讓解析幾何題“活”起來

摘 要：圓錐曲線是高中數學的重要內容，是高考必考內容之一，也是高考的熱點。但高考中解析幾何解答題的得分率并不高，究其原因主要是學生對解析幾何題“先天”膽怯，再加上繁瑣的運算，如果對題目中模型的內涵和本質也不熟悉，那更是難上加難了。認為在平時的教學中要注重對解析幾何模型的積累及拓展，要讓解析幾何題“活”起來。通過挖掘試題的內涵和本質，并提出具有探究性的問題，使學生在掌握數學知識的同時初步學會研究問題，提高學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。

關鍵詞：圓錐曲線；數學教學；幾何題

一、提出問題

（2016屆高三江蘇省蘇錫常鎮四市第一次模擬考試第18題）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C： + =1（a>b>0）過點P（1， ），離心率為 。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設直線l與橢圓C交于A、B兩點。①若直線l過橢圓C的右焦點，記△ABP三條邊所在直線斜率的乘積為t，求t的最大值；②若直線l的斜率為 ，試探究OA2+OB2是否為定值，若是定值，則求出此定值；若不是定值，請說明理由。

二、分析問題

對（Ⅰ）問，根據條件列出關于a，b，c的關系式，從而求出橢圓的方程。

對（Ⅱ）①問，根據直線的點斜式方程假設出直線l的方程，利用設而不求及韋達定理的思想將t表示成關于直線l的斜率k的表達式，進而求出最值。

對（Ⅱ）②問，根據直線的斜截式方程假設出直線l的方程，設出A、B兩點坐標，將OA2+OB2表示成關于直線l的截距的表達式，進而求出定值。

本題主要考查的知識點為橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系及定值問題；求解過程中考查學生的思維轉化能力及分析問題、解決問題的能力，難度適中，注意通性通法，淡化特殊技巧。

三、拓展問題

筆者對此題（Ⅱ）問的兩個小問進行拓展，得到如下幾個重要性質，望與讀者共勉。

1.有關①問的拓展

（1）焦點在x軸上的橢圓：已知點P（c， ）在橢圓C： + =1（a>b>0）上，若過橢圓C右焦點的直線l交橢圓于A、B兩點，則△ABP三條邊所在直線斜率的乘積最大值為 。

證明：設直線l的方程為x=my+c，直線l與橢圓C的交點A（x1，y1）、B（x2，y2），

由x=my+c + =1得（a2+b2m2）y2+2mb2cy-b4=0，易知？駐>0，

所以y1+y2=- ，y1y2= ，

所以，kAPkBP= · = · =

· =- - ，

所以，kAB·kAP·kBP=- - =- （ + ）2+ ，

所以當m=- 時，kAB·kAP·kBP取得最大值 。

（2）焦點在y軸上的橢圓：已知點P（ ，c）在橢圓C： + =1（a>b>0）上，若過橢圓C焦點F（0，c）的直線l交橢圓于A、B兩點，則△ABP三條邊所在直線斜率的乘積取值范圍為（-∞，0）∪[ ，+∞）。

（3）焦點在x軸上的雙曲線：已知點P（c， ）在雙曲線C： - =1上，若過雙曲線C右焦點的直線l交雙曲線于A、B兩點，則△ABP三條邊所在直線斜率的乘積最小值為- 。

（4）焦點在y軸上的雙曲線：已知點P（ ，c）在雙曲線C： - =1上，若過雙曲線C焦點F（0，c）的直線l交雙曲線于A、B兩點，則△ABP三條邊所在直線斜率的乘積取值范圍為（-∞，

- ）∪[0，+∞）。

（5）焦點在x軸上的拋物線：已知點P（ ，m）在拋物線C：y2=2mx（m≠0）上，若過拋物線C焦點的直線l∶y=k（x- ）交拋物線于A、B兩點，則△ABP三條邊所在直線斜率的乘積為2k2。

（6）焦點在y軸上的拋物線：已知點P（m， ）在拋物線C：x2=2my（m≠0）上，若過拋物線C焦點的直線l∶y=kx+ 交拋物線于A、B兩點，則△ABP三條邊所在直線斜率的乘積為 。

2.有關②問的拓展

（1）焦點在x軸上的橢圓：若直線l∶y=kx+t與橢圓C： + =1（a>b>0）交于A、B兩點，則OA2+OB2為定值（與t無關）的充分必要條件為直線l的斜率為± 。

證明：設直線l與橢圓C的交點A（x1，y1）、B（x2，y2），

充分性：不妨設直線l的方程為y= x+t（y=- x+t同理可證），下證OA2+OB2為定值。

由y=- x+t + =1得2b2x2+2abtx+a2t2-a2b2=0，x1+x2=- ，x1x2= ，

所以OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=（1+ ）（x12+x22）+ （x1+x2）+2t2=（1+ ）[（x1+x2）2-2x1x2]+ （x1+x2）+2t2=（1+ ） - - · +2t2=a2+b2（定值）。

必要性：

由y=kx+t + =1得（a2k2+b2）x2+2a2ktx+a2t2-a2b2=0，

x1+x2=- ，x1x2= ，

所以OA2+OB2=（1+k2）[（x1+x2）2-2x1x2]+2kt（x1+x2）+2t2=

2c2 t2+ ，令a2k2-b2=0得k=± ，此時OA2+OB2為定值a2+b2，證畢。

（2）焦點在y軸上的橢圓：若直線l∶y=kx+t與橢圓C： + =1（a>b>0）交于A、B兩點，則OA2+OB2為定值（與t無關）的充分必要條件為直線的斜率為± 。

顯然，在雙曲線和拋物線中，不具有類似性質。

參考文獻：

[1]沈臻.例談數學課堂中的問題鏈設計[J].數學學習與研究，2015（17）：34.

[2]邵禮翠.提問，讓數學例題“活”起來[J].數學教學研究，2017（7）：16-17.

編輯 郭小琴