基于“四基”的“字母表示數”的教學設計

黃翠萍 李昌勇

[摘? 要] 學生應“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”. 本文借助“字母表示數”，讓學生在發現問題、提出問題、解決問題的過程中，感悟數學思想方法，累積數學活動經驗.

[關鍵詞] 四基;數學思想;活動經驗;數學活動

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》首次明確地將“數學活動經驗”納入課程目標范圍內;《義務教育數學課程標準》（2011版）將以前的“雙基”擴展為現在的“四基”，即在“基礎知識”“基本技能”的基礎上添加了“基本思想”和“基本活動經驗”.

長期以來，“雙基”一直是我國基礎教育關注的核心，在此基礎上，教育工作者們應該如何正確地認識“基本思想”和“基本活動經驗”，怎樣將其融入日常的數學課堂教學中呢？筆者在此以北師大2013年版數學教材的七年級第三章第一節“字母表示數”這一教學案例為載體，探討如何在日常教學中滲透“四基”，深度挖掘教材的基本思想，靈活、科學地設計數學活動，引導同學們發現問題、提出問題、解決問題，從而獲得基本活動經驗.

“四基”概念

1. 數學的基本知識和基本技能

數學的基本知識包括概念、法則、性質、定理、公理等;數學的基本技能包括計算、推理、做題等.

2. 數學的基本思想

史寧中教授給出了數學思想的兩個標準，一是數學的產生和發展所依賴的思想;二是數學思想是學過數學和沒有學過數學的人在思維上的根本差異. 還提出數學思想有三個最本質的特征：抽象、推理、模型.

3. 基本活動經驗

張奠宙教授在《“數學基本經驗”的界定與分類》中寫道：“所謂基本數學經驗，當是指在數學目標的指導下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識. 數學活動經驗的累積過程是學生主動探索的過程. ”

張奠宙教授也提出了四基的基礎模型是建立在一個三維的模塊之上的，在第一個維度上面主要是積累數學知識，第二個維度上面主要是基本技能的學習和演練，第三個維度上面主要是形成數學思想方法的過程，還剩下的數學活動經驗并不屬于任何一個維度，它是這三個維度的調和劑，可以將三個維度緊密聯系在一起. 所以在教學過程中，主要是通過數學活動經驗，讓學生習得一定的數學知識、基本技能和數學思想方法.

“字母表示數”的教學設計

1. “字母表示數”在教材中的地位

？搖“字母表示數”是整個初中代數知識的基礎，是學生從具體的數字運算過渡到代數的抽象運算的一個重要橋梁，標志著學生從算數思維轉變到代數思維. 數是無窮舉的，需要同學們理解字母表示數的抽象概括的過程，所以代數思維最主要的就是一般化. 此后，學生才能通過抽象概括來表示數學中一些可描述性的定律、定理等，體會數學的抽象性與概括性，建立學習函數所需要的基本思想.

2. “字母表示數”的教學重點與難點

這節課的重點主要是讓學生學會用字母表示數和表示一些簡單的數量關系;教學難點是根據不同的情況賦予字母不同的意義，能夠探索具體問題中的數量關系和變化規律.

所以在教學過程中，學生需要理解的內容包括：

（1）字母到底代替了什么？

（2）給一個抽象的字母以特定的含義，怎樣用它來描述我們的法則和規律？

（3）在不同的場景下，同樣的字母是否表示相同的意義？

3. 四基觀點下“字母表示數”的教學構成

張奠宙教授提出了四基數學教學模塊，在概念型綜合模塊中給出四基呈現的順序是：基本知識的掌握→練習獲得基本技能→通過反思獲得基本思想方法→積累數學活動經驗. 在這整個學習過程中，主要是借助數學活動，獲得數學基本活動經驗和基本思想方法.

本節課主要設計了四個數學活動，四個活動呈遞進式的關系，如圖2，活動1是復習鞏固學生之前的基礎知識;活動2是在活動1的基礎上學習推理等基本技能，滲透符號化思想和模型思想;活動3在前兩個活動的基礎上，復習鞏固基本知識和基本技能，同時累積遞推和化歸思想;活動4具有一定的難度，是為了加強基本技能的學習，升華基本思想方法.

4. “字母表示數”教學片段

活動一：圖3是用棋子擺成的圖形. 擺第10個圖形需要多少枚棋子？擺第n個圖形呢？你是如何得到的？

師：我們想一想，n可以表示哪些數呢？

設計意圖? 對于學生來說，如何從數是具體的可數的，過渡到用字母表示的數是抽象的、可變的，這是學生在認識上的一個質的飛躍，也是學生在學習本章時的一個難點. 本次活動從最簡單的找規律出發，能夠讓學生在原有的基礎知識上完成這個活動，不僅充分調動學生的積極性，同時在活動中滲透：同一個字母可以表示任意的、可變的數. 而且通過讓學生自己舉例，說明n可以表示的數字，加深學生在活動中的體會.

活動二：圖4是用棋子擺成的圖形.

①按照如圖所示的方式，搭第2個圖形需要（? ? ? ）個棋子，搭第3個圖形需要（? ? ? ）個棋子.

②搭第10個這樣的圖形需要多少個棋子？

③搭第100個這樣的圖形需要多少個棋子？你是怎樣得到的？

④如果用n表示所搭的圖形數，那么搭第n個這樣的圖形需要多少個棋子？與同伴進行交流.

