初中生數學問題意識的培養

霍小雪

摘 要：問題是數學的心臟。整合教材，創設情境，還給學生獨立思考和動手實踐的時間，讓學生敢問，想問，會問，樂問。追問設計，變式訓練，培養學生的問題意識。

關鍵詞：創新；動手操作；教材整合；變式訓練；教學相長

2011版新課標指出創新意識的培養是現代教育教學的基本任務，而學生自己發現和提出問題是創新的基礎。愛因斯坦曾說過：提出一個問題往往比解決一個問題更重要。數學家P.R.halmos也稱：問題是數學的心臟。問起于疑，疑源于思。質疑，是創新，更是創造，它體現在我們數學教學的每一個過程中。下面重點以人教版“二次函數”的教學為例，分享一下課題組在教學中培養學生數學問題意識的一些想法、做法。

一、創設情境，引發提問

問題情境可以是生活的，也可以是數學的，能促進學生思維的發展，恰到好處地解決新問題而設置的情境就是好的問題情境。

1.實際生活中創設問題情境

生活中的很多現象看似平淡卻隱含著數學道理，我們做老師的要培養學生的好奇心，讓他們有興趣來積極主動地觀察周圍的世界，這些存在于學生頭腦中的直觀的、不那么嚴密的體驗是學生進一步探索數學的不竭源泉。例如，在學習二次函數概念時，讓學生觀察一組圖片：籃球在空中飛行的路線，本地為數不少的拱橋圖片，節假日常見的噴泉圖片……你能想到它與數學有什么關系嗎？它與函數有關系嗎？學生從圖象上判斷是函數關系后，追問：是我們學過的一次函數嗎？從而把學生引入積極探索階段：這到底是一種什么函數？在不斷的提問、質疑、解疑中完成學習任務。

2.數學應用中創設問題情境

初中生到了九年級，數學知識和能力已經有了一定的儲備，有些問題情境的設置可以是純數學的，運用得當一樣精彩。例如，二次函數概念的教學，課本呈現的是上一章的幾個實際應用題目，涉及面積計算、單循環比賽、增長率問題……學生很快從熟悉的題目中列出兩個變量之間的關系式，因為學生已經有了函數和一次函數的學習基礎，因此，老師可以直接追問：式子中兩個變量之間的關系是函數嗎？是一次函數嗎？學生答：不是。進而從解析式的特征上讓學生自己總結什么是二次函數，并舉例說明。（學生可能會從解析式、圖象、列表等不同角度去舉例，教師要給予及時反饋和點評）概念的學習效果很好。

（1）教學相長，使學生敢問。教學過程中，要創設和諧的師生關系和民主的學習氛圍。鼓勵、肯定和引導學生提出的每一個問題。

（2）結論開放，使學生會問。例如：結合二次函數y=ax2+bx+c圖象（圖中顯示，拋物線開口向下，與橫軸的兩個交點的橫坐標 分別為-1和3，頂點的縱坐標為4），請你為同伴設計幾個問題。學生給出的問題由易到難，許許多多。例如：①寫出方程ax2+bx+c=0的根。②寫出不等式ax2+bx+c>0的解集。③寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍。④若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍，等等。

（3）預設病題，使學生想問。呈現一個學生沒有解出的問題，或者是題設、結論部分有毛病的題目，引發學生的提問、質疑，從而達到學習目的。例如：某種商品每件的進價為20元，調查表明，在某段時間內若以每件x元（26≤x≤30）出售，可賣出（600-20x）件，要使利潤最大，則每件售價應定為多少元？同學小張的答案是30元，小王的答案是25元，組長認為這兩個答案都有問題，你覺得呢？

