論高中數學教學解題方法的探究

祁山國寶

摘 要：掌握數學解題思想和解題方法，能夠極大的提高學生的解題能力和數學應用能力。本文首先討論了高中數學教學中常用的解題思想，并對這些解題思想所延伸的數學解題方法進行探究，為高中數學科目教師的教學活動的開展提供資料參考。

關鍵詞：高中數學；解題方法；解題思想；探究

一、 高中數學常用解題思想

1. 數形結合思想

數形結合是數學科目學習和研究的基本思想，數形結合在高中教學中的應用，包括以形助數和以數輔形兩個方面。以形助數，是指借助形的生動和直觀性來闡明數之間的關系，并以形為手段，數為目的，來完成對數學問題更為直觀的解答。以數輔形，就是指借助于數的精確性，來闡明某些圖形的性質，是以形為目的，以數為手段的一種數學思想。數形結合思想在高中數學中應用的關鍵，就是弄清楚數和形的關系，并把握好以數輔形和以形助數的要點，應用有效的技巧和方法，提高數學解題效率，并學會應用數形結合來解決數學問題。

2. 分類討論的思想方法

分類討論是一種化整為零與歸類整理類的解題思想，分類討論法能夠幫助學生以更加系統的形式，掌握數學知識，還能夠讓學生認清不同知識點之間的差別，從而幫助學生在遇到數學問題時，準確、靈活的選擇方法。分類討論思想方法在教學中的應用，主要是對于定理、概念的歸納，對公式和運算性質的運用。對于一些不確定的數量、不確定的圖形形狀或位置、不確定的結論等，也都可以用分類討論的方法研究并解決。

3. 函數與方程的思想方法

函數與方程同樣是數學學科中重要的方法與思想。這種數學思想從問題的數量關系入手，通過運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型，通過數學模型的推演和計算，最終解決問題。函數涉及的知識點多，更是高考的重點考點。教師在日常教學中，要教會學生使用函數思想，并能夠將數學問題轉化為函數和方程，最終解決問題。

4. 等價轉化思想與方法

等價轉化方法，在高中數學函數、幾何等方面都有所應用，該方法就是將未知的問題轉化為已知可解的問題和模型，來解決數學問題的一種方法。教學中，教師要加強對學生問題轉化意識的培養，提高學生的數學應變能力。讓學生學會如何在數學學習中和解題中應用轉化思想，對提高學生思維能力和解題技巧十分重要。

二、 高中數學教學中常用的解題方法

高中數學中，所有具體的解題方法，都是建立在上述數學思想之上的。教師在教學中，一定要加強對學生數學思想的培養，并以此為基礎，讓學生能夠掌握一些有效的、科學的解題方法和技巧。在高中數學科目教學中，經常涉及的解題方法包括配方法、換元法、待定系數法、定義法、數學歸納法、參數法、反證法、消去法、分析與綜合法等。

1. 配方法

配方是對數學等式或不等式進行定向變形的方法，該方法在二次方程、二次不等式、二次函數、二次代數式等討論與求解中經常用到。配方法最常用的配方依據包括二項完全平方公式、正弦、余弦定理等。

【例1】 設非零復數a、b滿足a2+ab+b2=0，求aa+b1998+ba+b1998。

該題目是一道難度較高的代數題，在該題目的解題中，可以采用替換法。解題思路為：已知a、b為非零復數，因此可以將等式a2+ab+b2=0兩邊同時除以b2，整理得到ab2+ab+1=0，將ab當做整體帶入，得到ab3等于1，將該結果帶入算式，最終得到結果。

