讓數學學習向縱深處漫溯

方芳

【關鍵詞】認識百分數;數學思考;數學思想;數學思維

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2018）81-0064-03

不久前，筆者聽特級教師周衛東執教蘇教版六上《認識百分數》，感觸頗深：周老師從知識的頂端和本質研究教材，以“高觀點”的視角引領教學，給了這節課全新的生命——內涵深刻、外延豐富、溝通緊密、板塊清晰，充分體現了學生主體。

這節課教學的界面特別寬，知識的延展特別豐富，涉及的概念延展就有比、扇形統計圖、分數的產生、估算、十進分數等，每一處延伸都讓學生體會到數學思考可以更全面、更深刻、更豐富，每個學生的數學思考能力都得到了一定程度的鍛煉和提高。

數學思想的滲透往往是“潤物細無聲”的。本節課中，在揭示百分數意義的過程中，圈出一個數和另一個數的圈，對學生習得建模思想的作用不言而喻;讓學生自主表示百分數和分數的關系，集合圈的出現體現了集合思想的滲透;引導學生比較百分數和分數的區別，掌握百分數的本質特征，無形之中有了比較思想;學生在研究過程中學會一分為二、辯證地看待事物，讓辯證思想悄然登場。

這節課著力聚焦高階思維的提升，學生在學習、思考的過程中分析、評價和創造，在解決問題的過程中融會貫通、拓展思路、發散思維。本節課中，表示數量之間關系知識點的整理、十進制分數的拓展、百分數產生必要性的探究等，讓學生的思維能力不斷提升，學生的創造力、想象力在教師搭建的舞臺上發光發亮。

片段一：引發聯想，深度追問“百分數的意義”

師：課前，老師請大家找一個生活中用到百分數的句子。現在，請你說出你的句子，并說說你句子中的百分數表示什么意思。

生：一杯糖水含糖7%，這里百分數表示糖是糖水的7%。

生：下載一部動畫片，進度條顯示78%，這里百分數的含義是已下載動畫片的量是下載總量的78%。

師：像這樣說下去，說得完嗎？老師這兒也有個句子——“一塊電池，用電量還剩80%”，這個句子中的80%是什么意思？

生：剩余電量占總電量的80%。

師：好好觀察這些百分數，表示的意思，試著概括一下百分數究竟表示什么。

師：是的，所謂百分數，就是表示一個數是另一個數的百分之幾。這句話是百分數意義規范層面的解讀，在數學上，根據這個意義，我們還可以聯想到更多和它有關的句式。

出示任務一：“一塊電池，用電量還剩80%”，還可以想到哪些關鍵句？

學生大膽想象、發散思維，完成學習單，然后全班交流。

生：已經用掉的電量占總電量的20%。（板書：百分數）

生：用去電量和剩余電量的比是1∶4。（板書：比）

生：剩余電量占總電量的。（板書：分數）

生：剩余電量是用去電量的4倍。（板書：倍） 生：把用去的電量看作1份，剩余的電量就是4份。（板書：份）

師：由一句含有百分數的句子，大家想到了比、分數、倍、份，真是太牛了！好好琢磨一下，這些知識點有沒有共同之處？它們都在努力表示什么？

生：我覺得它們都在表達兩個數之間的關系或聯系。

師：說得多好啊！是的，它們都是在表達數量之間的關系。（板書：關系，整理出圖1）

師：同學們把小學階段表示數量之間關系的知識點基本都整理出來了，可以用百分數表示，可以用比表示，可以用分數表示，可以用倍表示，也可以用份表示，它們是一些相近的概念。

教材中給出的百分數的意義只有一句話：“一個數是另一個數的百分之幾。”在教學中，周老師通過引導學生解讀生活中百分數的含義，促使學生不斷地概括、歸納、總結，從而得出所謂“關于百分數意義的最規范層面的概括”。接著，周老師通過“還可以想到哪些關鍵句？”這個問題，進一步推動學生的聯想、溝通，并在相關過程中形成了一幅精妙的關系圖。這幅圖揭示了百分數和比、分數、倍、份等概念表達的都是數量之間的關系，促進學生對百分數意義的研究走向了更深處。

片段二：對比分析，逐層理清“百分數和分數間的關系”

