多元表征：突破兒童思維品質(zhì)發(fā)展的瓶頸

姚超 卓元

摘? 要：兒童思維在發(fā)展過(guò)程中，總會(huì)遇到困頓的現(xiàn)象，就像一個(gè)“淤結(jié)”堵在前行的路上，于是阻止了兒童良好思維品質(zhì)的發(fā)展。致使其思維外顯、可視性不強(qiáng)，導(dǎo)致兒童在思考問(wèn)題過(guò)程不能做到深刻與廣闊，筆者通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生“你能讓別人一眼就看明白你的思路嗎”“動(dòng)手操作比言語(yǔ)表述效果要好”“誰(shuí)有不一樣的想法”等促使思維表征多元化的外顯、可視，打通了兒童思維品質(zhì)發(fā)展的“最后一英里”。

關(guān)鍵詞：表征;多元化;思維品質(zhì);突破瓶頸

課堂教學(xué)中有時(shí)當(dāng)一個(gè)問(wèn)題出現(xiàn)的時(shí)候，經(jīng)過(guò)學(xué)生深入思考或在教師引領(lǐng)下的思索，對(duì)問(wèn)題的理解與掌握有了突破，就是所謂的“會(huì)做了”。當(dāng)這些“會(huì)做了”的學(xué)生，去引領(lǐng)或分析講解其解決過(guò)程與策略時(shí)，他講得頭頭是道，而別人聽(tīng)來(lái)是一頭霧水似懂非懂;有時(shí)學(xué)生知道怎么做，卻說(shuō)不出為什么這樣做，就像平時(shí)所說(shuō)的“1+1=2”，為什么等于2卻沒(méi)有學(xué)生接著說(shuō)下去。難道學(xué)生在思維中真的不明白嗎？不是，而是學(xué)生不知如何將問(wèn)題的結(jié)論表征外顯、可視化。筆者在教學(xué)中每每遇到這種情況，都會(huì)停頓下來(lái)結(jié)合實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生將內(nèi)隱進(jìn)行外顯、可視達(dá)到共享。

一、你能讓別人一眼就看明白你的思路嗎？

思路決定著出路。好的思路就會(huì)有好的出路，也為同伴指出了前進(jìn)的道路。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程就是明白一個(gè)“理”的過(guò)程，這個(gè)“理”就是常說(shuō)的“算理”，做到知其然還要知其所以然。這樣學(xué)生才會(huì)真正掌握、理解問(wèn)題，并內(nèi)化成自己的東西。當(dāng)下次用到該知識(shí)點(diǎn)去解決問(wèn)題或生發(fā)問(wèn)題時(shí)，無(wú)須刻意理解，便會(huì)自然生發(fā)，就像吃過(guò)飯長(zhǎng)肉增高一樣，吃進(jìn)去的飯看不到，但長(zhǎng)高變胖卻是外顯可視的。所以，要引領(lǐng)學(xué)生將內(nèi)隱的東西進(jìn)行外顯、可視，達(dá)到合作共贏、互相補(bǔ)充，使明白的更加明白，使不足之處得到彌補(bǔ)。教學(xué)蘇教版四年級(jí)下冊(cè)《解決問(wèn)題策略》中，該解決問(wèn)題的策略是畫(huà)線段圖或示意圖，是借助幾何直觀把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明形象，使學(xué)生在直觀下理解數(shù)學(xué)。直觀理解數(shù)學(xué)問(wèn)題最直接的描述方式，就是用圖把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀地表示出來(lái)，進(jìn)而使問(wèn)題與條件之間的聯(lián)系形象、生動(dòng)，借助直觀圖分析數(shù)量關(guān)系尋求解題思路。這是不斷積累解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)，感悟直觀化思想方法，發(fā)展幾何直觀，提高分析、解決問(wèn)題能力的過(guò)程。學(xué)生完整地經(jīng)歷了“理解題意—分析數(shù)量關(guān)系—列式解答—檢驗(yàn)反思”的過(guò)程后，面對(duì)富有變化的問(wèn)題進(jìn)行挑戰(zhàn)性的解決。與教材相配套的蘇教版《練習(xí)與測(cè)試》76頁(yè)“應(yīng)用廣角”中一題：一個(gè)邊長(zhǎng)8米正方形，把它一組對(duì)邊增加3米，另一組對(duì)邊增加5米，得到的長(zhǎng)方形面積是多少平方米？問(wèn)題出現(xiàn)，學(xué)生反映不夠熱烈，于是請(qǐng)唯一舉手的劉家樂(lè)幫大家分析，該生站起來(lái)直接說(shuō)8+3=11米，8+5=13米，13×11=143平方米，得到長(zhǎng)方形面積是143平方米。而其他學(xué)生聽(tīng)完后從眼神中顯出不明白的疑慮。一個(gè)問(wèn)題的解決讓所有的學(xué)生釋?xiě)巡攀亲詈玫木辰纭Ｓ幸蓱]就不能輕松放過(guò)。“請(qǐng)你再給大家講解一遍。”對(duì)他提出了要求。他只是對(duì)剛才的內(nèi)容重復(fù)了一遍，學(xué)生們的眼神依然還是那種疑慮。“你能讓別人一眼就看明白你的思路嗎？”這是對(duì)他的詢問(wèn)。“既然解決問(wèn)題，就要充分地運(yùn)用解決問(wèn)題的策略。”他在我的提示后，略沉了幾秒，然后在黑板上畫(huà)一個(gè)正方形：

