基于實驗情境的“等腰三角形”教學實踐與思考

葛紅琴

[摘 要] 初中生的思維正處于形象思維向抽象思維過渡的階段，實驗情境的設計與實施已經不僅僅局限于形象思維了，學生在實驗情境的直觀與想象中往往能夠順利向抽象思維過渡，也就是我們通常所說的“去情境化”.

[關鍵詞] 實驗情境；初中數學；等腰三角形

學生對等腰三角形的感性認知早在小學階段就已經建立了，不過初中階段等腰三角形的學習中又增添了更多不同的內容與思想方法，本文結合八年級等腰三角形新授課第1課時對初中數學“實驗情境”的創設與實施展開了細致的研究.

教學預設

（一）學情分析

八年級學生在自主探究與合作交流學習方面已經初步積累了一定的經驗，本節課在實驗操作的基礎上對學生主動參與、自主發現、自主探究與合作交流等知識因素進行了全面地探尋與研究.

（二）教材分析

以全等三角形與軸對稱圖形為基礎展開等腰三角形概念與性質的探討和研究.

性質1：兩底角相等；

性質2：頂角平分線、底邊上中線以及底邊上的高“三線合一”.

邊相等和角相等之間的轉化可以依據性質1而實現，兩角相等這一問題的論證也需要性質1這一重要的依據.

兩條線段相等及線段垂直這類證明問題需要性質2作為重要的依據才能完成.

（三）教學重點、難點

重點：性質的探索及應用；

難點：性質的探索及證明.

折紙實驗使學生對本課重難點的突破相對輕松.

（四）學習目標

1. 知識技能

（1）等腰三角形性質的推導通過軸對稱變換得以實現；

（2）掌握等腰三角形的性質.

2. 數學思考

以實驗操作為基礎進行“情境”的數學化探究，并最終歸納、驗證自身的發現，得出等腰三角形的性質.

3. 解決問題

運用等腰三角形的性質進行實際問題的解決.

4. 情感態度

（1）學習中能感受到圖形的美；

（2）具備學習的熱情與協作精神.

（五）教學過程

1. 創設情境，引入新課

實驗一：將圖1中長方形對折后剪去多余部分，展開后將會是什么樣的三角形呢？

設計意圖 課程標準早就對數學學習提出了從學生實際出發的具體要求，等腰三角形概念、性質、定理的發現從學生熟悉的簡單剪紙出發更加容易實現.

2. 自主探索，初步感知

實驗二：觀察剪出的△ABC并將其沿AD對折，根據下表對照填寫：

猜想1：三角形等腰時，它的兩個底角相等.

猜想2：等腰三角形的頂角平分線與底邊上的高兩線合一.

實驗三：如果將等腰三角形沿底角平分線對折，折痕兩邊的圖形能夠完全重合嗎？

發現：等邊三角形這一特殊的等腰三角形才存在這一現象.

強調：三線合一定理.

設計意圖 幫助學生借助實驗的探索掌握從一般到特殊的思想方法.

演示：利用幾何畫板.

設計意圖 直觀感受變化，加深體會.

3. 合作交流，提升認識

引導：猜想1的求證. 如圖2，△ABC中，AB=AC，求證：∠B=∠C.

設問：（1）已學相關方法有哪些？

（2）折疊等腰三角形對你的證明有啟發嗎？

探索：鼓勵學生嘗試各種方法進行探索.

設計意圖 挖掘學生潛能.

交流：小組合作，交流講解.

（1）作頂角平分線；

（2）作底邊上中線；

（3）作底邊上的高.

關注：學生的語言是否準確、嚴謹.

指導：給出符號語言，規范表達.

引導發現：怎樣證明猜想2？猜想1對猜想2存在啟迪嗎？

關注：學生對猜想2中存在的三個命題是否有敏感度.

設計意圖 實驗操作提升學生合情推理能力.

4. 實踐應用，鞏固提高

第一組：夯實基礎，使學生學會分類討論求等腰三角形內角.

設計意圖 引發特殊現象的討論，進入后續的探究學習.

第二組：鞏固提高，針對教材例1進行適當改進.

例1 如圖3，△ABC中，AB=AC，D是AC上一點，且BD=BC=AD. （1）圖中的等腰三角形是哪幾個？（2）△ABC中各內角度數是多少？

實驗四：引導學生在折疊、度量等實踐操作中發現一些線段之間的關系. 學生中出現了特別有意思的一幕，一學生的三角形不僅存在AB=AC，將點A與點B重合折疊，折痕與AC相交于D，度量發現BD=BC，請思考：

（1）圖中的等腰三角形有哪些？

（2）△ABC中各內角度數是多少？

點撥：三角形內外角定理知識的結合應用.

