數學的認知方式

摘 要：認知就是人認識外界事物的過程。認知的基本方式是模式識別。數學的認知方式也是模式識別。抽象、類比、遷移、化歸都是模式識別的基本方法。模式識別包括簡化、修正、應用三個環節。

關鍵詞：認知；模型；模式；模式識別

所謂認知就是人認識外界事物的過程。認知包括感知和思維，其基本要素是認知方式、認知水平（認知能力）。認知不只是心理學的一個概念，也是近年來取得突破性進展的認知神經科學的重要概念。

學習不只是掌握知識，更重要的是提高認知水平。無論是必備品格還是關鍵能力，都離不開認知。2017年9月中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發的《關于深化教育體制機制改革的意見》明確提出了要強化四種關鍵能力的培養，第一種關鍵能力就是認知能力。研究認知既是教學的需要，也是當前研究核心素養的需要，更是應對未來的需要。

一、數學的認知與模式識別

人類在漫長的進化過程中，從未離開認識世界和改造世界的實踐活動。在這個過程中，除了身體的進化，還有大腦的進化。在大腦的進化中，一個重要的也是關鍵的事情是人類在思考面對同一類事物能否有一個普遍的方法來解決。在這樣的一種思考過程中，包含了兩個層面：一是如何識別哪些事物是屬于同一類；二是如何找到普遍的方法。

（一）如何確定一些事物是否屬于同一類

確定某些事物是否屬于同一類，方法是抓住事物的本質特征。這在認知心理學上叫做抽象。

實踐中并沒有1，只有1個蘋果，或1個鉛球等等。1是抽象的結果。因為抽象，所以有了數的運算，進而解決實際問題。

鉛筆和橡皮從作用上來講都是用于文化學習，所以，人們用一個新概念——文具來把它們歸為一類。蘋果和葡萄人們用一個新概念——水果來把它們歸為一類。那么鉛筆和蘋果是一類嗎？有一天，快遞小哥給你打電話告訴你有你的兩件貨（運用了加法1+1=2）。你收到兩個紙箱，里面分別裝著蘋果和鉛筆。這時，快遞小哥用了一個新概念——百貨，把蘋果和鉛筆歸為一類。此時，快遞小哥抓住了兩件事物的共同特征：沒有生命的生活用品。

再比如角和線段，表面上看起來不是一類，但是如果抽象地看，它們屬于同一類，都是軸對稱圖形，有許多共同的性質。比如角的平分線與線段的垂直平分線對應，都把圖形分為兩個全等的部分。

（二）對于同一類事物，如何找到解決問題的普遍方法

當我們認定幾樣事物屬于同一類，就可以用已經熟悉的解決該類事物的方法來解決此一類事物的問題。這在認知心理學上叫做遷移。

在學完三角形的全等這一章后，學生就已經積累了一些關于證明線段相等的經驗，當進一步學習四邊形時，學生就可以運用這些證明線段相等的經驗解決四邊形中的問題。

再比如，學生學習了一次函數，老師要幫助學生總結出課本研究一次函數的模式（人教社叫做基本套路），學生用這個研究模式就可以自己去研究二次函數和反比例函數。

總之，無論第一個層面還是第二個層面，共同之處就是識別某事物或某類事物的本質特征。人腦在認知事物時，抓住了該事物的本質特征——模式，這個過程叫做模式識別。

二、數學的模型、模式與模式識別

世界很復雜，因此需要簡化，這是人類認知的基本規律，也是人類賴以生存的基本能力。因為需要簡化，因此產生了模型與模式。

模型（Pattern）與模式（Model），在英文里是兩個詞，但是在實際使用過程中，卻很難區別。廣義地講，組成一個事物的要素，構成了這個事物的基本特征。這特征決定了該事物與別的事物的聯系與區別，這特征就叫做這個事物的模式。模式一詞所涉及的范圍很廣，它揭示了事物之間隱藏的規律關系。而這些事物可以是具體的，也可以是抽象的，比如思維模式。

