例談高中函數(shù)值域的幾種解法

許奕+馬雄

摘要：高中數(shù)學(xué)課本中的的函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一直都是作為一個(gè)十分關(guān)鍵的學(xué)習(xí)模塊而存在，也正是因?yàn)槠渥陨韮?nèi)容的重要性與復(fù)雜性，讓許多學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候都遇到了或多或少的困難.本文就立足于高中函數(shù)在求解值域時(shí)運(yùn)用到的方法，選取一些合適的例題進(jìn)行講解與歸納，希望能夠?yàn)樵撝R(shí)的講解帶來一定的幫助作用.

關(guān)鍵詞：函數(shù)值域；解題方法；適用類型

一、配方法

該種方法的適用類型為一般能夠利用換元法進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)題目類型.

例1求函數(shù)y=e-x2+4x-3的值域.

解析這道題目能夠?qū)⒐讲鸱殖蔀閥=eu以及u=-x2+4x-3這樣兩個(gè)部分，這樣一看該函數(shù)呈現(xiàn)出一個(gè)復(fù)合函數(shù)應(yīng)有的樣子，接下來就可以針對(duì)u來進(jìn)行配方，可以得到：u=-（x-2）2+1，最終可以確定函數(shù)的最值，也就是最大值u=1，得到最值之后就可以按照y=eu來求解出當(dāng)最終的函數(shù)大于等于零的時(shí)候，函數(shù)y=e-x2+4x-3的值域?yàn)椋簓∈（0，e].

例2求解函數(shù)y=-x2+x+2中的值域范圍.

解析仔細(xì)觀察不難得出該式中存在可以完全平方的式子，因此就可以利用這一點(diǎn)，湊成二次函數(shù)來達(dá)到求解最值和值域的目的.首先確定該題目中的定義域x∈[-1，2]，接下來就可以針對(duì)根號(hào)下面的式子-x2+x+2來將其變?yōu)?（x-12）2+94∈[0， 94]，由此可見，該題目中0≤-x2+x+2≤32，所以不難最終判斷出其值域?yàn)閇0， 32].

如果面對(duì)的式子是一種分式形式的時(shí)候：，并且該分式可以通過變形調(diào)整為y=aa1x2+b2x+c+b的形式，通常就可以按部就班選擇配方分母部分的方法進(jìn)行值域解析的嘗試.

例3求解y=12x2-3x+1的值域范圍.

解析將題目中的函數(shù)進(jìn)行分母配方，可以得到式子：

y=12 （x-34）2-18，通過該式，能夠推理得出：

2（x-34）2-18≥-18.

因此，最終可以確定該分式y(tǒng)的最終值域?yàn)椋海?∞，-8）∪（0，+∞）.

二、 判別式法

該種方法通常來說被廣泛應(yīng)用在分式的上下部分均含有二次項(xiàng)的函數(shù)類型，并且能夠通過一定程度的轉(zhuǎn)換使其成為A（y）x2+B（y）x+C（y）=0的公式形式，這樣一來更利于尋找最終的值域范圍.

例4求解x2-3x+4x2+3x+4的值域.

解析該式中可以按照判別式法計(jì)算的原理，將原式調(diào)整成為：

（y-1）x2+（3y+3）x+（4y-4）=0.

于是進(jìn)行進(jìn)一步判斷，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)y≠1的時(shí)候上式能夠最終構(gòu)成未知數(shù)為x的一元二次方程式，同時(shí)x取值范圍沒有受到限制，因此Δ≥0，也就是說：

（3y+3）2-4（y-1）（4y-4）=-7y2+50y-7≥0，解得17≤y≤1或1

又當(dāng)y=1時(shí)，存在x=0使解析式成立，所以函數(shù)值域?yàn)閇17，7].

三、反函數(shù)法

該種函數(shù)類型通常為分式中上下部分只具有一次項(xiàng)函數(shù)的時(shí)候才能適用.

例5求解函數(shù)y=2x3x+1的值域.

解析針對(duì)反函數(shù)的解題思路來看，y=2x3x+1中x定義域應(yīng)該是{x|≠-13}，將其進(jìn)行映射思路的反向?qū)?yīng)能夠確定出一個(gè)新的函數(shù)也就是y=x2-3x，并且能夠確定新的定義域也變?yōu)榱藍(lán)x|x≠23}，因此可以用反向思考的方式確定原函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，23）∪（23，+∞）.

