知識理解是數學核心素養形成的內在動力

韓仲亮

[摘 要] 在初中數學教學中，追求學生對知識的理解是優良的傳統. 在核心素養培養的背景下理解知識，可以發現新的含義. 本文通過對初中數學知識理解的特點進行梳理，以及對學生知識理解進行研究，論述了知識理解對于核心素養培養的作用，為核心素養的落地提供新的視角.

[關鍵詞] 初中數學；知識理解；核心素養

核心素養的美好愿景，與學科教學中的具體落實途徑，正成為當前基礎教育的一個熱點. 筆者以為，出現這樣的情形，可以避免課程改革中出現的教學理念與教學實踐脫節的情形，以及“新瓶裝舊酒”的情形，這是核心素養落地的重要保證. 對于初中數學教學而言，核心素養的落實途徑在哪里？筆者以為，從數學教學的傳統思路來看，知識教學仍然是不可忽視的重要途徑，因為無論什么樣的素養，都離不開具體知識的建構，而知識的學習重在理解，只有建立在有效知識理解基礎上的學科教學，才是可以讓核心素養落地的教學.

對于數學知識理解，有研究者給出這樣的界定：在數學學習活動中，學生利用已有的知識或其他相關知識，利用已有的生活經驗，接受、改造、重組并解釋新的數學知識的心理過程. 在這個過程中，揭示數學知識所表示的數與形的關系，是既體現數學學科本質，又彰顯數學學科核心素養的重要環節. 基于這樣的思考，本文擬對初中數學教學中核心素養培養視角下的知識理解，提出自己的思考.

初中數學知識理解的特點梳理

知識理解，某種程度上是一個主觀過程，對于初中生的數學學習而言，數學知識的理解具有一定的共性，具體表現在下面兩個方面.

第一，初中數學知識的理解過程需要形象思維作為支撐. 眾所周知，數學是一門抽象的學科，數學知識的高度抽象性使得很多學生在數學學習過程中感到困難. 需要注意的是，雖然數學抽象，但這并不意味著數學學習過程就必然是抽象的，相反，只有通過形象的學習過程設計，才能讓學生的數學知識理解變得更加順利，而形象的學習過程設計，本質上就是學生在數學知識學習與理解過程中形象思維的運用.

例如，教學“三角形全等的條件”這一內容時，經常遇到這樣的情形：不少學生對三角形全等條件的認識非常機械，他們在利用“角角邊”“邊角邊”“邊邊邊”等判定定理判定三角形全等時，思維中往往只有抽象的角與邊的關系，而學優生的思維則不同，他們在理解三角形全等的時候，頭腦中浮現的首先是兩個三角形全等的表象，他們會對需要判定的三角形進行構思，以尋找三角形全等時兩個三角形的位置關系——即對應的角是不是在同一個方位.

這里存在一個有意思的現象，即基礎較好的學生自覺運用了形象思維，而數學學習能力較弱的學生卻在利用抽象的三角形全等判定定理去判斷. 這樣的矛盾，顯示出的是學生思維選擇的差異，而數學教師要做的一個重要工作，就是引導學生更多地基于形象思維去建構對數學知識的理解. 譬如全等三角形，首先要加強對全等圖形的研究，要善于將看起來不全等的圖形通過形象思維的加工，變成位置關系合理、邊角對應的對應全等關系. 而在運用全等三角形判定法則的時候，則要將抽象的幾何語言有效地轉換成圖形關系，如“兩邊及夾角相等的三角形全等”應當成為學生形象思維中對應的表象，只有這個表象成熟了，學生對這一判定才會愈發熟練.

第二，學生對數學知識的理解介于經驗與數學之間. 無數實踐表明，初中生在理解數學知識的時候，都較難一下子得到數學語言所描述的那種規律，而是在生活經驗（直接經驗或間接經驗）與數學之間形成一個相對穩定的、超越生活理解，又與真正的數學理解有一定距離的認識.

例如，教學“勾股定理”這一內容時，教師通過數學史中畢達哥拉斯的探究形成直角三角形三邊關系的認識之后，相當一部分學生對勾股定理的理解也只是兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一數學關系. 而勾股定理其實還蘊含著更高層次的理解，譬如數形結合思想下用邊的數量關系描述形的關系. 因此，要幫助學生建立完整的數學知識理解，教師就需要在學生的經驗與科學的數學之間搭建一座適宜的橋梁. 從思維的角度來看，學生在這個橋梁上行走的過程正是知識得以理解的過程.