模型是對客觀現實的事物的某些特征與內在聯系所作的一種模擬或抽象。為了研究一個過程或事物，可以通過在某些特征（形狀或結構等）方面與它相似的“模型”來描述或表示。模型可以是所研究對象的實物模型，例如建筑模型、教學模型、玩具等，也可以是對象的數學模型，例如公式或圖形等。它能反映出有關因素之間的關系。

通過比較模型與模式的定義可以看出，雖然在有些情況下，模型也指所研究的系統、過程、事物或概念的一種表達形式，這與模式其實沒有實質區別。但一般認為模型是有實際背景的，強調的是現實客觀事物的抽象，主要特征是“型”；而模式是解決一類事物的通用的方法，強調的是一類事物的抽象，這類事物可以是現實中存在的，也可以是已經抽象了的，主要特征是“式”，是方式、方法。比如，原子核結構模型、數字模型等都是模型，而電視機或電腦的16∶9顯示模式、百度云存儲模式、企業的管理模式、課堂教學模式、計劃生育模式、電訊收費模式、市場模式等等都是模式。也可以認為模式是更加抽象的模型。

模型與模式并不是專為數學而產生的，而是基于現實生活的。德國物理學家焦耳用一個公式描繪了熱和功之間的轉換關系，在研究熱的本質時，發現了并由此得到了能量守恒定律，最終總結出熱力學第一定律。英國物理學家、數學家麥克斯韋用四元方程組準確地描繪出電磁場的特性及其相互作用的關系，在任何情況下都可以應用，最終得出光本身是由電磁波構成的這一正確結論。英國物理學家牛頓用自己發現的萬有引力定律來建構行星運動的軌跡模型，把天上的行星和它們的衛星運動規律，同地上重力下墜的現象統一起來，實現了天上人間的統一。伽利略用公式描述了自由落體運動的物體的規律。美國科學家用公式刻畫了大腦運作基本算法。這些都是模式識別的例子。

構建模型是為了解釋現實，數學模型是用數學的語言講述的現實世界的故事。盡管數學是對客觀現實的抽象描述，但抽象描述的結果是人腦抽象思維的產物——模式，特別是數學的現代發展，大多數情況下不是直接面對著具體的實物進行研究，而是以模式為直接的研究對象。所以有的數學家認為，數學是關于模式和秩序的科學。

從數學的角度看，數學模式比數學模型更為一般，數學模式涉及的是一類數學問題的解決方法。張奠宙教授認為，廣義地講，數學中的各種概念和基本算法都可以叫做數學模型。加減乘除都有各自的現實原型，它們都是以各自相應的現實原型作為背景抽象出來的。

三、數學模式識別的基本過程

模式識別的基本過程可以概括為：簡化——為需要認識的事物建立認知模式；修正——在識別新事物的過程中不斷修正；應用——用認知模式解釋事物、預測未來。

（一）簡化——為需要認識的事物建立認知模式

德國天文學家、物理學家、數學家開普勒和古希臘學者們一樣十分重視數學的作用，總想在自然界尋找數字的規律性。規律愈簡單，從數學上看就愈好，因而在他看來就愈接近自然。他專心探求隱藏在行星中的數量關系。他深信上帝是依照完美的數學原則創造世界的，提出了行星運動的三大定律：軌道定律、面積定律、周期定律。漢代張衡則把宇宙簡化為渾天儀。古希臘數學家畢達哥拉斯和中國古代數學家趙爽在不同時期發現了直角三角形三條直角邊之間的關系模式，后人稱作勾股定理。數學家把拋投物體的軌道簡化為一條拋物線，把行星運動的軌跡簡化為圓錐曲線，把蜜蜂的巢簡化為六邊形，把許多經濟規律簡化為數學公式。

（二）修正——在識別新事物的過程中不斷修正

古希臘天文學家、地理學家、占星學家和光學家托勒密創立了地心說，其基本過程是：建立一個簡單的元模型、利用元模型構建更復雜的模型、通過歷史數據驗證模型。

在數學的建模過程中，一般都要假設一個或幾個參數。隨著解決問題的精確度要求，可以不斷地修正這些參數，使其符合要求。有時還需要修正變量之間的關系，使其更符合客觀現實。