“一組對(duì)邊增加3米。”在一組對(duì)邊畫(huà)出了增加的3米。

“另一組對(duì)邊增加5米。”然后在另一組對(duì)邊畫(huà)出增加的5米（如圖1）。

習(xí)題中說(shuō)兩組對(duì)邊增加后得到一個(gè)長(zhǎng)方形，而現(xiàn)在卻是長(zhǎng)方形缺了一角，應(yīng)怎么辦？這另外一組對(duì)邊不應(yīng)該說(shuō)是原來(lái)正方形的對(duì)邊，而是一組對(duì)邊增加3米后圖形的對(duì)邊，形成正確圖形是這樣的，對(duì)他畫(huà)的圖形做了調(diào)整，如圖2。

簡(jiǎn)單的一句提醒，由原來(lái)的解決問(wèn)題的語(yǔ)言表征轉(zhuǎn)換成直觀的圖形，通過(guò)這個(gè)圖形所有學(xué)生都清楚明白了一組對(duì)邊增加3米，另一組對(duì)邊增加5米，所得到的長(zhǎng)方形圖形，求其面積就迎刃而解了。有時(shí)候就是這樣，同樣的內(nèi)容換一種表征方式就會(huì)豁然開(kāi)朗。看來(lái)一句“你能讓別人一眼就看明白你的思路嗎”，確是理解問(wèn)題的另一條出路。劉家樂(lè)從自己的直觀圖形表征下，加深了對(duì)此問(wèn)題的理解，同學(xué)們也知道長(zhǎng)方形得來(lái)的原因。圖形的直觀表征方式，使學(xué)生感受到畫(huà)圖描述和分析問(wèn)題，對(duì)問(wèn)題解決的價(jià)值。這培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀，提高分析和解決問(wèn)題的能力，獲得了解決問(wèn)題的成功體驗(yàn)，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

二、動(dòng)手操作比語(yǔ)言表述效果要好

對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容表征的形式是多樣的。有一位老師談到引導(dǎo)學(xué)生對(duì)1/2的表征，有的是“二分之一”;有的用一個(gè)蘋(píng)果仔細(xì)地從中間一開(kāi)兩半，其中一半是1/2;有的說(shuō)班級(jí)有40名同學(xué)，其中男生20人，男生人數(shù)占班級(jí)人數(shù)的1/2……不管采用什么樣的表征方式，最終目的在于創(chuàng)新，讓對(duì)方清晰明了。有些數(shù)學(xué)內(nèi)容，即使用語(yǔ)言描述得再細(xì)致，但在學(xué)生的思維當(dāng)中仍然形成不了其理解下的思維表征，對(duì)于此類內(nèi)容只可意會(huì)不可言傳。在認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形基礎(chǔ)上，繼續(xù)深入學(xué)習(xí)三角形。三角形的三邊關(guān)系不能僅局限于一個(gè)結(jié)論：三角形任意兩邊之和大于第三邊。但其后還有一個(gè)對(duì)學(xué)生思維發(fā)展跳躍的臺(tái)階，那就是三角形穩(wěn)定性的特征。徹底理解了三角形穩(wěn)定性特征，學(xué)到的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，而且豐富了生活體驗(yàn)，從這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)就把數(shù)學(xué)與生活結(jié)成一家親。

師：同學(xué)們理解了三角形三邊之間關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊。現(xiàn)在做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，用3根木條釘成三角形框架用力去拉，看看三角形框架形狀會(huì)發(fā)生變化嗎？先猜測(cè)一下。

生：不會(huì)變。

生：會(huì)變。

師：根據(jù)這兩種結(jié)論，我們用事實(shí)說(shuō)話。（安排學(xué)生拉三角形框架進(jìn)行實(shí)驗(yàn)）

生（齊說(shuō)）：沒(méi)有變化。

師：正因?yàn)槿切斡羞@個(gè)特征，所以許多物體上都用三角形的結(jié)構(gòu)。現(xiàn)在這個(gè)小方凳的腿活動(dòng)了，怎么辦？（拿出方凳子進(jìn)行晃動(dòng)）

生：斜釘一根木條成三角形就不晃動(dòng)了。

師：（釘上木條后，用力晃動(dòng)）為什么釘上木條就晃不動(dòng)了呢？這里有一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)三角形，用錘子順著一個(gè)角用力敲，看看形狀會(huì)不會(huì)變化？

生：長(zhǎng)方形的形狀會(huì)變，三角形的形狀不變。

師：（教師用錘子分別去敲打）結(jié)果是三角形的形狀不變，這一點(diǎn)充分證明了三角形的穩(wěn)定性：當(dāng)一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)度確定后，這個(gè)三角形的形狀、大小就不會(huì)改變。