師：剛才，我們研究了百分數的意義，并由百分數做出了這么多的聯想，真是太棒了！接下來，讓我們聚焦這個問題，百分數和分數之間到底有什么樣的關系？同桌互相說一說。

出示任務二：哪些是百分數？分數與百分數之間是什么關系？

師：“一根繩長米，用去了”“噸是噸的”，這兩個句子中哪些是百分數？圈出來。想一想，百分數和分數之間到底有什么關系？用一張圖來表示兩者之間的關系。

師：為什么圈的這兩個數是百分數？

生：“一根繩長米”，是把1米看作單位“1”，平均分成100份，取其中的41份，而“用去了”，是用去的繩長與繩子總長度進行了比較。

生：帶單位的分數表示的是具體數值，不帶單位的分數表示的是數量之間的關系。

師：由此可見，盡管帶單位的分數的分母也是100，但它不是百分數。弄清楚這個關系之后，我們再來看這位同學的作品（如圖2），用這樣的圖表示分數和百分數間的關系，可以嗎？

師：老師把圖稍微改進一下，但不改變它的意思。（豎線隔開）百分數表示一種關系，那左邊這部分表示什么？（具體數值）右邊呢？（關系）（如圖3）

師：是的，表示關系的分數中有一種特殊的數，就是百分數，它特殊在哪里？（分母是100）百分數還有一些“親兄弟”，大家猜猜是什么。

出示：今年小麥增產了兩成;我的牛排煎七分熟;按原價的九折購得一臺電腦;海水的含鹽量是3.5‰;存款的月利率是5.85‰。

生：哇！是十分數和千分數。

師：十分數的分母是10，百分數的分母是100，千分數的分母是1000，這些分數都是“十進分數”。

百分數的本質特征（百分數不是一個具體的量，而是刻畫一種比率關系）是學生理解百分數意義的一個難點。透過實例中“哪些是百分數”的判斷，突出百分數和分數的對比，學生在比較中自主建構出了百分數和分數的關系：百分數是一種特殊的分數。接著，周老師啟發學生進一步探究：百分數是從分母是100的分數發展而來的，但又區別于分數，百分數只能表示兩個數之間的關系，而分數既能表示具體數值也能表示兩個數的關系。除了百分數之外，還有一些特殊的分數，如千分數、十分數等，它們都叫十進分數。教師站在一定的高度對知識的外延進行了補充，讓學生在討論、交流、評價過程中逐步打破了自己對分數和百分數的原有認知，提升了思維。

片段三：創設疑障，有效回應“百分數產生的必然”

師：清楚了百分數和分數的關系，我們來研究第三個問題——有了分數，為什么還要有百分數？大家互相說一說。

出示任務三：哪一種罐頭的質量好？（出示圖4）

師：我發現好多同學在皺眉頭，為什么？

生：不好算。

師：先說說應該怎么來解決這個問題。

生：算合格的占抽查箱數的幾分之幾，然后比較三個分數的大小。

師：在比較時你有什么感覺？

生：太難了。

師：是的，看得出，你們都是在硬通分，還有更好的方法嗎？

生：統一成百分數。

師：統一成百分數有什么好處？

生：好比較，分母都是100.

師：怎么把這樣的分數化成百分數呢？

生：用分子除以分母，把分數轉化成小數，確認保留幾位小數位后，乘以100，得數加上%就變成百分數了。

師：我們經歷了復雜的、不好比較的過程，更好地體會到了百分數的作用。現在誰來說說，為什么有了分數還要有百分數呢？

生：在分數不好比較時，先統一成相同的計數單位，然后再比較。

師：太了不起了！為大家點贊！此時，這個統一的計數單位是什么？

生：百分之一。

在突出百分數相較于分數的優越性時，無論是人教版教材還是蘇教版教材，使用的例題看似不同，但內在本質都是一樣的：化成分數進行比較時，公分母恰巧就是100，這樣的題材太過巧合，人為的痕跡過重，不能把學生置于一個矛盾沖突之中，從而不易使他們感受到百分數“不可替代”的作用。試想，通分后公分母如果是300，是不是也要創造一個三百分數？此環節中，周老師創設了一個趨于真實的情境，讓學生在沖突、悱憤的狀態中皺眉、苦思，從而頓悟到百分數產生的必然。

師：百分數的產生是為了更方便我們去比較。回憶一下，分數是在什么情況下產生的？（出示人教版教材中的素材）

師：分數就是在生活中為了度量的需要產生的。在分數的使用過程中，為了更方便我們比較，發明了百分數。那再想想，學習百分數有什么用？

生：用到生活中去。

師：是的，學習百分數是為了更好地服務于生活。如果離開了生活當中的應用，百分數就失去了意義。（出示圖5）

百分數產生的必要性在這個環節得到了很好的體現。教師精心創編數據，使得實際問題更貼合實際情況，在問題解決過程中，學生更加體會到百分數產生的需要。結合歷史文化背景介紹，形成分數、百分數和生活三者之間的循環聯系，有助于學生更深刻地理解分數、百分數產生的必然性。

（作者單位：南京市長江路小學）