（4）一題多解，使學生樂問。例如：已知二次函數y=ax2+bx+c中，函數y與自變量x的部分對應值如下表：

則：①拋物線的對稱軸是 。

②當y<5時，x的取值范圍是 。

③在此拋物線上有兩點A（3，y1），B（4.5，y2），試比較y1和y2的大小。學生有計算解析式的，有利用二次函數對稱性解題的，有利用圖象解題的。在思維的碰撞中取長補短，共同進步。事實證明，老師在很多時候都會低估學生。只要我們有培養學生“問題意識”的意識，只要我們堅持還學生獨立思考的時間和提問的權利，賞識學生提出的哪怕是不太完美的問題，學生的數學問題意識就能得到強化，學生也才有進一步發問的動力，各種奇思異想就會源源不斷。

二、挖掘例題，引發提問

1.追問設計，培養學生的問題意識

例如，九年級上冊課本51頁探究3。這種探究課最好不要安排學生預習，我們把素材直接提供給學生。圖中是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2m，水面寬4m，水面下降1m，水面寬度增加多少？

學生根據題中已知條件無法求解？師問：該怎么辦？生：加輔助線。師追問：我們該怎么加輔助線？（已知的點與所求的點都在拋物線上）生：求出拋物線。

師追問：怎么求拋物線？

生：找已知點的坐標。師問：題中有已知點的坐標嗎？生：沒有。師再追問：怎么確定已知點的坐標？生：建立坐標系。師：該怎樣建立坐標系？學生會憑直覺建立一個自己熟悉的坐標系。

方法1：以拋物線的頂點為原點，以對稱軸為y軸建立坐標系。

方法2：以拱橋與水面的左端點為原點，以水面所在直線為x軸建立坐標系。

方法3：以拱橋與水面的右端點為原點，以水面所在直線為x軸建立坐標系。

方法4：以對稱軸為y軸，以水面所在直線為x軸建立坐標系。

師追問：哪一種方法較為簡單？

生：方法1。師追問：你還有其他方法嗎？

生：以水面下降1米后的水面所在直線為x軸，以拋物線對稱軸為y軸建立坐標系。再追問：還有嗎？生：按照上面學生的思路，就有無數種方法。

學生質疑，解疑，大膽思考，小心求證，于無形中體會了數學建模的樂趣和意義。

2.變式訓練，教給學生提問的方法

課本49頁探究1：用總長為60米籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化，當l是多少時，矩形場地面積S最大？

變式1：用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長32m，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

變式2：把墻長改為18米。

變式3：如果在平行墻的一邊上開個小門（門的材料不是籬笆），門寬1米，其他條件不變，又該如何求解？

你能在此基礎上也給同學們出個題目嗎？

變式4：在垂直墻的一邊上開個1米的小門（門的材料不是籬笆），其他條件不變。

變式5：垂直墻的一邊有三道籬笆墻，把菜園分成兩部分，分別種植兩種蔬菜，中間的墻上開一個1米的小門（門的材料不是籬笆），在平行墻的一邊上開個小門（門的材料不是籬笆），門寬1米，其他條件不變，又該如何求解？

變式6：此矩形的面積能是200m2嗎？若能，請求出此矩形的長、寬各是多少？……一節課雖然就一個問題，但學生有思考，有猜想，有爭執，有問題，有解答，不僅體會了二次函數在實際問題中的應用，更是使自己所學在數學課上得到了充分的應用。

三、整合教材，引發提問

二次函數第二單元“二次函數與一元二次方程”的關系中有這樣一段話：

從上面可以看出，二次函數與一元二次方程聯系密切，例如，已知二次函數y=-x2+4x的值為3，求自變量x的值，可以看作解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0），反過來，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函數y=x2-4x+3的值為0，求自變量x的值。

