淺析“用頻率估計(jì)概率”課程的教學(xué)策略

虎永強(qiáng)

摘 要：在初中數(shù)學(xué)知識體系中，與概率相關(guān)的知識是比較獨(dú)特的。頻率和概率兩個概念之間的關(guān)系是一個教學(xué)難點(diǎn)，能否攻克這個難點(diǎn)直接影響著“用頻率估計(jì)概率”課程的教學(xué)。由于北師大版的數(shù)學(xué)教材將概率知識分別分布在七年級下冊和九年級上冊中，因此要注重前后知識的聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：頻率；概率；初中數(shù)學(xué)

在初中數(shù)學(xué)知識體系中，與概率相關(guān)的知識是比較獨(dú)特的。這部分知識一方面與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密，另一方面對學(xué)生的思維品質(zhì)提出了較高的要求。這部分知識需要的是嚴(yán)密的邏輯推演能力、基于此的數(shù)據(jù)計(jì)算能力以及一定的形象分析能力。“用頻率估計(jì)概率”是北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊教材第三章第二節(jié)的教學(xué)內(nèi)容。這一章是關(guān)于概率的知識。這一章的知識和同版本七年級下冊第六章的知識相關(guān)。因此，在講授“用頻率估計(jì)概率”課程時應(yīng)當(dāng)首先復(fù)習(xí)與之相關(guān)的已學(xué)知識。

一、復(fù)習(xí)與新課程相關(guān)的已學(xué)內(nèi)容

在復(fù)習(xí)七年級下冊第六章的知識時，要重點(diǎn)讓學(xué)生回憶、再現(xiàn)和理解頻率和概率兩個概念之間的關(guān)系，即二者之間的聯(lián)系和區(qū)別。既可以讓學(xué)生翻閱七年級下冊的教材重讀相關(guān)章節(jié)，也可以直接提問或讓能迅速回憶起相關(guān)知識的學(xué)生主動回答這個問題。在這個過程中，可以讓有不同意見的同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)充。

當(dāng)學(xué)生對頻率和概率的知識進(jìn)行了回憶后，教師可以進(jìn)行如下總結(jié)：第一，頻率就是不確定事件A發(fā)生的次數(shù)m與總試驗(yàn)次數(shù)n的比值。頻率可以用來表示不確定事件A在下一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性。第二，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時，m/n的值即頻率會越來越接近于某一個固定值。這個固定值就是概率。概率同樣可以用來表示不確定事件A在下一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性。第三，頻率和概率的聯(lián)系是：在試驗(yàn)次數(shù)接近于無限次時，頻率無限接近于概率。第四，頻率和概率的區(qū)別是：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)不同時，頻率可能不同，而概率是恒定不變的。第五，有些不確定事件的概率是可以進(jìn)行計(jì)算的，如等可能事件；而有一些不確定事件的概率是無法進(jìn)行計(jì)算的，只能用頻率估計(jì)概率。進(jìn)行上述總結(jié)，可以讓學(xué)生明確頻率和概率的關(guān)系，為之后的教學(xué)進(jìn)行鋪墊。

二、以問題啟發(fā)學(xué)生思考如何“用頻率估計(jì)概率”

1.拋出需解決問題，設(shè)置引導(dǎo)性問題

先拋出教材中的“估計(jì)紅白球比例”問題，讓同學(xué)們進(jìn)行思考：

一個口袋中有紅球、白球共10個，這些球除顏色外都相同。如果不將球倒出來數(shù)，那么你能設(shè)計(jì)一個試驗(yàn)方案，估計(jì)其中紅球和白球的比例嗎？

在給出問題后，教師可以通過由淺入深地設(shè)置問題以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，如：

第一，什么是不確定事件？“估計(jì)紅白球比例”問題中的不確定事件具體指什么？

第二，等可能事件的特征有哪些？

第三，“估計(jì)紅白球比例”問題中的不確定事件是等可能事件嗎？

第四，應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)試驗(yàn)來計(jì)算“估計(jì)紅白球比例”問題中不確定事件的頻率呢？

