淺談課后作業改編

郭斌斌

摘要：讓學生通過小組合作的方式來探究勾股定理的證明。

關鍵詞：勾股定理；小組合作； 斜邊垂直；新課程理念

引言：勾股定理是一個基本的初等幾何定理，現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一，也是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一。

新浙教版2.7探索勾股定理（1）中，只介紹了一種證明方法，介于勾股定理證明的趣味性，我覺得有必要對勾股定理的證明方法進行拓展、延伸和提煉。

一、命題描述

原題：作業本2.7探索勾股定理（1）第7題

如圖1，將一個直立的火柴盒在桌面上橫向倒下，火柴盒的一個側面ABCD橫倒后的位置AB′C′D′，連結CC′.設AB=a，BC=b，AC=c，利用梯形BCC′D′面積的不同算法可以說明勾股定理a2+b2=c2成立.請你試一試，看能不能推導出勾股定理.

改編：如圖1，將一個直立的火柴盒在桌面上橫向倒下，火柴盒的一個側面ABCD橫倒后的位置AB′C′D′，連結CC′.現沿著AC，AC′剪開，得到4個全等的RtΔ.

（1）請你利用4個全等的直角三角形，來驗證勾股定理，要求：1.所得圖形不同于圖1；2.以4人一小組為單位進行合作討論，畫出所得圖形，并寫出證明過程.

（2）請你利用2個全等的直角三角形，來驗證勾股定理，以4人一小組為單位進行合作討論，畫出所得圖形，并寫出證明過程.

（3）請你利用直角三角形和正方形的組合，來驗證勾股定理，以4人一小組為單位進行合作討論，畫出所得圖形，并寫出證明過程.

二、設計意圖及實施策略

1.設計意圖

主觀上：曾經看到過這樣一則故事：1876年一天的傍晚，當時美國議員伽菲爾德正在散步，發現有兩個小孩正在談論著什么。由于好奇他向兩個小孩走去，只見其中一個正用樹枝在地上畫著一個直角三角形，于是問他們在干什么。那小孩說：“先生，如果兩條直角邊長為5和7，那么斜邊長是多少？”他不假思索地回答：“斜邊的平方等于5的平方加上7的平方。”小孩又說：“你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞。于是他回家潛心探討，終于弄清了其中的道理。由此可見勾股定理有著很大的魅力，所以我覺得有必要對勾股定理的證明方法進行拓展，好讓學生能夠進一步體會勾股定理之美。

客觀上：數學課上不僅要進行知識的傳授，而且要重視數學思維能力的培養及個性品質的形成。就需要學生積極參與課堂教學，變被動接受為主動探究，真正發揮學生的主體作用。

2.實施策略

基本步驟如下：

（1）以4人一小組為單位進行合作討論，小組成員間的座位是采用面對面和相鄰的形式，這樣有利于互相學習、討論；

（2）組內成員分工明確，第1位學生要集合大家的智慧，利用所給的直角三角形或者和正方形的組合，要擺出正確的圖形，第2位學生要根據所擺出的圖形在白紙上畫出該圖形，第3位學生需要記錄下證明的過程，第4位學生作為發言人展示小組的合作學習成果；

（3）完成習題的（1）之后，每個小組成員之間的角色要相互轉換一次，以此類推，盡可能的使每個成員都能從不同的位置和角色上得到體驗、鍛煉和提高。

（4）由于小組中的每個成員都有自己的認知結構和自己思想方法的局限性，所以課后請每個小組成員記錄下在合作討論中的收獲。

三、學生答題情況

由于學生已經學過新浙教版2.7探索勾股定理（1），所以對于勾股定理證明的思想方法有了一定的成功體驗和積累。但是此題顯然不是簡單的按部就班，而是需要學生的創新精神和數學構造思想的一種結合，不僅如此，此題還要求學生的發散思維，追求圖形構造的多樣化，綜上所述，這題應該具有一定的難度，對學生的數學綜合運用能力要求比較高。