在解這道題的時(shí)候應(yīng)該注意該種方法只能應(yīng)用于函數(shù)形式為y= ax+bcx+d （c≠0）的函數(shù)，因此其本身在應(yīng)用的過程中就缺乏一定的通用性.

四、換元法

該種方法是現(xiàn)在在解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題時(shí)經(jīng)常會(huì)采用到的一種方法，對(duì)于一些三角函數(shù)在解決值域問題的時(shí)候通常就會(huì)采用這種方法.

例6求解函數(shù)y=2x-3+13-4x的值域范圍.

解析在求解這道題的過程中，單純求解13-4x比較困難，而換元法的思路就是對(duì)其中比較復(fù)雜的問題進(jìn)行替換，比如選擇t=13-4x，并且要關(guān)注t的取值為t≥0，因此有：

x=13-t2 4，因此y=13-t22-3+t（t≥0），經(jīng)過公式有規(guī)律的轉(zhuǎn)換可以得到：

2y=-（t+1）2+8（t≥0），也就是說y∈（-∞，4）.

在采用換元法的過程中必須要對(duì)替代項(xiàng)形成的新定義域范圍有所把握，才能夠保證最終求得的值域是正確的.

此外，對(duì)于三角函數(shù)來說，同樣可以應(yīng)用同種方法.

例7求解函數(shù)y=sinx+cosxsinx+cosx的值域.

該題目中出現(xiàn)了熟悉的三角函數(shù)，就應(yīng)該考慮到一些與三角函數(shù)有關(guān)的規(guī)律，比如sin2x+cos2x=1，（sinx+cosx）2=1+2cosxsinx，這樣一來就可以將cosxsinx看為一個(gè)整體的符號(hào)，根據(jù)這一原理，可以將cosx+sinx設(shè)為t，并且t=cosx+sinx∈[-2，2]，因此有：t2=1+2sinxcosx.

sinxcosx=t2-12，因此原函數(shù)可化為：

y=t+t2-12 （t∈[-2，2]），也就是2y=（t+1）2-2，y=12 （t+1）2-1.

因?yàn)樯鲜街校瑃取值為[-2，2]，

所以原函數(shù)中y∈[-1，12 +2].

五、方程式法

采用該種方法，能夠合理恰當(dāng)?shù)睦貌坏仁降年P(guān)系，來對(duì)函數(shù)中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行構(gòu)建與梳理，最終求得正確的函數(shù)值域范圍.

例8已知函數(shù)f（x）=4x2-72-x，x∈[0，1]，求該函數(shù)的值域范圍.

解f（x）=4x2-72-x，x∈[0，1]，

2y-xy=4x2-7，x∈[0，1]，

因此，4x2+xy-（7+2y）=0，x∈[0，1]，

由此，為了求得原函數(shù)的值域范圍，也就轉(zhuǎn)換成為了求解4x2+xy-（7+2y）=0在x∈[0，1]內(nèi)有解的函數(shù)的取值集合.

使g（x）=4x2+xy-（7+2y），x∈[0，1]，

所以能夠看出有關(guān)x的方程式4x2+xy-（7+2y）=0在中存在解，且g（0）×g（1）≤0，

或者g（0）>0

g（1）>0

0<-b2a =-y2×4<1

b2-4ac=y2-4×4（7+2y）≥0 .

最終得到值域-72≤y≤3或-4≤y≤-72，-4≤y≤3.

在高中數(shù)學(xué)理解的過程中，學(xué)生往往會(huì)面臨多種多樣的問題，針對(duì)函數(shù)模塊的學(xué)習(xí)來說，更需要具備舉一反三，觸類旁通的思維理念.在面臨值域的求解過程來說，需要根據(jù)所給的已知條件來判斷選擇什么樣的方法才能夠幫助快速解決題目問題，希望本文通過集中不同類型方法以及相應(yīng)例題的列舉，能夠更好的為函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1] 邵瓊.含參非二次議程根的問題解法分析[J].數(shù)理化解題研究，2013（2）：28-29.

[2] 戚玉鵬，張朝陽.基于非正交對(duì)角化算法的非平穩(wěn)信號(hào)盲分離[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)，2014（3）：27.