教師無(wú)論用什么樣的語(yǔ)言描述三角形穩(wěn)定性的特征，都不如用直觀形象的動(dòng)手操作表征來(lái)“表述”，學(xué)生易理解與掌握，并能很好地運(yùn)用。整個(gè)“砸”三角形和長(zhǎng)方形的過(guò)程中，相互對(duì)比，恰到好處地處理了“教”與“學(xué)”的關(guān)系，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，有效地思索猜想，在活動(dòng)中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，感悟了數(shù)學(xué)思想，積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生思維條理性和嚴(yán)密性，發(fā)展了空間觀念。

三、誰(shuí)有不一樣的想法？

“有一千名讀者，就有一千個(gè)哈姆雷特。”每個(gè)人所處視角或思考角度的不同，對(duì)同一問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生不同的看法，所以數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)，教師應(yīng)多問(wèn)“誰(shuí)有不一樣的想法？”輕盈的一問(wèn)會(huì)“釣”出讓人驚喜的“大魚(yú)”。談不一樣是對(duì)他人看法的補(bǔ)充，是對(duì)他人看法的質(zhì)疑，是對(duì)他人看法的辯駁，只有說(shuō)出來(lái)自己和別人不一樣，思維上的印跡會(huì)更加清晰與牢固。培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)上敢于提問(wèn)、質(zhì)問(wèn)、疑問(wèn)、責(zé)問(wèn)，在其“問(wèn)”下，會(huì)有新的問(wèn)題產(chǎn)生，使學(xué)習(xí)得以繼續(xù)與深入，通過(guò)學(xué)生提出自己的問(wèn)題，使思維得到了外化，使自己得到與別人接收的描述表征清晰有度。蘇教版四年級(jí)下冊(cè)《三角形內(nèi)角和》教學(xué)，通過(guò)師生共同創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)沖突，以疑促思，尋求驗(yàn)證，最后得出不同形狀的三角形內(nèi)角和都是180°。

師：剛才我們接觸的是測(cè)量法，但通過(guò)我們實(shí)地檢測(cè)，有時(shí)候測(cè)量不夠準(zhǔn)確，這個(gè)結(jié)論不科學(xué)。誰(shuí)有不一樣的想法呢？

生1：我是將三角形的三個(gè)內(nèi)角向形內(nèi)折疊，這三個(gè)頂點(diǎn)交在一起，角的兩邊分別重合，就形成一個(gè)平角，平角是180°，說(shuō)明三角形的內(nèi)角和是180°。（生一邊折疊一邊解釋）。

生2：我的方法更簡(jiǎn)單，我是先畫(huà)一個(gè)平角，然后把這三個(gè)角分別剪下來(lái)，這樣沿著平角一個(gè)一個(gè)地拼在一起，正好與平角重合。這驗(yàn)證了我的猜想：三角形內(nèi)角和是180°。

師：折疊法和剪拼法比測(cè)量法科學(xué)有效。誰(shuí)有不一樣的想法？

生3：我的想法更特別一些。我把三角形的三條邊分別延長(zhǎng)成為平角（如圖3），三個(gè)平角的和是：180°×3=540°，我把∠1、∠2、∠3分別剪下來(lái)拼在一起成一個(gè)周角，540°-360°=180°，也說(shuō)明三角形內(nèi)角和是180°。

生4：我的想法是：長(zhǎng)方形的4個(gè)角都是直角，內(nèi)角和是360°，現(xiàn)在沿著對(duì)角線剪開(kāi)，把剪開(kāi)后的兩個(gè)三角形進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形一樣大小。也就是把360°平均分成2份，一份就是180°，也證明三角形內(nèi)角和是180°。

學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索解決問(wèn)題的策略，激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生親歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，通過(guò)自己語(yǔ)言和行為表征，把自己思維表征傳遞給其他同學(xué)，讓他們?cè)谝捉庀滦纬勺约旱乃季S表征，從而使“授方”與“收方”都能體驗(yàn)到成功的快樂(lè)。

黎巴嫩詩(shī)人紀(jì)伯倫有詩(shī)云：我們已經(jīng)走得太遠(yuǎn)，以至于忘記了為什么出發(fā)。要想不忘記出發(fā)的原因，就不能走得太遠(yuǎn)，在邊行邊走中，換一種思路去驗(yàn)證。認(rèn)知心理學(xué)的觀點(diǎn)表明：一個(gè)問(wèn)題表征清楚，問(wèn)題就解決了一半。“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。”課堂上，教師多問(wèn)、多暗示的操作演示比用語(yǔ)言描述更清楚……學(xué)生會(huì)將內(nèi)隱的思維外顯而可視，通過(guò)畫(huà)圖、操作等過(guò)程，使新舊知識(shí)不斷分化重組，形成一個(gè)有意義的主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程是對(duì)汲取的信息進(jìn)行加工，重新組織若干已知規(guī)則，形成新的高級(jí)規(guī)則，用以達(dá)到一定的目標(biāo)。所汲取來(lái)的將成為解決問(wèn)題過(guò)程的思維素材，即問(wèn)題解決有個(gè)適合自己的清晰思維表征形式，學(xué)生思維能力隨之發(fā)生變化也即發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。