關聯同類微專題，鋪墊設問助突破
——以中考微專題復習為例

☉江蘇江陰市青陽第二中學 朱建民

☉江蘇江陰市青陽第二中學 陳 雷

中考復習課的選題或學材的精選是每位備課老師首要關注的教研話題.當前，比較流行的做法是圍繞知識點進行知識點的梳理，然后跟進一些典型中考試題，再選一些同類習題進行訓練.然而有些習題雖然從形式上看屬于同一知識點，但是從解題方法、主要難點上看卻是另外知識點或方法上的難點.基于以上認識，我們近期嘗試構建小專題進行復習，筆者將其定位為“主題關注”，即在某一個方法或知識點的串聯下，精選一些同類習題，預設微專題復習進行訓練講評，有望高效地解決這類問題.本文記錄一節主題關注“拋物線與直線相切”的考點，供分享和研討.

一、中考微專題復習課教學簡案

教學環節（一） 基礎熱身.

例1 （1）拋物線y＝x2-x＋m，若其頂點在x軸上，則m＝__________.

（2）在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2-3x-4與x軸的交點的個數是________.

（3）若二次函數y＝x2＋2x＋m的圖像與x軸沒有公共點，則m的取值范圍是________.

教學預設：這三道小題分別訓練了拋物線與x軸的三種位置關系，利用根的差別式計算求解可以獲得解答.為后面相關考題的探究，做好了知識或方法上的預熱與準備.

教學環節（二） 考題探究.

例2 如圖1，以扇形OAB的頂點O為原點、半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，點B的坐標為（2，0）.若拋物線y=與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數k的取值范圍是_______.

圖1

教學預設：解這道題主要是想清三點，第一，拋物線沿y軸上下平移，在平移過程中會與扇形OAB的邊界有交點；第二，拋物線經過點B是一次臨界狀態，把點B的坐標代入拋物線解析式可得k的一個臨界值；第三，拋物線與線段OA有且只有一個公共點時，是另一個臨界狀態，可聯立拋物線的解析式與直線OA的解析式，利用根的判別式為0來確定k的另一個臨界值.教學時注意觀察、發現學生的易錯點，即把原點O代入拋物線的解析式求出k=0，需要引導學生辨明這種典型錯誤，可以通過適當放大圖形比例，或通過幾何畫板動態演示交點個數從直觀上獲得感知，再從“數”的角度進行精準演算.

例3 在平面直角坐標系xOy中，若點D的橫坐標和縱坐標相等，則稱點D為等值點.例如點（1，1）、、…都是等值點.已知二次函數y=ax2+4x+c（a≠0）的圖像上有且只有一個等值點當m≤x≤3時，函數的最小值為-9，最大值為-1，分析m的取值范圍.

教學預設：這是一份中考?？荚嚲淼奶羁疹}最后一題，極少數學生能夠解決，究其原因，是因為找不到解題的切入口，不知道從何處下手.為了引導學生自主獲得思路，我們提出如下一些鋪墊問題：

鋪墊問題1：題目中的“等值點”有何特征？（預設：這些等值點在直線y=x上）

鋪墊問題2：二次函數y=ax2+4x+c（a≠0）的圖像上有且只有一個等值點，你想到了什么？（預設：該拋物線與直線y=x相切，即聯立兩個解析式后，根的判別式為0）

鋪墊問題4：當a、c明確之后，問題簡化為大家熟悉的下題：

當m≤x≤3時，函數y=-2x2+4x-3（a≠0）的最小值為-9，最大值為-1，分析m的取值范圍.（答案為-1≤x≤1）

教學環節（三） 難題突破.

例4（2016年北京海淀區中考二模第29題改編）對于某一函數給出如下定義：若存在實數p，當其自變量的值為p時，其函數值等于p，則稱p為這個函數的不變值.在函數存在不變值時，該函數的最大不變值與最小不變值之差q稱為這個函數的不變長度.特別地，當函數只有一個不變值時，其不變長度q為0.例如，圖2中的函數有0、1兩個不變值，其不變長度q等于1.

記函數y=x2-2x（x≥m）的圖像為G1，將G1沿x=m翻折后得到的函數圖像記為G2.函數G的圖像由G1和G2兩部分組成，若其不變長度q滿足0≤q≤3，分析m的取值范圍.