2. 換元法

在解數學問題時，我們可以將數學問題中的某個式子當做一個整體，用變量來替代，從而實現問題的簡化。

【例2】 △ABC的三個內角A、B、C滿足：A+C=2B，1cosA+1cosC=-2cosB，求cosA-C2的值。

本題目可以運用三角換元的方法解決，由已知條件可得到A+C=2B，根據三角形內角和等于180度的性質，可以得到A+C=120°，換元，整理后可以得到cosA-C2的值。本題目在解答時，還可以用1cosA+1cosC=-22進行均值換元，并結合三角形公式變形換算來得到答案。不同的換元方式，只要思路正確，可以用于對計算結果的驗證。這種驗證方法準確度更高，教師可以引導學生學會這種驗證方式，以提高學生解題正確率。

3. 待定系數法

待定系數法能夠用于分解因式、拆分分式、數列求和、求函數式、在復數、解析幾何中求曲線方程等問題中，待定系數法通過運用變量間的函數關系，并根據所給的已知條件，來解決數學問題。待定系數法在應用時，首先要確定所求問題含有待定系數的解析式，并根據恒定條件列出含待定系數的方程，最后通過解方程組和消去待定系數，解決問題。

【例3】 設橢圓中心在（2，-1），橢圓的一個焦點與短軸兩端連線相互垂直，并且此焦點與長軸較近的端點距離為10-5，求橢圓的方程。

本題目在解題時，首先要設a、b、c的值，通過垂直關系式和勾股定理，來建立橢圓方程，并將焦點與長軸較近端點的距離轉化為a-c，最后列出第二個方程。解題思路具體為，先設方程所需要的未知數，并將幾何條件轉化為方程，最后求解，并用系數帶入方程，最后得到答案。

4. 定義法

顧名思義，定義法就是直接運用數學定義來解題，在定義法中，包括定理、公式、性質和法則等，都是揭示數學邏輯關系的工具。定義作為數學知識的精華，更是完成數學解題活動的基礎。在定義法的運用中，需要學生能夠了解定義所代表的含義和其在具體數學問題中的應用方法。

【例4】 求過定點M（1，2），以x軸為準線，離心率為 1/2 的橢圓定點下的軌跡方程。

本題目是一道關于橢圓和圓錐曲線的題目，在解答本題目時，只要抓住圓錐曲線的統一定義，就能夠得到|AF|d=12并建立方程，再運用離心率定義構建另外一個方程。本題目在解題過程中，需要按照曲線軌跡方程的求解步驟，分析曲線上動點所滿足的條件。在解題中需要巧妙的運用橢圓的統一定義和離心率的定義。在具體的數學教學中，圓錐曲線的點、焦點、準線、離心率等，通常可以用定義法來解決，在解題中經常會用到橢圓、雙曲線、拋物線等定義。

5. 數學歸納法

在高中數學教學和解題中，經常遇到的數學歸納法包括完全歸納和不完全歸納兩種方法。但不完全歸納法只適用于解題，在數學推理論證中應用是不科學的。教師在教學中，要注意兩種歸納法的講解，并讓學生明確數學歸納法兩種不同歸納方法的特點和應用。教師在關于代數不等式、自然數n有關的恒等式、三角不等式、數列問題、幾何問題和整除性問題的解決中，可以教學生使用數學歸納法。

綜上所述，除上述經典的常用解題方法外，在高中數學解題中還會用到諸如參數法、反證法、消去法、分析與綜合法等解題方法，不同的解題方法適用于不同的題型。只有讓學生得到數學解題方法和數學理論思想掌握水平的雙提高，才能夠在提高學生解題速度和正確率的同時，實現對學生數學綜合應用能力的培養，最終在讓學生更自如應對考試的同時，能夠得到數學綜合應用能力的提升。

參考文獻：

[1]趙桂英.論高中數學教學中學生解題能力的培養[J].教育教學論壇，2014，（07）：112-113.

[2]楊麗.高中數學教學中解題思路的聯想方法探討[J].語數外學習：數學教育，2012，（03）：1.

[3]孫成亮，劉鵬，陳菁菁.高中數學解題方法及技巧探討[J].理科考試研究：高中版，2016，23（09）：12.endprint