設計意圖 方程思想的應用.

實驗五：等腰三角形底邊中點到兩腰距離的測量.

另一種折疊也是學生的發現：對折出底邊中點D，然后分別將BD，CD往上折疊，使得B，C兩點分別落在AB，AC上的E，F兩點，則DE=DF.

例2 如圖4，△ABC中，AB=AC，底邊中點是D，DE⊥AB，DF⊥AC，求證：DE=DF.

巡視：及時發現、點評.

一題多解：通過證明△BDE≌△CDF求證出DE=DF是大部分學生的做法. 少數學生將點A，D連接了起來，并利用角平分線性質得出了DE=DF. 引導學生對兩種方法進行總結.

拓展：直線AD上所有的點到兩腰的距離都相等.endprint

設計意圖 課堂留白，促進學生消化.

（六）歸納總結，形成網絡

引導學生對本課所學進行自主小結，與同學們一起交流自身獲得的體會與感受，大膽表達自身可能存在的知識困惑，在師生共同的參與和交流中圓滿完成對本課的小結與心得交流.

設計意圖 在教學中精心設計學生操作、探尋、交流與小結的各個環節，使得教學的民主性得到最大限度的體現，學生在一系列的自主探尋中對自身知識、能力的定位更加準確，自主學習的信心與興趣加倍增長.

（七）自主命題，布置作業

引導學生將自身在本課學習中所獲得的經驗運用于習題的自主設計與創編，要求學生根據性質1和性質2進行填空、解答等各種題型的創編. 并在學生的作業創編中選出適量的填空題、解答題以及拓展題作為他們課后鞏固知識的練習.

教學效果

（一）實驗情境活躍氛圍

五個實驗情境的設計不僅使得課堂的容量增加，學生身心的參與度也是空前提高，折疊、度量、觀察以及交流各項活動中都有學生積極學習態度的表現，課堂氛圍無比活躍. 比如，“實驗二”之后的追問也是特別能夠刺激學生參與的：

1. 等腰三角形軸對稱這一說法對嗎？

2. 對折后的等腰三角形中哪些線段相等，哪些角相等？

3. 你發現了等腰三角形的多少性質？

學生經過思考表達了諸多結論，經過師生的共同總結與提煉最終歸納出兩個猜想：

猜想1：等腰三角形中底角相等.

猜想2：等腰三角形中頂角平分線、底邊上中線與高三線合一.

（二）自主編題促進生成

實踐應用這一環節往往是學生身心參與度都極高的環節，而且這一環節的設計與實施對于后續例題的學習往往能起到有效的導入作用，課堂生成在這樣的環節中也顯得更加精彩紛呈.

師：已知三角形中兩個內角的度數求第三個內角可行嗎？為什么？

生：能！三角形內角和定理正是用于此類問題求解的.

師：等腰三角形第三個內角的求解也需要已知其他兩個內角的度數嗎？請各小組同學舉例說明你的看法.

生：知道等腰三角形的一個內角度數就可以通過分類討論求出其他兩個內角的度數.

師：請同學們根據以上的結論進行等腰三角形內角和的計算與搶答.

學生在這個活動中表現得尤為積極且能保證很高的正確度，例1的學習也在搶答活動中順利完成了.

反思

本課的五處實驗情境不僅將課堂氛圍積極有效地調動了起來，整節課的教學環節也因為這五處實驗情境得到了很好的串聯與過渡，不過，只有反思才能促進更大的進步. 我們回顧以上的教學設計與流程，不難發現這其中始終有一條明確的“核心主線”引領與推進著教學的進程. 李善良博士在有關核心主線的問題上發表過自己的看法：學生數學活動為主的教學思想是每個教師必須關注的，在此基礎之上，教學過程中的“核心主線”也是每一位教師在教學之前必須弄懂理清的，否則，教學預期的效果與目標一定不可能很好地實現. 我們根據備課的設計與教學推進也不難發現，等腰三角形性質定理便是本課所有實驗情境設計所遵循的主線. 比如，實驗一正是等腰三角形概念的導出與后續新定理發現的基石；實驗二則是等腰三角形兩個性質定理獲得途徑的實踐活動；實驗四圍繞對折問題進行了詳細地探尋，從而將等腰三角形的軸對稱、對應線段關系進行了詳細討論. 我們仔細回顧本課五處實驗情境的設計與推進，教學的意圖與跟進都是奔著“去情境化”這一最終目標而設計的. 比如，實驗三的實踐操作與討論正是等腰三角形“三線合一”這一性質的體現；實驗五是例2解題應用的導入與鋪墊. 隨著實驗的推進與結論的得出，“去情境化”或者我們通常所說的“數學抽象”才真正實現了.endprint