x，a-b. 每個分式從左邊到右邊是化歸的思想，其數學本質是將分式的變形轉化成分子、分母中整式的變形. 分子、分母的系數從分數化為整數，在變化中存在不變性. 后三個等式中從左到右的變形體現了數學運算的簡約性.

在問題（2）中圖1的寬=，圖2的寬=，在寬不變的前提下，面積與長擴大或縮小的倍數一致，這是后續研究正比例與反比例的關鍵. 圖形的直觀性有利于直觀認識周圍世界的變化，從變化中發現規律；“數”的抽象通過“形”的直觀來刻畫，有利于學生用直觀、多維度的眼光看世界.

在問題（3）中分式約分之后為a-b，再合并同類項a-b+2b=a+b. 在運算的過程中，分式的合理變形是分式運算化難為易的重要環節. 如何合理變形？如何學以致用？分式的基本性質蘊涵在分式的運算中，類比不僅在分式基本性質的產生中，同時也在分式的運算中. 類比不能局限在分式基本性質產生的認識上，應具有全面性，既要與分數變形上的橫向類比，也應該注意與整式甚至是代數式的縱向比較.

第二階段：以生成“數學方法和理論”的引導探究

環節3：引導探究——合作研討

師：既然分式的基本性質是形成分式變形的關鍵，是分式的約簡和分式混合運算中分母變形的核心依據，這決定了從數學角度來認識分式性質的必要性. 這節課的研究對象就是分式的基本性質（揭示課題）.

接著教師提出以下具有挑戰性的問題：分式的性質可以類比分數，那么你認為分式的基本性質在運用中會出現哪些易錯點？請大家合作研討并發表自己的觀點，結合具體的實例來說明.

以下是學生在獨立學習的基礎上小組合作交流后的匯報結果：

師：非常好，在變化中尋求不變性是研究數學的基本思想，但需要科學的方法. 分式的基本性質從書寫形式上可以根據分子、分母的整式特點分為單項式和多項式；根據運算的變形特點分為特殊（符號變化）到一般（字母系數的變形）；從運算的類別可以劃分為分式的約分（縮小倍數）和分式的通分（擴大倍數）；從運算的題型可以劃分為三種表現形式，第一種是字母系數符號的變形，第二種是字母最高次項的系數的變形，第三種是分式的約分與通分. 這些都是認識分式基本性質的視角.

環節4：建構理論，綜合概括

在此基礎上，進行分式基本性質的知識點結構的概括.

把一個分式的分子和分母的公因式約去，叫作分式的約分，約分要約去分子、分母所有的公因式. 分子、分母沒有公因式的分式叫作最簡分式.

（1）本質是同變與不變，即：分子與分母同時乘以或者除以不為零的整式（簡稱同變），分式的值不變（簡稱不變）.

（2）蘊含的數學思想：從特殊（具體的實例）到一般（抽象的字母）；化歸（從分式整體的變形化為分式的分子、分母中整式的變形）；類比（分式的基本性質類比分數的基本性質）.

（3）研究方法：觀察、猜想、歸納、概括、驗證.

（4）數學價值：將分式的運算化歸到整式的運算，分式的簡潔美.

（5）研究分式的基本性質的基本過程是“三部曲”：①學什么——分式的基本性質. 即在分式的值不變的前提下，分式的變化化歸到分子、分母中整式的變化. ②為什么學——解決含有分式的運算、變形等問題. ③怎樣學——方案1：類比分數的除法法則，猜想、歸納、概括、驗證、歸納法的運用，從特殊到一般，化歸思想. 方案2：從生活材料的問題解決進行抽象、概括、猜想、驗證，數形結合思想.endprint

（6）分式與分數的聯系結構圖（圖3）.

第三階段：以解決“具體問題”為載體的數學應用

環節5：嘗試應用——檢測評價

教師提出3個問題，學生在獨立學習的基礎上交流合作，必要時教師進行積極地認知干預及解題過程的示范.

問題1：填空.

（3）用分式表示下列各式的商，并約分：①14ab÷（-21ab2）；②（3a2+a）÷（1+6a+9a2）.

設計意圖：進一步鞏固綜合運用有關知識與經驗解決實際問題的能力，強化“為什么學”.