第（1）題的答題情況：所有小組都能構造出如圖2的圖形，少部分小組還能構造出如圖3的圖形，但當老師加以適當的引導：1.圖2能成功的驗證勾股定理的關鍵點你認為是什么；2.要產生c2就需要做到四個直角三角形的斜邊互相垂直，這樣引導之后所有小組都能構造出如圖3的圖形。

第（2）題的答題情況：所有小組都能構造出如圖4的圖形，也都能想到需要連結DE，并且能借助圖4完成勾股定理的證明。

當追求所擺圖形的多樣化時，卻遇到了一定的困難，只有少數小組能構造出如圖5或如圖6的圖形，但當老師加以適當的引導：1.我們已經從第（1）題獲得了哪些成功的經驗；2.如何做到兩個直角三角形的斜邊互相垂直，這樣引導之后大部分小組都能構造出如圖5、如圖6的一個或者兩個圖形。

對于利用已經構造出的如圖5和如圖6的兩個圖形來完成勾股定理的證明，顯然對于學生而言并非易事，也只有2個小組能勝利完成證明過程，因此老師作了適當的引導：1.觀察如圖4的圖形，為什么會想到連結DE，是因為能夠產生c2，事實上產生的是面積c22；2.居然如此，那么我們能不能用類比思想來解決問題，能不能在如圖5和如圖6的圖形中產生面積c22，這樣引導之后大部分小組都能想到連結如圖7、圖8中的DB，從而能進一步利用圖形來完成勾股定理的證明。

第（3）題的答題情況：有了第（2）題完成對于勾股定理證明的基礎，大部分小組能夠構造出至少1個圖形，而且也能夠利用面積法完成對于勾股定理的證明。

四、評價建議及命題反思

1.小組合作的評價：（1）小組合作學習為學生創設了一種民主、平等的課堂氛圍，學生在合作中尋找到了學習的樂趣，體驗到了參與合作的快樂，因此在整個探究的過程中，每位小組成員參與學習的積極性都非常高；（2）合作學習最大的優勢是充分發掘和利用了人際資源，在合作中懂得了“眾人拾柴火焰高”的道理，所以在一個小組里的每個成員都能主動思考，各司其職；（3）學生在合作討論中思維常常會產生碰撞，而本題又要求構造圖形的多樣化，所以學生會嘗試不同的方案來解決，因此每一位成員的創新意識在無形中提高；（4）通過小組合作學習的開展，學生的集體榮譽感和團隊意識得到了增強。

2.命題反思：（1）題目的起點不夠低，從第（1）題的小組合作的過程來看，盡管絕大部分的小組能夠構造出圖形，并能寫出勾股定理的證明過程，但是在每一小組中學習基礎相對薄弱學生的主動參與性不強，也就是他們的參與實際上是被動的，如果題目的難度再降低點，那么他們的參與很有可能變被動為主動；（2）從整個題目的設計，可能存在一定的缺陷，我們已經知道，能夠成功證明勾股定理的圖形，那么就要做到直角三角形的斜邊應該是互相垂直的，而斜邊互相垂直的情況不一定是頂點要重合。所以從思維的嚴謹性上考慮應該要讓學生走出只構造出頂點重合的情形，至少從圖形上要知道不一定是頂點要重合；（3）命題設計的完整性還不夠，課堂教學的目的就是讓學生學習并掌握科學文化知識，以期更方便地解決生活中發現的問題。所以此題在最后環節設計中可以增加一些聯系生活的應用問題，從而好讓學生更加充分的體會到我們數學學習的目的。

參考文獻：

[1] 岳健.淺談如何組織有效的小組合作學習 [J].新課程（上），2011（5）：207.

[2] 龔志明.學以致用，讓初中數學回歸生活[J].科教創新，2013（2）.

（作者單位：浙江省南潯錦繡實驗學校 313009 ）endprint