以“數形結合”為例淺析如何利用數學思想解決數學問題

唐恬悅

【摘要】在解答數學問題中，數學思想的運用尤為重要，只有運用合理的數學思想，才能更高效地解答數學問題。很多學生在學習數學知識感到束手無策，而有的學生則為數學迷，為數學狂，究其這兩種截然不同現象的原因，主要還是學生是否能夠靈活地運用數學思想去學習和研究數學問題。以數形結合為例，其在解答數學問題中的應用相當廣泛，可以將抽象的數字符號以具體的圖像表現出來，提升解題得準確性和效率。基于此，本文主要介紹了數形結合思想的基本內涵、基本方法，并在此基礎上詳細闡述了數形結合在具體的數學問題的應用，如對函數方程組問題、速度與路程問題、二次函數問題以及其他問題等的解決，以供參考。

【關鍵詞】數形結合；數學思想；數學問題

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）17-0163-02

著名的數學家高斯曾說過：“數學是打開科學大門的鑰匙”；德國物理學家倫琴指出：“第一是數學，第二是數學，第三是數學。”；由此不難看出，數學是一切其他學科發展的基礎，在經濟社會發展中起到重要的作用。因此，學好數學并應用好數學是一個國家強大的重要體現。當前，一些學生“談數學色變”，而另一些學生則深深地為數學著迷，這與學生能否學會應用數學方法不無關系。我國著名的數學家華羅庚就曾說過：“新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要。”，因此，掌握數學思想是學習數學知識的前提。此外，數字和圖形是數學發展歷史上至為重要的兩個研究對象，兩者在一定條件下是可以相互轉化的。作為一種數學方思想，數形結合思想是討論數字與圖形之間相互對應的關系，通過兩者之間相互的轉化，將抽象的數字語言用更為直觀的圖像來表示，或是用圖像來表示與之有關的數字運算關系。數形結合是數學思想中最為基本，也是最重要的思想。對于學生來說，個人的空間想象力決定了其運用數形結合思想的深度，巧妙地運用數形結合的思想，將會使數學問題的解決更為方便簡單。

一、數形結合思想的簡介

（一）基本內涵

數形結合是指在解決數學問題中將抽象的數字與更為直觀的圖像相結合，可以使抽象的數學問題更為形象生動，提高解決問題的速度和效率。

數形結合思想一般主要應用于研究函數與圖像、曲線與方程以及實數與數軸等之間的關系中，運用數形結合的思想不僅能夠找到更為簡單的解題方法，避免了復雜的計算過程，而且在解答選擇題，填空題的時候更具有優勢。

在實際運用中，數形結合可以為學生學習提供很好的幫助，也為老師教學提出了新的方向，教師在教學中運用數行結合的方法，可以增加課堂的趣味，提高學生的學習積極性。

（二）數形結合思想的基本方法

1.由數字轉化為圖形

“數”和“形”兩者是相互對應的，一些數字運算過于抽象，無法準確把握，而“形”相對來說則更加直觀，能夠表現的內容更多，更有利于解決問題。因此，當我們無法用數量運算來解決問題時，可以考慮通過相對應的圖形來解決。我們可以根據題目所給定的條件，通過一系列的轉化，將題目的數量問題轉化為圖像問題，并通過對圖像的分析，來最終解決數量問題，這一方法就是所謂的圖形分析法。將數量問題轉化為圖像問題一般需要運用立體幾何、平面幾何、解析幾何三個方面的知識。面對一個數學問題，首先要按照什么是已知條件，什么是要求解的未知條件進行結構分析，通過兩者之間的比較，找出其中的內在關系。因此，該方法解決問題的基本思路是，確定好題目所給的條件和所要解答的目標，將題目中的已知條件轉化為學過的圖像表達式，再畫出相應的圖像，根據圖像性質來解決最終的問題。

2.由圖形轉化為數字

雖然圖像的表達方式更為直觀生動，但是對于表現方式比較復雜的圖形來說，在量的方面仍然需要借助代數的計算來處理，將圖形做數字化處理，并且要仔細觀察圖形中的特點，以及其中的隱含條件，充分運用幾何圖形的性質，將圖形正確地表示成數字之間的運算，這類題目的解題思路主要為：根據題目中所給的已知條件和未知條件，理解兩者在幾何圖形中的重要意義，根據所學知識將圖像的表達式寫出來，進行運算。

3.數字與圖形互相轉化

這一方法是指在一些比較復雜的數學問題中，僅僅是從數字變為圖形或從圖形變為數字的運算方法不能夠完全解答數學問題，需要將兩個解題思路來回運用，才能最終找到答案。解決這類問題需要反復地從已知條件和結論同時出發，分析出內在的形數互變關系，最終得出答案。

二、如何利用數學思想解決數學問題——以“數形結合”為例

（一）數形結合思想在解決函數方程組問題中的應用

數形結合的思想在函數問題的應用方面相當廣泛，在求解函數單調性、極值、定義域、值域等方面都可以結合數形結合的思想。在解答此類問題時，一定要注意不要脫離函數圖像想問題，否則容易出現解題失誤速度慢等現象。在做函數問題時，如果運用數形結合加以思考，那么問題的求解將更加準確、迅速。