環節6：反思拓展——深化認識

問題1：分式的分母中字母的系數化為整數要乘的倍數是怎樣確定的？

問題2：分式的分子與分母中含有字母最高次項的系數化為正數，通常將負號放在哪里？

問題3：分式的分子與分母什么情形下適合約分？什么情形下適合通分？約分和通分與分式的基本性質的關系是什么？

第四階段：以交流“問題清單”內容為載體的反思總結

環節7：回顧思考——交流合作

教師在解題后反思的基礎上，列出“問題清單”，要求學生在思考的基礎上匯報.

（1）分式的基本性質是什么？學習分式的基本性質有何意義？

（2）分式的約分與分式的基本性質的關系是什么？你認為約分時的注意事項有什么？

（3）分式的通分與分式基本性質的關系是什么？你認為分式通分時的注意事項是什么？

（4）分式的基本性質中數學思想方法有哪些？

（5）你在學習的過程中獲得了哪些數學活動經驗？有何感觸？

（6）你認為分式還應該研究什么呢？

環節8：歸納提煉——課堂總結

教師在傾聽學生匯報后，讓學生欣賞分式的基本性質的自述，這部分內容可以移至課后.

Hi！我是分式的基本性質. 我的本質是整式除法運算的變化特點. 我是在分式的值不變的前提下的一種書寫變形. 從運算的方式上我的出現有兩種，一種是分子與分母擴大倍數，通分的需要；另一種是分子與分母縮小倍數，約分的需要. 我的親緣是分數的基本性質，你想熟悉我的性格可以和我的兄弟（分數）進行類比. 從整式的特點細化我為三種形式：第一種是特殊的倍數（-1），也稱為符號變化，含有字母的最高次項的系數從負數變為正數；第二種是含有字母的系數從分數（或小數）化為整數，這樣我的外表可以更簡潔、靚麗；第三種是我在分式值不變的前提下，可以增肥也可以瘦身，也稱為通分（或約分）. 你們之所以喜歡我，因為我是分式運算的源泉. 沒有我的出現，分式的任何運算都會失靈. 我的變形具有多樣性，但也具有不變性，抓住不變與同變是關鍵. 不變是分式的值不變，同變是指分子與分母同時改變. 你可以用認識分數的變形來理解我，也可以用化歸的思想，從整式除法的特點來認識我的變化. 正確掌握我的變化，是后續分式運算的依據. 你在認識我的過程中，還能發展智力、能力和個性.

教學反思

1. “學為中心”的課堂教學應還給學生真實的“學習過程”

《義務教育數學課程標準》（2011年版）（以下簡稱新課標）指出，有效的課堂教學在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求解決問題的過程. “學為中心”就是把學生對于知識發生、發展的認識過程作為課堂的核心，教學設計圍繞學生對于新知識的思考過程. 有專家指出，有效的課堂教學本質就是過程與結果的和諧關系. 知識的獲得既要有結果，也要有相應的過程. 應當既有認知的“前半段”，即：學什么，也要有認知的“后半段”，即為什么學、怎樣學. 認知過程的前半段是感性到理性的認識過程，以獲得數學結果（或解決問題）；認知過程的后半段是理性認識的加深并反作用于實踐.

通過反思來欣賞數學結果，感悟蘊含的數學思想方法等過程. 具體講，首先通過在預習先行組織者中提出問題，思考問題揭示課題的現實意義：學什么、怎樣學. 其次，通過問題解決和解題后的反思揭示課題的數學意義：為什么學. 課堂教學的最終目的是實現學生解題思維的升華，是在以學習材料為載體的基礎上實現知識與能力的提升，實現從現象看本質，體會解題過程中蘊含的數學思想方法與解題經驗的提煉過程；是在“做中學”中實現“授之魚”到“授之漁”的發展過程.

在感受問題解決的全部過程中認識數學是過程教育，揭示了課題學習的教育意義：數學是一門科學，科學的認識是需要探究過程的，是滿載著疑惑，不斷地進行思維詮釋的憤悱的啟發過程. 這個過程不是教師教、學生聽、機械模仿的被動式教學，是以學生的學習經歷過程為核心，從不知到知之，再到熟知的歷程. 通過學生參與問題互動式過程，得到問題的解決、方法的歸納，問題解決后方法、經驗的反思總結與提煉.

