基于“MKT理論”的初中數學教學實踐與理解

谷晶晶

[摘 要] “MKT理論”指向學科知識與學科教學知識，是數學教學的重要指導理論. 在實際教學中，結合MKT理論對教學內容進行成分分析，并在實際教學中以MKT視角認識、分析教學過程，可以讓教師在數學內容、學生之間搭建更好的認知橋梁，從而提高課堂教學的有效性.

[關鍵詞] MKT理論；初中數學；教學實踐；教學理解

MKT教學理論是Mathematical Knowledge for Teaching，意思是“面向教學的數學知識”，這一面向學科知識（SMK）與學科教學知識（PCK）的教學理論，最早由鮑耳提出，譯至中國后受到中國教育理論界的高度重視. 其中一個重要原因，就是數學學科歷來是中國基礎教育界重要的支撐性學科，很多教育理論的提出與實踐，均在數學學科中先行先試，同時數學基礎教育對中西方先進教育理論也非常敏感，因此當關注學科知識與學科教學知識的理論同時映入數學教育者的視野時，其往往能夠在實踐中表現出一定的生命力——事實上，今天MKT理論對學科教學的影響早已超越了數學學科而指向幾乎所有的學科，甚至是教師教育.

筆者作為一名普通的初中數學教師，更關注MKT理論在實際教學中的引領作用，因此采取了最為常見的研究范式——理論聯系實際、經驗加反思，進行了持續的思考與實踐.

教學內容中的MKT成分解析

從MKT理論來看，該理論引領下的教學模型并不復雜，在認識到其由學科知識與學科教學知識組成的同時，還需要認識到學科知識又是由一般內容知識、專門內容知識、數學水準知識等三部分組成；而學科教學知識則是由內容與學生的知識、內容與教學的知識以及內容與課程的知識組成，通常情況下，將這些組成部分稱之為“MKT成分”. 所以在以MKT理論指導教學的時候，一個重要的基礎性工作，就是在該理論的指導下，分析教學內容中的MKT成分.

以蘇教版初中數學九年級上冊“等腰三角形的性質和判定”教學內容為例，從MKT成分分析的角度來看，其一般性內容知識就是作為數學知識形式存在的等腰三角形的性質與判定兩個主要內容，其是面向學生的，常常被稱之為“常識性的數學知識”，其以專業的數學表述呈現，如“等腰三角形的兩個底角相等”，在這一表述中，“等腰三角形”是描述主體，“兩個底角”是描述對象，“相等”是描述結果，多一字嫌多，少一字嫌少，充分體現了數學語言簡潔性的特點；而專門內容知識則是指向教師的，說得更具體一點，是指向教師的教學邏輯與語言的，數學教師只有通過自己的邏輯與語言，才能在數學語言與學生認知之間搭建一座有效的橋梁. 一個簡單的例子就是，初學“等腰三角形”的時候，只有結合等腰三角形的圖形，讓學生認識到何為“腰”，何為“等腰”，何為“底角”，才能引導學生形成清晰的等腰三角形表象，也只有以此為基礎，“等腰三角形的兩個底角相等”的關系才能建立；數學水準知識指向學術視角下的數學理解，說得通俗一點，就是對數學知識的理解程度，這個程度決定了課堂教學的高度. “等腰三角形”是生活中常見的圖形，同時也蘊含著從生活實例抽象成數學模型的過程，基于這一過程去創設教學情境，往往能夠體現數學本質.

在上面強調數學教學內容與學生認知的關系時，實際上已經體現了內容與學生的知識的意蘊，只有教師清晰地掌握學生的認知經驗，才能提高教師在課堂上的“預見”能力，從而實現奧蘇泊爾所說的“弄清學生已經知道了什么，然后據此進行教學”. 如學生對“等腰三角形”的認知，就是“性質”建立的基礎，而“性質”又是“判定”的基礎，理清基礎關系，就成功地分析出了“內容與學生的知識”；內容與教學的知識，強調的是教師以自身的教學視角理解所需要教學的內容，如“等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線重合”是教師證明給學生看，還是讓學生自己探究，就體現出了教師認知的不同視角；內容與課程的知識則是強調從課程的視角認識學科教學，這需要教師研究課程標準及其相關解讀，以讓自己的教學層次性更高一些.

MKT視角下有效的教學實踐

實際上，根據上一點的闡述，相信同行已經明白了一點，那就是基于MKT理論的初中數學教學，只要在成分分析上做足了功夫，那教學的流程與細節就會把握得比較好. 因此，MKT成分分析實際上是教學的重要基礎. 筆者嘗試以MKT理論指導自己的教學，還是取得了豐富的認識的，此處以“直角三角形全等的判定”教學為例，選擇其中兩個教學環節來分別說明.

