例談函數(shù)教學(xué)中的問(wèn)題情境設(shè)計(jì)

沈利明

[摘? 要] 抽象的函數(shù)知識(shí)在動(dòng)畫(huà)情境、生活情境、故事情境、游戲情境等巧妙的設(shè)計(jì)與實(shí)施中，會(huì)展現(xiàn)出令學(xué)生容易理解與感悟的知識(shí)點(diǎn)與關(guān)聯(lián)，能使學(xué)生在各種緊緊圍繞課堂教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的情境中形成更加豐富而深刻的認(rèn)知、理解、體驗(yàn)與感悟.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)教學(xué);問(wèn)題情境;興趣

引導(dǎo)學(xué)生在函數(shù)的學(xué)習(xí)中樹(shù)立運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)，并掌握函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題，使學(xué)生在函數(shù)的研究中掌握函數(shù)的內(nèi)容、方法與基本應(yīng)用是函數(shù)教學(xué)的主要目標(biāo). 現(xiàn)實(shí)生活中的各種數(shù)學(xué)問(wèn)題常包含很多相互聯(lián)系與影響的變化中的數(shù)量，函數(shù)這一概念正是對(duì)這些變化中的數(shù)量關(guān)系的描述，因此，教師在函數(shù)教學(xué)中，應(yīng)抓住其源于生活的這一顯著特點(diǎn)進(jìn)行各種情境的創(chuàng)設(shè)，使學(xué)生在熟悉的生活領(lǐng)域里產(chǎn)生與新知識(shí)之間的聯(lián)系，并激發(fā)出更加強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)熱情.

動(dòng)畫(huà)情境的利用

初中生對(duì)直觀形象的圖像、實(shí)物投影以及生動(dòng)的語(yǔ)言描述更感興趣，因此，教師在函數(shù)教學(xué)中可以根據(jù)學(xué)生的這一心理特點(diǎn)，充分利用幾何畫(huà)板進(jìn)行描點(diǎn)、畫(huà)圖等設(shè)計(jì)，使學(xué)生能夠在描點(diǎn)、畫(huà)圖等形成的形象圖形中探索函數(shù)的性質(zhì). 學(xué)生在形象的視角下更容易對(duì)研究?jī)?nèi)容產(chǎn)生靈感，函數(shù)學(xué)習(xí)中重要的數(shù)形結(jié)合思想不僅在這一過(guò)程中得到了充分體現(xiàn)，還會(huì)讓學(xué)生在函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中掌握一種新的學(xué)習(xí)策略.

例如，教師教學(xué)“分段函數(shù)概念”這一內(nèi)容時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生先畫(huà)出y=x和“招手即停”的規(guī)則，并創(chuàng)設(shè)生活中的動(dòng)畫(huà)情境以加深學(xué)生的印象. 如出租車計(jì)價(jià)問(wèn)題就是學(xué)生比較熟悉的一個(gè)例子：某地出臺(tái)了出租車計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，即4 km以內(nèi)10元（包含4 km）;4 km以外但又在10 km以內(nèi)的，1.5 元/km，10 km以外的2元/km. 問(wèn)：

（1）某人打的的行程是8 km，應(yīng)付車費(fèi)多少元？

（2）車費(fèi)和行車?yán)锍讨g的函數(shù)關(guān)系式是怎樣的？

（3）某人打的共用去35元，行車?yán)锍虘?yīng)該是多少千米？

問(wèn)題（1）就是生活中的事件，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，解決起來(lái)沒(méi)有問(wèn)題. 不同的行程會(huì)影響車費(fèi)的不同表達(dá)，因此學(xué)生對(duì)于問(wèn)題（2）還需要經(jīng)過(guò)一定的思索與研究，其實(shí)根據(jù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的三種情況，分段函數(shù)的三個(gè)關(guān)系式自然能表示出來(lái). 對(duì)于問(wèn)題（3），隨著函數(shù)表達(dá)式的呈現(xiàn)，此題也能迎刃而解.

生活情境的利用

學(xué)生在函數(shù)的學(xué)習(xí)中如果能夠感受到身邊的數(shù)學(xué)，那他們對(duì)函數(shù)的理解相對(duì)來(lái)說(shuō)就會(huì)更加輕松. 因此，教師在函數(shù)教學(xué)中可以充分利用生活情境，以幫助學(xué)生探求函數(shù)變量之間的關(guān)系.