其具體操作方法有以下幾個特點. ①類比結合確定學什么——分式的基本性質，并初步形成理論. ②數形結合確定為什么學——分式的基本性質現實意義化，化抽象為直觀. ③化歸結合確定怎樣學——分式的基本性質，類比到分數的基本性質可以溫故而知新，轉化到整式的認識，提煉分式基本性質的本質——不變與同變. 這符合學生“最近發展區”的認識，通過從知識的形成、發展、理解、應用的認識過程使學生不僅知其然，更知其所以然，有利于教與學的和諧發展.

2. “學為中心”的課堂教學注重“四基”的落實

新課標指出，學生應當在課堂教學中實現理解和掌握基本的數學知識與技能，體會和運用數學思想與方法，獲得基本的數學活動經驗（簡稱四基）. 本節課在“學為中心”理論的指導下，注重“四基”的落實. 一是通過課前預習體會課題學習的必要性，改變多數教師采用開門見山的導入模式，雖然開門見山入題比較快捷，但這樣的模式是教師“逼著”學生接受學習的內容，成為學習的“容器”. 二是采用類比反思代替了學生高強度、大容量的訓練，通過學生的自我總結，揭示分式基本性質的數學本質，實現理解和掌握數學知識和技能的目標. 三是注重學生在數學活動中學會解題反思，反思問題中蘊含的從現象看本質、數學思想的總結歸納、解題中蘊含的“核心思想”. 四是實現從學生之間、師生之間解題經驗的分享，知識上的“導富濟貧”. 五是在課題學習中獲得“共同富裕”、通過鞏固練習后的問題清單式的課堂小結，實現數學知識的融會貫通，舉一反三，達到做一題、通一片的課堂效果.endprint

3. 用“預習先行者”來提供保障

課前的“先行組織者”有這樣一些功能：一是為學生提供溫故知新、新知識探索的平臺，避免教師上課開門見山，學生摸不著頭緒. 二是為新知識提供“導富濟貧”的先備條件，使得不同層次的學生在學習新知識之前達到必要的知識儲備. 三是避免預習流于看書、直奔結果的膚淺的先行方式. 四是有利于打開理性思維的“閘門”，避免在學習新知識時教師主宰思考問題的一切. 五是避免教師唱獨角戲，操縱問題思考的過程. 六是有利于獨立思考與合作學習的有效結合，調動學生探求新知識的積極性，使得數學冰冷的美麗成為學生火熱的思考. 七是幫助學生克服畏懼心理，數學的思考不是少數人的聰明，而是大多數人歷經千辛萬苦、充滿荊棘的探索，是人人都能嘗試、堅持都會成功的坎坷過程. 八是為貫徹新課標理念，面向全體學生，滿足人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同發展的需要.

4. 用有效的數學活動提升學習的有效性

一是通過預習先行者感受分式基本性質的必要性，如分式的字母系數化為整數是為了書寫的需要，提倡數學的簡約性；分式分子分母的擴大（或縮小）目的是通分或約分的需要，提倡數學的連續性；不是單一因為類比分數而產生，分式的符號問題也是為了解決分式中分子與分母整式符號變化的需要，是后續分式的混合運算中符號變化的依據. 二是通過類比分數基本性質的易錯點反思分式基本性質使用中的易錯點，改變教師灌輸、一講到底的現象. 另外通過解題反思，發現分式的變形化歸到整式的變形，在運用中的核心是抓住不變與同變，不變的是值，同變的是分子與分母的擴大（或縮小）. 三是通過學生的自我總結、歸納，認識到學習運算不是一味地做題，而是發現題目中蘊含的數學思想方法，解題的經驗. 四是從分式出現的三種外在變形，“舉三反一”，提煉分式問題解決中的數學本質——分式的基本性質. 揭示本節課的重點是認識分式的基本性質及其應用之一約分. 五是從學生的反思中化解難點，認識到分式的基本性質中分式的同變與不變.

總之，我們在“學為中心”課堂理念的教學模式中駕馭課堂教學，應給學生“真、實、細”的內需. “真”的學習意義，摒棄為了學而學的機械模仿；“實”的課堂立意，充實、真實為學生所需；“細”的學習程序，從學生的“最近發展區”出發，設置合理有效的問題情境，循序漸進，讓學生真正成為學習的主人，學得輕松，學得快樂，學得透徹. 使課堂真正成為學生成長的舞臺，這樣的課堂才會成為和諧的課堂.endprint