⑤假設第n個圖形由T個棋子組成，那么第n+1個圖形應該由幾個棋子組成呢？

生1：第n個圖形由n排棋子組成，第一排有1個棋子，第二排有2個棋子，第3排有3個棋子……依次類推，直到第n排有n個棋子，所以總共的棋子數是1+2+3+……+（n-1）+n.

生2：第1個圖形需要1個，第2個圖形需要3個，第3個圖形需要6個，依次類推，第10個圖形需要55個;第n個圖形是在n-1個圖形的總棋子數上再加n個棋子.

生3：因為第n+1個圖形是在第n個圖形上再加n+1個，所以第n+1個圖形的棋子數為T_n+n+1.

設計意圖? 學生能夠由第一個活動聯想到每個圖形都是在前一個圖形上面進行增加 ，擁有一定的遞推思想，能夠自己進行簡單的推理. 在本活動中，學生通過老師的引導，能夠體會化歸的思想，發現棋子排列的規律. 只是學生描述這個規律的語言會比較冗雜，不夠精練，使用準確的數學語言來描述結果和答案是很困難的. 在解決這個問題的過程中，學生能夠充分體會到用字母來表示數及規律的作用和必要性.

史寧中教授認為數學的基本思想就是“演繹”和“歸納”，在本次活動中，老師需要引導學生們進行一定的探索，利用遞推思想，通過歸納總結得到第n個圖形總共需要的棋子數，同時根據最后一個問題進行簡單的驗算，給學生滲透方程的思想.

活動三：如圖5，第一個圖形，搭一個正方形需要四根火柴棍，依次按圖搭建下去，如果用x表示所搭正方形的個數，那么搭x個這樣的正方形需要多少根火柴棍？與同伴進行交流.

師：同學們可以分享一下你們的做法嗎？

生1：我們可以將第一個正方形左邊的火柴棍單獨放置，后面所有的正方形都是由3根火柴棍組成的，所以得到總的火柴棍數量是3x+1.

生2：只有第一個正方形是由四根火柴棍組成的，后面的正方形都是由3根火柴棍組成的，所以得到總的火柴棍數量是4+（x-1）×3.

生3：因為正方形都是由四根火柴棍組成的，只是組合在一起的時候，中間的兩根就重合成了一根，所以得到總的火柴棍的數量是4x-（x-1）×1.

生4：因為整個圖形的火柴棍擺放都分成3個部分，橫著的兩條線和豎著的一條線，所以得到總的火柴棍的數量是x+x+（x+1）.

師：我們現在已經得出了四種方法，那同學們可以思考下，這四種方法得到的結果都是正確的嗎？我們怎么來確認方法的正確性呢？

同學們可以在一定程度上理解四個式子的由來，只是不能判斷式子的正確性，老師可以引導同學們代入不同x的值進行驗算，看所有式子的答案是否相同.

設計意圖? 學生在這個活動中需要進行觀察、猜測、推理、驗證，在圖形的生成上，學生既要進行“橫”的考慮，也要進行“豎”的考慮. 通過之前的活動，學生已經具備了從特殊的問題中歸納出一般性結論的能力，在本次活動后，希望學生能夠得到從一般性結論中求出更加復雜的特殊性問題的技能.

活動四：搭一個正方形需要四根火柴棍，將正方形按照圖6的規律進行搭建.

①第n+1個圖形需要的火柴棍數量比第n個圖形需要的火柴棍數量多多少？

②第6個圖形所需要的火柴棍數量是多少？

③第20個圖形需要的火柴棍的數量是多少？

④思考題：第n個圖形需要多少根火柴棍？

生1：從圖上可以看出來，第n+1個圖形是在第n個圖形的基礎上增加了兩種火柴棍，一種豎的，一種橫的，橫的多出來的是2+（2n-1），豎的多出來的是2n，一共多出來的就是2+（2n-1）+2n根火柴棍.

設計意圖? 這個活動中，學生在回答了問題①的基礎上，能夠理解這個圖形的生成過程，利用遞推的思想可以完成問題②和③，且在完成思考題的基礎上能夠驗算之前的答案. 第四個活動是對前面三個活動的一個升華，在這個數學活動中，學生不僅需要應用遞推和化歸的思想，還可以體會最基本的數學思想方法：演繹和歸納. 也能夠將基本知識進行升華：字母在不同環境中表示的數的意義是不一樣的，而且能夠用來表達我們的定理法則以及規律. 升華探索規律的基本技能，能為之后的學習打下基礎. 同時這個活動也將推理能力和模型思想進行提升，學生在找規律的過程中從不同角度出發，這才真正體會到了本節課的本質：含有字母的式子不僅僅可以表示數量，同時還可以表示一種數量關系.

總結

以上四個活動，只有第三個活動是教材上已有的案例，在深刻解讀教材之后，筆者根據“字母表示數”在教材中的地位，重新整合案例，按照活動難度從淺到深進行教學，讓學生在探索過程中體會從特殊到一般、從具體問題抽象出數學思想.

學生通過以上四個活動，可以經歷“發現問題——提出問題——解決問題——總結數學思想方法”的過程，積累數學活動經驗. 老師在引導同學們進行數學活動時，需要讓學生主動參與到活動中來，在自主探究的過程中進行推理，體會遞推、化歸的思想. 同時需要深度挖掘教材，依據教材進行數學活動，使學生不僅能提升知識、鍛煉技能，還能體會數學思想的本質，積累數學活動經驗. 只是什么樣的數學活動才是有效的數學活動，怎樣安排數學活動，則需要老師不斷對教材進行挖掘，根據實際情況做具體安排.