與三角形“三線”有關(guān)問題的解法探究與感悟

錢麗談 楊吉青

摘 要：本文從一道練習(xí)的解法探究總結(jié)歸納了與三角形中線、高線、角平分線有關(guān)問題的幾個重要視角.同時，通過各個視角對同一問題的解法進(jìn)行探究和分析，充分感受到“一題多解”對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的促進(jìn)作用.

關(guān)鍵詞：三角形三線;解法探究;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

二、解法歸納

對于同一道題，從不同的角度分析可以得到不同的解法.上述從不同的視角討論了題目的8種不同的解法，通過對比，這8種不同解法的難易程度不同.

角平分線的性質(zhì)定理在初中時已經(jīng)經(jīng)過了大量的訓(xùn)練，是學(xué)生最熟悉的定理之一，因此解法1和解法2是學(xué)生最容易上手的，是對定理的直接應(yīng)用，對數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)運算要求比較低.

直角坐標(biāo)系使幾何研究又一次騰飛，當(dāng)我們給直線插上方程的“翅膀”后，直線問題的研究就變得更加深入和透徹了.解法3、解法4、解法5都是以直線方程的視角來解題的，但是不同的解法對學(xué)生的思維要求是不同的.解法3是考慮了直線方程中傾斜角和斜率這兩個表象之間的關(guān)系，屬于淺層次的知識應(yīng)用;解法4需要將角平分線定理與點關(guān)于直線的對稱問題相結(jié)合，通過“數(shù)形結(jié)合”，用抽象的代數(shù)形式來解決直觀的對稱問題，需要學(xué)生具有較好的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng);解法5從軌跡的角度來求角平分線使得直線方程更加一般化，更加抽象了，特別是對關(guān)系式y(tǒng)=|4x+3y-12|5中絕對值內(nèi)數(shù)值正負(fù)的判斷，更需要學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的工具.在平面幾何中向量可以將很多問題代數(shù)化，三角形的“三線”都有自己的向量表示，因此三角形“三線”問題往往可以借助向量來解決.當(dāng)然解法6首先要求學(xué)生能夠聯(lián)系向量來理解和刻畫“角平分線”的內(nèi)涵，這是一種對所學(xué)知識進(jìn)行融會貫通的綜合應(yīng)用能力，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性和深刻性都有很高的要求.同樣，解法7和解法8分別借助正余弦定理和三角形“四心”的性質(zhì)來解題，都需要有較強的綜合應(yīng)用知識的能力，都屬于深層次的知識應(yīng)用.

三、探究感悟

一題多解是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種有效的手段.一題多解首先需要學(xué)生能從題目所給的數(shù)量及圖形之間的關(guān)系中尋找概念之間的聯(lián)系，能從多角度認(rèn)識一個問題，這個分析問題的過程就是一個數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析的過程.當(dāng)然，在尋找不同解法的過程中，直觀想象也會發(fā)揮重要的作用;其次，解題過程本身就是一個思維與運算相結(jié)合的過程，不同的解法主要體現(xiàn)在思維的靈活性和深刻性以及運算的難易性上，通過“一題多解”可以比較不同解法的優(yōu)劣，探究好的解法究竟“優(yōu)”在哪里？在這個解決問題和比較分析的過程中自然能潛移默化地提高學(xué)生的邏輯推理及數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的發(fā)展.

總之，一題多解的解法探究能促進(jìn)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界;對同一道題運用多樣化的表征來實現(xiàn)一題多解能促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界;一題多解之后對不同解法的比較歸納和總結(jié)能促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界.