一道“電磁感應”易錯題的解法探析及教學反思

王紅娟+薄宏超

摘要：應用數學公式與圖象相結合的方法規范研究一道“電磁感應”易錯題目的兩種解法，分析易錯原因并提出教學建議.

關鍵詞：電磁感應；柯西不等式；均值不等式；教學反思

題目如圖1所示，水平地面上方矩形區域內存在垂直紙面向里的勻強磁場，兩個邊長相等、質量不等的相同材料制成的單匝閉合正方形線圈Ⅰ和Ⅱ，線圈Ⅰ粗細均勻，線圈Ⅱ粗細不均勻.兩線圈在距磁場上邊界h高處由靜止開始自由下落，再進入磁場.運動過程中，線圈平面始終保持在豎直平面內且下邊緣平行于磁場上邊界.兩線圈進入磁場過程中通過線圈Ⅰ和線圈Ⅱ的電荷量分別為q1、q2，運動的時間分別為t1、t2.則（）

A.q1與q2可能相等B.q1一定大于q2

C.t1與t2可能相等D.t1一定大于t2

解析線圈進入磁場過程中通過線圈的電荷量q=It=ERt=ΔR=Bl2R，顯然通過兩線圈的電荷量大小關系由電阻決定，對于線圈Ⅰ，R=4ρlS（ρ為電阻率）；對于線圈Ⅱ，假設質量較大，如果粗細均勻，則S=m4ρ′l（ρ′為密度）較大，R較小，q較大，即q1q2.顯然q1與q2可能相等，選項A對B錯.線圈先自由落體運動然后以相同的初速度進入磁場，進入磁場過程中受到豎直向下的重力和豎直向上的安培力，依牛頓第二定律有a=g-B2l2vmR，可見兩個線圈質量m的大小關系未知，電阻R的大小關系未知，所以加速度大小關系不能比較，t1與t2大小關系不能比較，選項C對D錯.故答案選擇AC.

高三復習過程中遇到此題，筆者所帶班級（本校尖子生班級）所有學生甚至很多一線老師的解題思路和參考答案無異，選擇AC，正確答案真的是AC嗎？上述解析中關于電荷量的分析是正確的，問題出在了時間的比較.下面用均值不等式和柯西不等式兩種方法分析兩個線圈進入磁場所用時間的關系.

方法一均值不等式

分析設線圈邊長為l，質量為m，電阻為R，電阻率為ρ，密度為ρ′，制作線圈所用導線橫截面積為S.

線圈開始進入磁場瞬間的速度v0=2gh

線圈進入磁場過程中，受豎直向下的重力和豎直向上的安培力，規定向下為正方向，依牛頓第二定律有mg-B2l2vR=ma，得a=g-B2l2vmR.

對于線圈Ⅰ，m1R1=4ρ′lS1·4ρlS1=16ρ′ρl2

設想有一與線圈Ⅱ材料相同、邊長相等、粗細均勻的線圈Ⅲ，

對于線圈Ⅲ，應有m3R3=m1R1，所以a1=a3.

線圈Ⅰ與線圈Ⅲ運動情況完全相同，時間相同t1=t3.

現比較線圈Ⅱ和線圈Ⅲ進入磁場過程的運動關系即可知線圈Ⅰ和線圈Ⅱ進入磁場過程的運動關系.

對于粗細不均勻的線圈Ⅱ，假設導線是由n（趨近于正無窮的整數）段極短的長度為Δl的導線連接而成，有n·Δl=4l，橫截面積分別為Sx1、Sx2…Sxn，

m2R2=m2·ρΔlSx1+ρΔlSx2+…+ρΔlSxn≥m2·nnρΔlSx1·ρΔlSx2…ρΔlSxn

當且僅當ρΔlSx1=ρΔlSx2=…=ρΔlSxn時不等式取“=”，即需要1Sx1=1Sx2=…=1Sxn=1S3

m2R2≥m2·n·ρ·ΔlS3=m2·4ρlS3=m3R3

所以m2R2≥m1R1

結合a=g-B2l2vmR定性作出線圈進入磁場過程中的v-t圖象，具體可分四種情況討論：

第一種情況，進入磁場瞬間g>B2l2v0m1R1>B2l2v0m2R2，所以a2>a1>0，兩線圈都做加速度減小的加速運動，v-t圖象如圖2所示.

第二種情況，進入磁場瞬間g=B2l2v0m1R1>B2l2v0m2R2，所以a2>a1=0，線圈Ⅰ勻速運動，線圈Ⅱ做加速度減小的加速運動，v-t圖象如圖3所示.

第三種情況，進入磁場瞬間B2l2v0m1R1>B2l2v0m2R2>g，所以0>a2>a1，兩線圈都做加速度（大小）減小的減速運動，v-t圖象如圖4所示.

第四種情況，進入磁場瞬間B2l2v0m1R1>B2l2v0m2R2=g，所以0=a2>a1，線圈Ⅰ做加速度（大小）減小的減速運動，線圈Ⅱ勻速運動，v-t圖象如圖5所示.

根據“v-t圖象與坐標軸圍成的面積表示位移”容易得出上述四種情況下：t1>t2

方法二柯西不等式

與方法一相同的分析過程略，以下只列出分析m2R2與m1R1大小關系部分.

設線圈Ⅱ的導線由n（趨近于正無窮的整數）段極短的長度為lx1、lx2…lxn，對應橫截面積分別為Sx1、Sx2…Sxn的導線連接而成，有4l=lx1+ lx2+…+lxn，

m2R2=ρ′ρ（lx1Sx1+lx2Sx2+…+lxnSxn）lx1Sx1+lx2Sx2+…+lxnSxn

依柯西不等式（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2，當且僅當a1b1=a2b2=…=anbn時，不等式取“=”.

m2R2≥ρ′ρlx1Sx1·lx1Sx1+lx2Sx2·lx2Sx2+…+lxnSxn·lxnSxn2

當且僅當Sx1=Sx2=…=Sxn時，即導線粗細均勻時上述不等式取“=”，

所以m2R2≥ρ′ρ（lx1+lx2+…+lxn）2=16ρ′ρl2，即m2R2≥m1R1.

綜上所述，此題的正確答案應為AD.

為什么眾多的老師和學生會選擇AC呢？本題中，很多學生看到了兩線圈質量m無法比較、電阻R無法比較，便急于選出答案，沒有對mR這一乘積的大小情況做出正確的分析與判斷.憑經驗、感覺做題已經成為很多中學生的常用解題方法.遇到問題，不能理性對待，不能準確挖掘隱含條件，在沒有列出物理公式或數學推導過程的情況下，倉促下結論是失分的重要原因.在當前激烈競爭的大環境中，為避免學生無謂的失分，教學中還是應該從考試大綱中要求的物理學科五大能力入手，著重關注培養學生的分析、綜合、判斷、推理等理性思維能力.教學中要給學生獨立探究、思考的空間與時間，教師是學生學習活動的參與者，要積極參與到學生的思維活動中去，但不能取代學生的思維過程.要讓學生主動探究知識的產生、形成過程，從對現象的分析歸納中獲得對事物本質的規律性認識.課堂教學的每一個環節與過程都應時刻注重培養學生嚴謹、求真的態度.課堂的每一分鐘都應踐行知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三維目標的達成.