1. 教學環節一：“斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等”定理的證明

根據給出的命題，學生構思已知與求證的表述形式. 這里，需要學生以已有的“學科知識”（直角三角形中邊與角的概念界定，全等的界定與判定方法的重現等）去衍生新的學科知識（HL），而教師則是利用自身的“專門內容知識”去引領不同層次的學生成功地調用已有的學科知識，比如當學生忽視了命題中的“對應相等”這一關鍵詞時，教師可以基于學生已經畫出的兩個直角三角形圖形，去引導其認識（實際上是回顧）何為對應相等；而對于無法將HL（斜邊、直角邊）與SAS（邊角邊）對應的學生，實際上只是需要捅破認知上的一層紙而已. 教師可以從學生思維遷移的角度，引導學生認識為何HL判定方法中沒有A（角）的存在，進而迅速意識到直角三角形這個大前提的存在.

在這一教學環節中，教師一方面放手讓學生根據已有命題自己組織“已知”與“求證”的內容，這是充分利用學生已有的學科知識，同時也是從“內容與學生的知識”角度，以自主學習的方式培養學生自組織數學知識的能力；而在證明的過程中，教師則用自身“內容與課程的知識”以及“專門內容知識”去確定教學方式（針對性的分層與引導），從而盡可能地讓學生處于自我建構狀態. 顯然，這樣的學習過程更利于學生對新學知識產生深刻認識.

2. 教學環節二：“角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等”定理的證明

這里最有意思的一個環節是起始環節，當教師將這個命題給學生時，學生感覺有些茫然，因為他們沒有一下子認識到這個命題與所學的直角三角形有什么關系. 而筆者也發現這樣的茫然其實是一個教學契機（這里其實就是內容與學生的知識、內容與教學的知識以及內容與課程的知識的體現）：既然感到茫然，那就讓這個感覺持續一會兒. 于是筆者讓學生根據命題自主描述已知與求證，而學生在一般內容知識的作用之下，自然會選擇以作圖的方式來表現命題. 在作圖的過程中，當學生從一個任意銳角的角平分線上的任意一點作出兩邊的高的時候，不同層次的學生在此就有了不同的表現：數學意識強、數學理解能力強的學生，立即意識到了直角的存在，且能夠立即發現兩個直角三角形已經出現，而其他基礎較弱、反應稍慢的學生，則專心于作圖，很少在畫圖的過程中開始思考命題如何得以證實，因而也就難以迅速發現其中存在的直角三角形. 這實際上就是學生“專門內容知識”的缺失，自然也就是教學的另一個重點——“內容與學生的知識”.

在這個環節中，教師需要根據自身的“教學水準知識”去判斷學生在自組織過程中的表現，進而把握學生的認知基礎，從而為下一步教學奠定基礎.

基于MKT理論的教學反思

MKT作為一個基礎教育界比較推崇，且在一定范圍內經過實踐證實有效的理論，筆者在實踐中形成的認識有三點.

第一，對于初中數學教學而言，MKT理論同時兼顧了學科知識與學科教學知識，這在有的理論側重于學科、有的理論是無學科背景描述的背景下，顯得彌足珍貴. 從這個角度講，初中數學教師基于這一理論提升自己的教學水平，是比較有意義的選擇.

第二，MKT理論在數學教學實踐中的具體實施大體上可以分為三個階段：一是根據學生的已有認知基礎，創設情境；二是借助學生的生活經驗（尋找生活實例）來促進學生認識數學、理解數學；三是知識體系的建構階段，這一階段強調在前兩步的基礎上，學生新的“學科知識”的生成——只有當知識成為體系的時候，新知識才能成功地納入原有的知識體系. 這看起來是傳統教學思路的描述，但實際上其中有著對學生一般內容知識的關注，有著教師對自身專門內容知識的內省，還有著對內容與學生、教學以及課程知識的研究與反思等. 這樣的設計思路，對于教師理解數學及其教學，對于引導學生更好地建構數學知識來說，意義重大.

第三，雖然在上面兩點的闡述中，筆者從MKT成分分析與兩個教學環節的選擇基礎上進行了描述，但在實際教學中，MKT的有關成分實際上是密切聯系的，因此實際教學還是應當注重整體性的把握.

總之，初中數學教學中借助MKT理論，可以很好地理解數學學科知識，提升對數學學科教學的理解，從而讓課堂教學的高效化與學生學科核心素養的培養成為現實.endprint