例如，生活中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)市場(chǎng)營(yíng)銷、盈利測(cè)算、貸款利息計(jì)算等問(wèn)題，這些都是學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)中可以善加利用的好素材. 教師在函數(shù)概念的教學(xué)中，如果可以將這些生活中的問(wèn)題進(jìn)行妥善設(shè)計(jì)，并引入學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)中，那學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解必然更加到位. 如請(qǐng)學(xué)生利用周末時(shí)間各自去市場(chǎng)調(diào)研某一商品的銷售情況，要求如下.

（1）記載某一商品的單價(jià)、兩組以上的銷售數(shù)量和金額;

（2）根據(jù)自己的調(diào)研數(shù)據(jù)分析單價(jià)、數(shù)量和金額之間存在的變化規(guī)律.

接著，在課堂教學(xué)中演示學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行分析，使學(xué)生能在親身經(jīng)歷的數(shù)據(jù)采集與分析中獲得常量與變量的概念以及函數(shù)的概念.

學(xué)生在自己的親身經(jīng)歷中總結(jié)出函數(shù)的概念，此時(shí)他們心理上的生疏感與陌生感也降低了很多.

故事情境的利用

故事情境的巧妙設(shè)計(jì)與導(dǎo)入往往能使學(xué)生得到更多的數(shù)學(xué)啟示. 比如，教師在函數(shù)表示法的教學(xué)中可以設(shè)計(jì)這樣一個(gè)“龜兔賽跑”的故事情境：龜兔賽跑的故事大家都知道，兔子醒來(lái)時(shí)發(fā)現(xiàn)烏龜已經(jīng)快到終點(diǎn)了，兔子著急得急忙追了過(guò)去，但為時(shí)已晚，兔子還是輸了. 如果我們將兔子與烏龜行走的路程記作s，時(shí)間記作t，圖1所示的四幅圖中哪一個(gè)和故事情節(jié)是吻合的呢？

游戲情境的利用

緊緊圍繞所學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的游戲，也能使學(xué)生在趣味性的問(wèn)題探索中揭示函數(shù)的本質(zhì).

筆者在一次函數(shù)教學(xué)中曾經(jīng)設(shè)計(jì)了如下游戲：請(qǐng)學(xué)生在一副新的撲克牌（王牌除外）中任意抽取一張，并記住自己抽取的牌號(hào)，規(guī)定A是1，J是11，Q是12，K是13，其他牌號(hào)都以撲克上的數(shù)值為準(zhǔn)，然后請(qǐng)學(xué)生按照所得牌號(hào)乘2加3后乘5再減去25. 接著，請(qǐng)學(xué)生告訴筆者自己的計(jì)算結(jié)果，筆者可以知道學(xué)生原來(lái)抽取的牌號(hào).

這是一個(gè)運(yùn)用對(duì)應(yīng)法則的游戲，假設(shè)學(xué)生抽取的牌號(hào)為自變量x，由對(duì)應(yīng)法則可得y=5（2x+3）-25，即y=10x-10，由題意可知定義域?yàn)閧1，2，3，…，13}，值域?yàn)閧0，10，20，…，120}，如果算出y=120，那么x=13，即K;如果結(jié)果是60，那么x=7. 函數(shù)的定義與實(shí)質(zhì)在游戲中充分展現(xiàn)了出來(lái)：每個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的因變量都是唯一的.

探索性情境的利用

布魯納曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“探索是數(shù)學(xué)的生命線. ”學(xué)生的內(nèi)心常常希望自己在學(xué)習(xí)中是探索者、研究者與發(fā)現(xiàn)者，因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)巧妙地設(shè)計(jì)一些富有挑戰(zhàn)性與探索性的問(wèn)題情境，以促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中深入鉆研與探究. 不過(guò)，教師在設(shè)計(jì)這些具有挑戰(zhàn)性和開(kāi)放性的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)考慮到學(xué)生的心理特點(diǎn)，并結(jié)合教材進(jìn)行靈活處理，讓學(xué)生的探索欲望被有力地激發(fā)，這樣他們才會(huì)更加積極地調(diào)動(dòng)思維感受數(shù)學(xué)，并在經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程中體驗(yàn)到成功的樂(lè)趣.