因為數形結合是一種很重要的數學思想，為了進一步加強學生的識圖能力，在此我整合了它和例題，引導學生用函數圖象求方程x2-4x+3=0的解，深刻體會方程與函數間的關系。說出你的方法環節里絕大部分學生能答出課本上的那一種。即：畫出二次函數y=x2-4x+3的圖象，觀察圖象與x軸的交點的橫坐標即可。師追問：你還有其他的方法嗎？生：先畫出二次函數y=x2-4x的圖象，觀察函數值為-3時對應的點的橫坐標。這時候再追問：還有別的方法嗎？生：先畫出二次函數y=x2和y=-4x+3的圖象，觀察兩個圖象的交點坐標。還有方法嗎？生自然會想到：畫出二次函數y=x2+3和y=-4x的圖象，觀察兩個圖象的交點的橫坐標，就得到方程x2-4x+3=0的解。從而使學生意識到，敢想的地方，有問題的地方，就會有發現，有驚喜。

四、動手操作，引發提問

波利亞指出，“學東西的最好方式是發現它。”“親自發現能夠在你腦海里留下一條小路，今后一旦需要，你便可以再次利用它。”在這一思想指導下，在學習二次函數的圖象和性質時，我給了學生充分的時間去獨立畫圖和思考，引導學生自己發現不同解析式下圖象的特征和性質。例如，讓學生在同一直角坐標系中畫出函數y=x2和y=-x2，問：你發現了什么？（不給學生具體指明問題，以求給學生最大自由發現的空間。）

在同一直角坐標系中，畫出函數y=-x2，y=- x2，y=-2x2和函數y=x2，y= x2，y=2x2的圖象，你發現了什么？你能給自己的同學出一道題嗎？比比誰的發現多，誰總結的更深刻。學生經歷了列表、描點和連線的過程，從每一步的具體操作中去體會，去感知函數的性質：對稱性，對稱軸，開口方向，開口的大小，二次項系數對函數性質的影響，等等，這些都會一點一點地被學生親自發現，比課本上豐富條理得多。等到研究y=ax2+k，y=a（x-h）2+k的性質時，學生基本能自己提出問題，自己嘗試去解決，老師只需要在學生困惑的地方給予點撥即可。這樣學習的結果，學生會歸納，會對比，會熟練地畫二次函數的簡易圖，為實際應用打下了良好的基礎。雖然多媒體演示方便快捷，但需要學生動手的地方，一定要慢下來，讓學生親自去實踐，去思考，去總結。實踐操作是學生形成問題意識的必要條件之一。本章的兩個數學活動更是以問題為載體，引導學生觀察、猜想、實踐、驗證，既鍛煉了學生的動手能力，更鍛煉了學生的思維，讓學生充分體會到了二次函數在生活和數學中的應用。只要給學生提供一個平臺，他一定會給我們帶來驚喜。作為老師，盡量讓學生在現有的條件下親自發現盡可能多的東西，你會發現學生的問題會越來越多，他們學習數學的興趣會越來越高，學習方法也越來越靈活有效。

數學教學中要注意遵循觀察、猜想，操作、實驗，推理、驗證的程序，于潛移默化中培養學生的問題意識。具體做法如下：①教師采用“問題化方式”進行備課。②設計“問題化”學案，讓學生在自主學習中培養問題意識。③設計互動開放的課堂，讓學生的思維進行碰撞，從而培養孩子們的問題意識。④設計開放性的作業，精選條件開放性的習題，培養學生的問題意識。⑤設計綜合性的數學實踐活動，讓學生在做中培養問題意識。

每一章節，每一單元的教學，只要我們的老師意識到培養學生數學問題意識的重要性，只要我們還給學生獨立思考和動手實踐的時間，只要我們做老師的多用心去經營每一個課時的教學，你就能真正體會到什么叫教學相長，什么叫青出于藍。你就會發現我們的學生不是問題越來越少，而是越來越多，越來越好。隨著問題意識的增強，他們的思維在發展，分析解決問題的能力也越來越高超。

參考文獻：

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[5]林仙.數學新課程標準下學生問題意識的培養[J].紅河學院學報，2006.

注：本文系河南省農村學校應用性教育科研2016年度課題《主題式推進城鄉聯盟校數學教師素養提升有效策略研究》論文，課題批準號：16-HJYY-070。

編輯 趙飛飛