數(shù)學(xué)思維對數(shù)學(xué)做題的研究

唐靖

摘 要：對于不少人而言，學(xué)好數(shù)學(xué)是一個(gè)非常難的問題，這是因?yàn)樗麄児Φ撞簧睢?shù)學(xué)的理解不夠深入，在思想上還局限于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀念。因此，我們有必要對數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)做題中的作用和具體應(yīng)用進(jìn)行分析，讓數(shù)學(xué)變得輕松愉快，從而達(dá)到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；做題；興趣；高中學(xué)生

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)中最為基礎(chǔ)的課程之一，它的運(yùn)用非常廣泛，數(shù)學(xué)思想滲透人類各個(gè)方面，其顯著特點(diǎn)是富有思想智慧。但是數(shù)學(xué)又是一門研究思想事物的抽象學(xué)科，其特點(diǎn)有二：一是數(shù)學(xué)研究成果揭示了事物數(shù)量和形式的一般規(guī)律；二是數(shù)學(xué)研究過程及其成果中蘊(yùn)含有一般思維規(guī)律。因此，分析數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)做題中的應(yīng)用意義非凡，我們也有必要對這一問題深入探討。

1 數(shù)學(xué)思維概述

數(shù)學(xué)思維就是數(shù)學(xué)地思考問題和解決問題的思維活動(dòng)形式，也就是人們通常所指的數(shù)學(xué)思維能力，即能夠用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問題和解決問題的能力。比如轉(zhuǎn)化與劃歸，從一般到特殊、特殊到一般，函數(shù)/映射的思想，等等。一般來說數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的人，基本體現(xiàn)在兩種能力上，一是聯(lián)想力，二是數(shù)字敏感度。前者能夠把兩個(gè)看似不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，這其中又以構(gòu)造能力最讓人折服；后者便是大多數(shù)曝光的所謂geek，比如什么Nash之類的。當(dāng)然也有兩種能力的結(jié)合體。

2 數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)做題中的作用

現(xiàn)代教育觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，即思維活動(dòng)的教學(xué)。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，養(yǎng)成良好思維品質(zhì)是教學(xué)改革的一個(gè)重要課題。培養(yǎng)興趣，促進(jìn)思維。興趣是最好的老師，也是每個(gè)學(xué)生自覺求知的內(nèi)動(dòng)力。教師要精心設(shè)計(jì)每節(jié)課，要使每節(jié)課形象、生動(dòng)，有意創(chuàng)造動(dòng)人的情境，設(shè)置誘人的懸念，激發(fā)學(xué)生思維的火花和求知的欲望，并使同學(xué)們認(rèn)識到數(shù)學(xué)在四化建設(shè)中的重要地位和作用。經(jīng)常指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法解釋自己所熟悉的實(shí)際問題。拓寬思維的廣度和深度，對開發(fā)學(xué)生的智力有著極其重要的意義。數(shù)學(xué)思維的重要性主要是體現(xiàn)思維的敏捷性、深刻性、靈活性、批判性、概括性、廣闊性以及獨(dú)創(chuàng)性等。

2.1 數(shù)學(xué)思維敏捷性

數(shù)學(xué)思維的敏捷性表現(xiàn)在一個(gè)“快”字上。這種快的主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：其一，多方開辟思維點(diǎn)，加快思維啟動(dòng)速度；其二，力求縮短思維過程，迅速獲得思維產(chǎn)品。我們經(jīng)常遇到很多的數(shù)學(xué)問題，解法的多元性能使學(xué)生的思維具有多起點(diǎn)，使其由數(shù)見形，由形見數(shù)，巧換方法思考與判斷。這無疑簡縮了加工思維產(chǎn)品的過程。數(shù)學(xué)思維的敏捷性給我們一個(gè)啟示：當(dāng)你遇到很難解決的問題是，不妨從多方面去思考問題找到問題解決的最優(yōu)答案。

2.2 數(shù)學(xué)思維的深刻性數(shù)學(xué)思維的深刻性就是在分析數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題的過程中，能探索所研究數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)及與現(xiàn)實(shí)之間的相互聯(lián)系。而數(shù)學(xué)思維正告訴我們溝通了各種數(shù)學(xué)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，與及在現(xiàn)實(shí)的運(yùn)用。如數(shù)學(xué)中形數(shù)結(jié)合思維，透過形的外表，揭示代數(shù)問題的內(nèi)在數(shù)量特征，探討數(shù)與形的本質(zhì)聯(lián)系與規(guī)律，這是由表及里的過程。這個(gè)正告訴我們一個(gè)哲理：透過現(xiàn)象看本質(zhì)。只有你能夠真正掌握了事物的實(shí)際，你才能夠說真正的了解了事物的屬性等。避免里只是看現(xiàn)象而看而毫無收獲。