從這兩點認識學生在數學學習中的知識理解可以發現，數學學習絕對不是一個記憶與運用數學知識的過程，而是自己的生活經驗或其他知識與新的數學知識發生作用，并將作用結果以數學知識的形式納入原有數學認知結構中的過程. 只有從這個角度認識數學學習，那包括數學抽象、數學建模、數感等在內的數學學科核心素養才有可能真正養成.

初中數學知識理解的標準把握

數學知識理解是一個非常主觀的過程，學生是否理解了數學知識，教師更多的是從學生的學習結果來判斷的：如果學生能夠成功利用新學的知識解題，教師就認為學生已經理解了相應的數學知識. 這種由結果推過程的思路符合一般方法論的邏輯，但需要注意的是，這樣的對應關系并不完全成立. 更為科學的數學知識理解的判斷，需要更為科學的標準.

其一，新知識是否有效地“泊”于原有知識體系之上. 著名教育心理學家奧蘇泊爾曾經如此精辟地概括教學的要旨：如果要將全部教育心理學歸納為一句話的話，那就是教師要弄清學生已經知道了什么，然后據此進行教學. 這也是“拋錨式”教學理論的來源. 對于初中生的數學學習而言，一個重要的意旨確實是學生能夠將新知停泊于舊知之上. 理解這一點，需要防止其與教學經驗相混淆. 我們都知道，數學是一門邏輯性非常強的學科，前面的知識學不好，后面的知識理解就很困難. 但我們強調新知“泊”于舊知之上的另一層意味是，新知與舊知之間必須有充分的“作用”. 如上面所舉的“三角形全等”教學例子，學生在理解“三角形全等的條件”這一知識時，需要將圖形全等的知識充分回憶，需要將三角形全等的表象充分建立，需要基于三角形全等的表象，通過嚴密的邏輯推理（章建躍教授認為邏輯推理是數學核心素養的三大表現之一），從而認同邊邊邊、角角邊、邊角邊、角邊角等條件確實可以保證兩三角形全等，而也只有學生認同了這一邏輯關系，才意味著學生真正理解了全等三角形的判定條件.endprint

其二，能否用自己的語言對數學知識做出解釋或進行例析. 數學知識理解的另一個重要表現，是看學生能否用自己的語言解釋所學知識，或通過例子說明對所學知識的理解. 這實際上也是兩種不同的思維方式：前者對應著抽象思維——語言是抽象思維的工具；后者對應著形象思維——例子往往是基于表象而存在的. 例如，學生理解勾股定理，如果能順利地用自己的語言表述出直角三角形三邊的關系（通常還伴以自信的表情），那就可以認為學生理解了勾股定理；如果學生運用語言有困難，則可以通過實例（如“勾三股四弦五”）來說明，這也是一種理解方式.

總之，數學知識的理解不能只局限于數學知識的應用（盡管當前的評價方式主要是利用數學知識來解題），更要看學生建構知識的過程中，他們自己的經驗是否真正起到了支撐作用——如果有支撐作用，那學生在例析或者用自己的語言解釋說明的時候，往往就順暢許多. 另外，還要看信息輸入之后能否有效地輸出.

通過知識理解落實核心素養

知識理解這一概念，怎么看都有點囿于應試的意思，而核心素養怎么看都是“高大上”的概念，兩者怎么會存在依存關系呢？

其實理解這一點并不需要付出太多的努力. 初中數學教學無論如何改革，數學知識的建構總是一個基本的過程，而在尊重學生認知規律基礎上的數學教學，一定需要追求學生對數學知識的理解，在這個理解的過程中，學生需要用到數學方法，需要用到邏輯推理方法，需要在數學抽象的過程中完成數學模型的建立，而這些恰恰是數學學科核心素養所強調的內容.

從學生學習的角度來看，數學作為研究數與形的學科，學生在數學學習中，會自然形成一個數學視角，這個視角有助于學生在生活中更清晰地把握事物的本質，有助于學生通過數學模型的建立去解決實際問題，有助于學生自發地運用數學思想去判斷生活中事物的真偽. 同時，有效的學習過程必然伴隨著課程改革所強調的自主、合作、探究的學習方式，這些學習方式其實也是學生生活中所需要的能力. 因此，這些能力的形成實際上正對應著核心素養中的“必備品格”與“關鍵能力”. 因此知識的理解過程，映射著核心素養的形成過程，這一判斷是恰當的、合理的、科學的.

綜上所述，在初中數學教學中，知識理解既是一個傳統話題，同時也是核心素養培養之下的一個新的話題. 知識理解永遠指向學生的學習過程，核心素養的形成也指向學生，追求兩者的吻合，這是一舉兩得且能實現國家教育目標之事，前者可以成為后者的重要動力.endprint