比如在解答“X+Y=1，X-2Y=0”這一方程組時，這個方程組可以運用傳統的數理運算進行求解，但這一方法容易出現計算失誤，尤其是對于較為復雜的方程式來說。在運用數形結合的思想方法時，我們可以將這個方程組的解看成為平面坐標系中兩個一次函數的交點坐標。我們將兩個函數方程的函數圖像平面坐標系中表現出來（如圖1），兩條函數直線的交點D點的坐標即為這個方程組的解。運用這種方法，求解過程將更為直觀，在應對復雜的方程組時效果更為明顯。即使通過傳統的數理運算將結果算出來之后，也可以再通過數形結合的思想，運用函數圖像來進一步驗證答案是否正確。

（二）數形結合思想在解決速度與路程問題中的應用

在解答速度與路程方面問題的過程中，數形結合的思想尤為明顯。與其他數學問題不同的是，這類問題中，題干中的人或車等主角是一個動態的點，如果我們仍然用傳統的數學方法去尋找解題思路，只會偏離正確的結論越來越遠。此外，如果僅僅是靠大腦來“苦想”，對做題者的思維靈活性要求很高。且在更為復雜的追及問題中，通過大腦空想來解決不同的點在起點和終點來回運動等復雜過程中的問題基本是不可能的。如果運用數形結合的思想，就可以將題干中動點運動的路徑表現出來，再加以運算就可以得出結果，相比于僅靠大腦的空想更為直觀，不易出錯，更可以節省解題的時間，繼而提升解題效率。

比如在“小明家離學校1500米，小紅家離學校1800米，小明騎車去學校速度800m/min，小紅走路去學校200m/min，小明先到學校再去接小紅，問小紅到學校需要多長時間”這個問題，有小明和小紅兩個動點，且小明這個動點的運動軌跡比小紅復雜，如果僅靠大腦來想象，容易出現思維混亂。在數形結合的思想方法中，可以用一條線段上的三個點分別表示學校小明家小紅家，根據題目中給出的條件標出，三個點之間的距離（如圖2），那么從圖像可以看出，當小明回到學校再回去接小紅時，兩者一共行駛了9300米，相遇的時間t1=9300÷1000=9.3（min），此時小紅與小明距離學校的距離為：4800-9.3×200=2940（m），此時乘自行車所需要的時間t2=2940÷800=3.675（min），因此，小紅到達學校所需要的時間為12.975min。結合圖像，該類型問題的解題思路變得更為清晰，最大限度地避免出現錯亂。

（三）數形結合思想在解決二次函數問題中的應用

二次函數是初中和高中階段均要學習的重點課程，不少學生在初遇二次函數的時候，往往摸不著邊際，比如在求解函數的最大值與最小值時，往往沒有考慮到定義域，繼而算錯了答案。此外，一些學生在二次函數的單調性上認識不足，往往通過死記硬背的方法來解答相關題目，結果可想而知。而利用數形結合思想，將二次函數的圖像在平面坐標系中畫出來，那么很多問題以及該函數的特點都變的異常“清晰”。

比如，在求“f（x2）單調性”這一問題中，如果僅僅用傳統的數理運算數學方法來思考，可能會感到無從下手，因為不知道X該如何取值，那么我們可以運用數形結合的思想方法來解決這類問題。如圖3，y=ax2（a>0），通過圖像我們可以知道，這個函數是一個以y軸為對稱軸、開口向上，經過圓點（0，0）的拋物線圖像，當x<0時，函數圖像呈遞減特性，當x>0時，函數圖像呈遞增特性。通過畫出相應的函數圖像，我們找到了這一類型問題的解題方向，再加以運算即可寫出整個解答過程。

（四）數形結合思想在解決其他數學問題中的應用

除了上述三個方面，數形結合在解決集合問題、三角函數問題、線性規劃問題、分數應用問題、數列問題等方面仍有很大的應用空間。在集合方面主要會借助直線數軸和Venn圖來解決集合之間交集與并集的運算，如圖4所示，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么兩個集合的交集即為兩個區域的重疊，C={3，4}；同樣地，數形結合也是解決三角函數單調區間的重要數學方法，如圖5，該圖像為余弦函數的圖像，從該圖像中，我們很容易發現，該函數在定義域X∈R內的最大值為1，最小值-1；在[-π+2kπ，2kπ]上呈單調遞增特性，在[2kπ，π+2kπ]上呈單調遞減特性，當然余弦函數的特性遠不止這些，但通過數形結合的思想，我們在解決三角函數這種復雜函數的問題上就變得“游刃有余”；此外，數性結合思想在方程與不等式、數列以及幾何等問題解決方面均有應用，這對于推動數學問題的解決有著重要的作用，同樣也給數學研究提供了重要的理論工具。

三、結語

華羅庚先生還說過“數形結合百般好，割裂分家萬事休”，由此可見數形結合思想對于數學知識學習和問題研究的重要性。總之，以數形結合為代表的數學思想可以將復雜的問題簡單化，將抽象的問題具體化。因此，我們在解決數學問題的時候，需要注意運用一些數學思想，而不是一味死板的生搬硬套，才能更好的解答數學問題。筆者相信，只有更好地理解和掌握數學思想，數學才不會成為廣大學子通往知識寶塔上的“攔路虎”。同樣地，只有不斷地研究和應用數學思想，數學領域的研究才會不斷地出現新的成果，為經濟社會發展提供重要的理論依據。

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