2.引導(dǎo)性問題的設(shè)置目的及解釋

提出上述四個問題的目的在于：

第一，讓學(xué)生深化對不確定事件的理解。在“估計(jì)紅白球比例”問題中，不確定事件是指從袋中摸出一個球?yàn)榧t球或摸出一個球?yàn)榘浊颉?/p>

第二，讓學(xué)生理解等可能事件的特征，進(jìn)而明確就已學(xué)知識而言，只可以計(jì)算等可能事件的概率。等可能事件的特征有兩點(diǎn)：一是一個試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果有n種，每次試驗(yàn)有且只有其中的一種結(jié)果出現(xiàn)；二是每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。

第三，讓學(xué)生理解“估計(jì)紅白球比例”問題中的不確定事件不是等可能事件。在“估計(jì)紅白球比例”問題中，從袋中摸出一個球?yàn)榧t球?yàn)椴淮_定事件。按照等可能事件的兩個特征進(jìn)行比對會發(fā)現(xiàn)：第一，在摸球試驗(yàn)中，所有可能的結(jié)果有2種，即紅球或白球。每次從袋中摸球或者是紅球或者是白球，結(jié)果只可能是二者之一。這一點(diǎn)與等可能事件的第一個特征相符。第二，從袋中摸出紅球和白球的可能性是否相同是不確定的。因?yàn)榇屑t白球的具體個數(shù)是不明確的，這就使得每次試驗(yàn)摸出紅球和白球的可能性存在不確定性。這一點(diǎn)與等可能事件的第二個特征不相符。因此，“估計(jì)紅白球比例”問題中的不確定事件不是等可能事件，無法計(jì)算其概率。

第四，在前述三個問題的鋪墊下來解決“估計(jì)紅白球比例”問題。在設(shè)計(jì)試驗(yàn)時，可以讓學(xué)生參考七年級下冊第六章第二節(jié)開篇的試驗(yàn)。根據(jù)這個試驗(yàn)可以做如下設(shè)計(jì)：

從袋中摸出一個球并記錄下球的顏色為1次試驗(yàn)。以10n次試驗(yàn)為一組，當(dāng)n=1，2，3，……時分別計(jì)算摸出紅球的頻率、摸出白球的頻率、紅白球的比例。在此基礎(chǔ)上，估計(jì)紅白球在下一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率以及紅白球的比例。試驗(yàn)需要的記錄表格可以設(shè)計(jì)成如下樣式：

三、需要注意的問題

第一，通過上述內(nèi)容可以看出，學(xué)生對于基本概念的理解對于理解問題和解決問題是十分重要的。在解決“估計(jì)紅白球比例”問題時，涉及對“不確定事件”“頻率”“概率”“等可能事件”等概念的理解。在此過程中，需著重理解各個概念間的聯(lián)系和區(qū)別。可見，在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中對于基本概念的理解是十分重要的。因此，在教學(xué)過程中，要著重強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)基本概念、基本原理、基本方法的理解。

第二，要重視通過設(shè)置問題對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)。當(dāng)學(xué)生面對“估計(jì)紅白球比例”問題無從下手時，教師就應(yīng)當(dāng)將這個問題分解成幾個具有難度梯度和遞進(jìn)關(guān)系的小問題，逐步地啟發(fā)學(xué)生從基本概念入手，一步一步地接近需要解決問題的核心。這樣可以緩解學(xué)生對于數(shù)學(xué)問題的畏難心理，培育學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。在這個過程中，教師需要能夠準(zhǔn)確地預(yù)估學(xué)生在解決目標(biāo)問題時可能會遇到的“瓶頸”，以此為根據(jù)設(shè)置具有啟發(fā)性的問題，這樣才能發(fā)揮啟發(fā)式教學(xué)的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]丁楓.初中階段概率教學(xué)問題分析及策略研究[D].山東師范大學(xué)，2008.

[2]馮樹超.初中統(tǒng)計(jì)與概率課堂教學(xué)準(zhǔn)備策略研究[D].合肥師范學(xué)院，2015.

編輯 趙飛飛