數學解題的“再回首”

摘要：解題的“再回首”是對解題活動的反思，是對解題活動的深層次再思考，是再發現、再創造的過程。從三個方面出發，探討如何引導學生在解題前、解題中、解題后進行反思，從而深化問題理解，優化思維過程，揭示問題本質，培養學生樹立解題反思的意識，提升數學解題的能力。

關鍵詞：數學解題；反思；解題能力

《數學課程標準》把“反思”這一教學理念提到了應有的高度：“評價應關注學生能否不斷反思自己的數學學習過程，并改進學習方法”。這一標準的提出，要求學生在平時學習中要有反思的意識及能力，而這恰是我們所要提倡和引導的。

一、 設計解題前的反思，深化問題理解

解題前反思指的是看到一道題目時，能夠通過聯想、類比、反思，充分挖掘隱含條件，尋找解題思路，找到解題的突破口。

例1（1）從0到9這10個數中，每次任選5個，組成沒有重復數字的5位數，問這個5位數是奇數的概率是多少？

分析：因為五位奇數首位不能為零，故樣本空間是9A49，樣本數為C15A18A38，故所求概率為：P=C15A18A389A49

（2） 從0到9這10個數中，每次任選5個，組成沒有重復數字的5位奇數的概率是多少？

解題前反思：這兩題的樣本空間一樣嗎？樣本數一樣嗎？有何異同點？由題（1）可以得到什么啟示？

分析：不能因為五位奇數首位不能為零而束縛任意排列，回避這種情況就意味著不公平，故所求的五位奇數的概率為：P=C15A18A38A510

二、 設計解題中的反思，優化思維過程

解題中反思指的是在解題過程中讓學生自己發現暴露出的問題，引導其去反思問題的根源。

例2一個等差數列的第6項是5，第3項與第8項的和也是5，求這個等差數列前9項的和。

分析：引導學生進行反思：本題主要考查什么知識點？考查意圖是什么？有沒有更簡便的方法呢？

于是學生通過反思，就會聯想到等差數列的性質，有如下巧解：因為a3+a8=a5+a6，得a5=0，所以S9=（a1+a9）29=9a5=0.

變式：一個等比數列的第6項是5，第3項與第8項的積也是5，求這個等比數列前9項的和。

分析：本題難度加大，在解題過程中更要反思解題方法與技巧，不能盲目計算，可以類比例2，運用等比數列的性質來解題較為簡便。

通過反思，就會聯想到等比數列的性質，同樣有如下巧解：因為a6=5，a3a8=5，又a3a8=a5a6=5，所以a5=1，從而q=5，a1=a6q5=5-4，這樣就可以求出s9。

三、 設計解題后的反思，揭示問題本質

解題后主要反思：在解題過程中存在的主要知識缺漏和解題錯誤的主要原因，以及在解題中所用不同知識間的內在聯系，揭示問題本質，尋求規律，積累經驗，提高解題能力。

例3已知a，b∈R+，且a+2b=1.求1a+1b的最小值.

以下是兩位學生的解答：

解法一：由a∈R+得a+1a≥2（1）

由b∈R+得2b+1b≥22b·1b=22（2）

由（1）（2）式得a+2b+1a+1b≥2+22

所以，1a+1b≥22+1

故1a+1b的最小值是22+1.

解法二：因為a，b∈R+，且a+2b=1

所以1a+1b=（a+2b）1a+1b≥22ab·21ab=42.

故1a+1b的最小值是42.

反思：上述兩種解法都是錯誤的.在教學過程中應及時引導學生反思錯在哪里？導致錯誤的是什么？求代數式的最小值，關鍵在于確定最小值能否得到.在若干個不等式中，等式成立的條件是不能矛盾的.解法一中，（1）式中等號成立的條件是a=1，而（2）式中等號成立的條件是b=22，這與a+2b=1是矛盾的.解法二中，a+2b≥22ab當且僅當a=2b等式成立，1a+1b≥21ab當且僅當a=b等式成立.顯然也是矛盾的.在學習諸如a2+b2≥2ab等重要不等式時，學生往往對“≥”中的“=”成立的條件不夠重視.通過這樣的反思，不但使學生對不等式中等式成立的條件引起高度重視，而且對其應用的理解層次得到提高。

總之，教師必須努力培養學生的解題反思意識與應用，學生只要學會了解題反思，就能以少勝多，較大限度地發揮其解題能力，使效益最大化，有利于跳出題海，激發創新意識，提升思維品質，事半功倍。

作者簡介：

蔣秀金，福建省三明市，福建省尤溪縣第五中學。endprint