3 數(shù)學(xué)思維對數(shù)學(xué)做題中的應(yīng)用

3.1 函數(shù)與方程的思想

函數(shù)與方程的思想是高中數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的思想方法之一，在高考中有非常重要的地位。數(shù)學(xué)中很多函數(shù)的問題需要用方程的知識和方法來支持，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法去解決，即函數(shù)與方程可相互轉(zhuǎn)化。

下面來看這樣一道例題：和的定義域都是非零實(shí)數(shù)集，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且求的取值范圍。

分析：已知兩個(gè)函數(shù)的和，求商，好象從未見過。我們不能只看符號，不注重文字，其實(shí)這一題的關(guān)鍵在于“是偶函數(shù)，是奇函數(shù)”，于是就有，又有再把換成。這時(shí)不能再把當(dāng)函數(shù)解析式來看了，知道了+，-就可以把它們當(dāng)成兩個(gè)未知數(shù)，只需去解一個(gè)二元一次方程組問題就解決了。

由于函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的舉足輕重的地位，因而函數(shù)與方程的思想一直是高考要考察的重點(diǎn)，它在解析幾何、立體幾何、數(shù)列等知識中都有廣泛應(yīng)用。

3.2 一次性數(shù)學(xué)解題方法的應(yīng)用

波利亞在“怎樣解題表”中給出了一個(gè)宏觀解題程序，分成4步：弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧.在每一步中都配有許多問句或提示，從而體現(xiàn)出模式識別、聯(lián)系轉(zhuǎn)化、特殊化與一般化、歸納、類比等思維策略的指導(dǎo)。

例 如果二次函數(shù)f（x）=x2-（a-1）x+5在區(qū)間（■，1）上是增函數(shù)，求f（2）的取值范圍。

解題分析過程。

第一步：你必須理解題目。

理解題目

1.未知量是什么？已知量是什么？

2.這是一個(gè)什么問題？答：這是一個(gè)求范圍的問題，求f（2）（即-2a+11）的范圍。

3.已知條件是什么？

答：已知二次函數(shù)f（x）的解析式（一次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)a）。二次函數(shù)f（x）的一個(gè)增區(qū)間（■，1）。

第二步：找出已知條件與未知量之間的聯(lián)系。

最終你應(yīng)得到一個(gè)解題方案。

擬訂方案

以前做過或見過類似的題目嗎？當(dāng)時(shí)是怎樣想的？

我們已經(jīng)做過許多求二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的題目。

要求出未知結(jié)論，需要知道哪些條件？由已知條件能推出哪些有用的東西？

要求出f（2）的范圍，需要求出參數(shù)a的范圍，需要構(gòu)造關(guān)于a的不等式。

由已知條件（二次函數(shù)f（x）的解析式）能求出二次函數(shù)圖象的對稱軸，能求出二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間D。

解這類問題通常有哪幾種方法？可能哪種方法更方便？試一試如何？

想法1：先求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間D，再由增區(qū)間（■，1）？哿D，構(gòu)造關(guān)于a的不等式。

想法2：二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與二次函數(shù)圖象的對稱軸有關(guān)，通過數(shù)形結(jié)合，由對稱軸與區(qū)間（■，1）的相對位置構(gòu)造關(guān)于a的不等式。

第三步：執(zhí)行解題方案.

執(zhí)行方案

執(zhí)行解題方案，檢查每一個(gè)步驟.你能確保每個(gè)步驟是正確的嗎？

解答過程（略）。

第四步：檢查已經(jīng)得到的解答.回顧解題過程，積累知識與方法。

回顧與積累

你能檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果嗎？

通過做這道題，能給你帶來什么啟示？應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，基本方法，數(shù)學(xué)思想？

這是一道“已知（含參）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的范圍”的問題，屬于求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的逆向問題。

知識點(diǎn)：二次函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的對稱軸。

方法：構(gòu)造法，配方法。

思想：數(shù)形結(jié)合。

你能在別的什么題目中利用這種方法嗎？

舉一反三：函數(shù)f（x）=■在（-2+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。

從教學(xué)反饋效果來看，聽課教師認(rèn)為教學(xué)方法新穎，充分暴露了解題的思維過程，真正解決了解題教學(xué)中的許多問題，起到了良好的示范作用.學(xué)生認(rèn)為通過這節(jié)課解決了“拿起題無從下手”的問題，大部分同學(xué)覺得解數(shù)學(xué)題變得容易了，真正認(rèn)識了數(shù)學(xué)解題，很大程度上解決了學(xué)生對數(shù)學(xué)題“畏難”的心理問題，提高了學(xué)習(xí)興趣。

結(jié)束語

總之，數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一就是培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的思維能力，而思維能力的培養(yǎng)主要是通過解題訓(xùn)練達(dá)到的。因此，利用數(shù)學(xué)思維來提高學(xué)生做題技巧十分重要，我們也有必要對這一方法進(jìn)行推廣和普及。

參考文獻(xiàn)

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