教學預設：這道題十分抽象、晦澀、難懂.我們也預設如下問題，進行鋪墊式提問：

鋪墊問題1：新定義中提到的所謂不變值，讓你想到了什么？（預設：類似上題的等值點，或直線y=x）

鋪墊問題2：新定義中的不變長度，你是如何理解的？你能再舉一個例子嗎？（預設：如果學生不能順利舉例，可以舉函數、y=x2為例，安排學生求出它們的不變長度，如果學生有困難，可以先讓他們分析出這兩個函數的不變值，把y=x代入相應的函數關系式中可求出兩個不變值）

圖2

鋪墊問題3：先畫出函數y=x2-2x的圖像（用虛線畫圖像），明確它的對稱軸、頂點坐標，指出它的增減性.舉例，用實線畫出當x≥1時的函數圖像（記為G1）；再將這部分“實像”沿直線x=1翻折，得到圖像G2，它們組合成的函數圖像G的不變長度是多少？

鋪墊問題4：在上一問的基礎上，當x≥3時的函數圖像記為G1，再將這部分“實像”沿直線x=3翻折，得到圖像G2（如圖3），它們組合成的函數圖像G的不變長度是多少？

鋪墊問題5：在上一問的基礎上，當x≥4時的函數圖像記為G1，再將這部分“實像”沿直線x=4翻折，得到圖像G2（如圖3），它們組合成的函數圖像G有不變值嗎？

圖3

鋪墊問題6：繼續畫圖分析，當x≥0時的函數圖像記為G1，再將這部分“實像”沿直線x=0翻折，得到圖像G2，它們組合成的函數圖像G的不變長度是多少？

鋪墊問題7：當x≥-1時的函數圖像記為G1，再將這部分“實像”沿直線x=-1翻折，得到圖像G2，它們組合成的函數圖像G的不變長度是多少？

鋪墊問題8：如圖4，是否存在某一個m的值，使得翻折后的圖像G2恰與直線y=x相切？如何分析出此時m的值？ （預設：設G2的解析式為y=（x-n）2-1，將它與直線y=x聯立，利用Δ=0解出n，再算出m的值即可）

圖4

教學環節（四） 同類鏈接.

訓練題：（2017年泉州模考題改編）在平面直角坐標系中，我們定義點P（a，b）的“變換點”為Q，且規定：當a≥b時，Q為（b，-a）；當a＜b時，Q為（a，-b）.

已知直線l與坐標軸交于（6，0）、（0，3）兩點.將直線l上所有點的變換點組成一個新的圖形，記作M.

（1）畫出圖形M，并直接寫出圖形M對應的函數解析式；

（2）判斷拋物線y=x2+c與圖形M的交點個數，以及相應的c的取值范圍，請直接寫出結論.

教學預設：圖形M的圖像大致如圖5，注意圖形M是分段函數圖像，對應著直線及y=2x-6.接下來，在分析拋物線y=x2+c與圖形M的交點個數時，可想像拋物線從上往下平移過程中，依次與直線x-3相切，此時與圖形M有一個交點，接著拋物線會與直線y=2x-6相切，與圖形M形成3個交點；當拋物線經過圖形M的“頂點”（2，-2）時，又是一次臨界狀態.

圖5

二、關于微專題復習課的教學思考

1.微專題復習課的功夫首先在選題與解題.

微專題復習課的習題不能隨便“抓取”，需要在教師大量解題、積累并反思相同結構的考題基礎上進行精選，并安排由易到難的順序漸次呈現.這個過程中，教師日常解題特別是基于大量、長期解題收集的一些素材是十分關鍵的，平時能否對一些相同或相近結構的考題進行搜集、整理、歸類存檔，常常是研發高質量微專題的前提.以筆者的經驗，對積累豐富的老師來說，有時微專題的選題甚至很快就能從電腦中檢索出幾個典型問題，并精選幾道例題，而這些素材和資源都是平時日積月累形成的.

2.微專題復習課教學的關鍵是預設鋪墊問題.

選題之后，關鍵是針對較難問題預設恰時恰點的鋪墊式問題，就像上文中的一些鋪墊式問題一樣，針對學生理解新定義、突破難點和易錯點處進行設問，通過鋪墊問題引導學生學會思考，自主“破題”（史寧中教授語），最終實現問題的解決.而鋪墊式問題的預設又需要教師基于深刻理解考題結構的能力，當然，研判學生可能的一些障礙或理解上的難點也是教學預設的必備專業基本功.

1.沈麗婧.聚焦微專題：中考二輪復習的實踐與思考——以一組“關聯試題”復習為例［J］.中學數學（下），2017（3）.

2.儲秀梅.同類跟進：試卷講評課的一種策略——以一道反比例函數把關題講評為例［J］.中學數學（下），2017（5）.

3.潘龍生.教學，少些一帶而過［J］.數學通報，2015（1）.