例如，筆者曾經(jīng)設(shè)計(jì)過(guò)這樣一個(gè)商品銷售案例：某商店新購(gòu)進(jìn)了一批日用品，該批日用品的單價(jià)是16元. 老板根據(jù)一段時(shí)間的銷售試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，如果按照每件20元的零售價(jià)格出售，每月的銷售總量是360件;如果按每件25元的零售價(jià)格出售，每月的銷售總量是210件. 將每月的銷售總量記作y，銷售單價(jià)記作x，y是x的一次函數(shù).

（1）y和x之間的關(guān)系式是怎樣的？

（2）如果不存在商品積壓以及其他因素，要使每月獲利最多，則該批日用品的單價(jià)應(yīng)定為多少？此時(shí)每月的最大利潤(rùn)有多少？

分析? 此題的自變量是該日用品的銷售單價(jià)，因變量是每月所獲利潤(rùn)，而每月銷售總量與銷售單價(jià)和批發(fā)價(jià)息息相關(guān)，因此，解題的關(guān)鍵在于理清這三者之間的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖? 為了讓學(xué)生更好地理解題目的本質(zhì)，并更好地解決此題，教師應(yīng)在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)模型的適用條件與此題的特征進(jìn)行整理，幫助學(xué)生在整理中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生明確運(yùn)用模型解題時(shí)的各個(gè)環(huán)節(jié)與步驟，鼓勵(lì)學(xué)生首先講一講哪些應(yīng)該是先做的，哪些應(yīng)該是后做的，哪些應(yīng)該是最后做的，鍛煉學(xué)生表達(dá)能力的同時(shí)，使學(xué)生對(duì)解題思路更加清晰. 教師在學(xué)生的講述過(guò)程中，應(yīng)適時(shí)給予評(píng)價(jià)和點(diǎn)撥，以更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情. 學(xué)生在情感上體驗(yàn)當(dāng)老板的過(guò)程時(shí)，會(huì)不時(shí)地產(chǎn)生各種新奇的問(wèn)題，課堂氛圍會(huì)因?qū)W生的表現(xiàn)而高潮迭起，不同層次的學(xué)生還會(huì)在體驗(yàn)中均獲得很好的感悟.

實(shí)踐情境的利用

教師在課堂教學(xué)中一定要以學(xué)生的活動(dòng)作為教學(xué)的主線，并激勵(lì)學(xué)生在課堂上主動(dòng)參與、實(shí)踐、思考、探索和創(chuàng)造. 比如，教師教學(xué)“正比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”時(shí)，就可以巧妙地設(shè)計(jì)操作實(shí)踐，以促進(jìn)學(xué)生感悟，讓學(xué)生在正比例函數(shù)圖像的作圖實(shí)踐過(guò)程中掌握“描點(diǎn)法”這一作圖方法. 不僅如此，學(xué)生還要在自己動(dòng)手的過(guò)程中清楚地知道正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線，接著教師給出典型例題讓學(xué)生再次進(jìn)行畫(huà)函數(shù)圖像的實(shí)踐操作，使學(xué)生更加明確取兩點(diǎn)畫(huà)函數(shù)圖像的操作方法以及函數(shù)圖像的意義. 教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生在活動(dòng)中動(dòng)起來(lái)，并以實(shí)踐活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)與思維發(fā)展，使學(xué)生能夠在動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)等數(shù)學(xué)活動(dòng)的親身經(jīng)歷中對(duì)數(shù)學(xué)展開(kāi)認(rèn)識(shí)與研究，在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的過(guò)程中鍛煉自己的抽象思維能力，從而促進(jìn)自己從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的升華.

函數(shù)教學(xué)的內(nèi)容與環(huán)節(jié)都不止一個(gè)，在函數(shù)教學(xué)的整個(gè)階段，教師應(yīng)根據(jù)每堂課的特點(diǎn)進(jìn)行各種情境的設(shè)計(jì)與利用，使學(xué)生能在不同情境中對(duì)所學(xué)內(nèi)容展開(kāi)思考與研究，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突的同時(shí)，將學(xué)生對(duì)新知識(shí)的求知欲望與探索熱情都充分地激發(fā)出來(lái)，讓學(xué)生在各種緊緊圍繞課堂教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的情境體驗(yàn)中形成更加豐富而深刻的認(rèn)知、理解、體驗(yàn)與感悟.