（三）應用——用認知模式解釋事物、預測未來

模式的一個重要應用是預測。用航天器的飛行模式，可以計算出航天器進入軌道的時間。用宇宙間行星運動模式可以計算出小行星撞擊地球的時間。用經濟模型人們可以預測社會經濟發展的進程。用氣象規律人們可以進行天氣預報。人們通過模型計算發現了海王星。也就是說海王星的發現并不是觀察的結果，而是計算的結果。用初中的數學知識就可以計算出鉛球從出手后經過多長時間可以落地。

四、模式識別在數學學習中的應用

（一）數學學習中的模式識別

1.模仿

許多數學學習始于模仿，模仿其實就是仿其模式。有些人仿其形，有些人仿其神，神比形更接近事物的本質。能接近事物本質者，模式識別的能力就強。能識別事物的模式時，才算是聽懂了或者是看懂了。

2.創新

創新往往是建立在模仿的基礎上，即人們首先通過模仿，識別了事物的模式，這時可能是初步的。通過進一步的研究識別了事物的本質特征。然后在此基礎上建立一個新的模式，這就是教學創新。一題多解和多題一解都屬于創新。

3.變式

數學中的所謂變式教學是指在教學中變換某事物（概念、問題或方法）的非本質屬性以突出事物的本質屬性的教學方法。目的在于使學生明確哪些是事物的本質屬性，哪些是事物的非本質屬性，從而實現對概念、方法的深刻把握。其中，事物的本質屬性就是事物的模式。

4.比喻

在為學生建立數感時，往往借助比喻的方式，用已經被人們熟知的事物的模式來類比該事物的模式，這個方法就是比喻。太陽和地球的體積關系是什么，有時我們很難記住其半徑的數據，這時就可以比喻：如果把太陽比作西瓜，那地球就像一粒米。

5.類比

老師引導學生類比分數的性質和運算的研究來研究分式的性質和運算；類比有理數的運算來研究實數的運算；類比三角形的性質和判定的研究來研究四邊形的性質和判定。

6.化歸

當我們把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，這種解決問題的方法叫做化歸。比如二元一次方程組通過化歸轉化為一元一次方程；方式方程通過化歸轉化為整式方程；四邊形的問題通過添加輔助線轉化為三角形問題解決等等，這些都是模式識別。

（二）學科教學中的模式識別

漢字本身就是模型，所以認識漢字的過程就是模式識別的過程。“文無體不立”已經是語文的基本常識了，“體”便是模式。英語中的句型也是模式。物理中的公式，化學中的方程式、分子結構，地理中的經緯，都是模式。無論是學科結構還是教學方法本質上都是模式。

數學的研究對象就是模型，而數學中研究問題的“套路”就是模式。比如函數、方程、不等式、公式、運算法則、基本圖形等等都是模型。而初中階段的代數教學：“問題情境—建立模型—模型的求解—模型的應用”就是研究代數問題的模式。“問題情境—實驗操作—歸納猜想—推理驗證—應用”是研究幾何問題的模式。掌握這些知識和“套路”，形成數學解決問題策略的過程就是模式識別。

數學中，最重要的基本的活動經驗本質上就是在長期經歷數學學習活動過程中形成的一種思考問題的方式——數學思維模式。積累數學基本活動經驗的過程也是模式識別的過程。

中國古代模式識別的一個重要方法是“近取諸身，遠取諸物”，這在八卦、五行、陰陽等方面都有應用。比如，肢體與八卦對應，五臟與五行對應，臟腑功能與陰陽對應。這一方法可以運用到數學中。比如“負負得正”的教學，我們可以規定，自己的身體每向后轉180°就相當于乘以一次-1，連續轉兩次180°就相當于乘以兩次-1，結果正好轉到原來的位置。這個過程可以歸納為“后轉兩次轉向前，負負得正很顯然”。同樣道理，如果規定自己的身體向右轉90°為i，那么連續轉兩次就是i的平方，結果正好是向后轉了180°，應該是-1，所以得到i=-1，這便是復數i的現實意義。

在進行數學教學時，我們應該幫助學生理解該學科的認知模式，一旦學習者了解并適應該學科的認知模式，那么進一步深入學習也將變得更加輕松有趣，自主學習就得以實現。這便是模式識別的教學價值。

參考文獻：

何思謙.數學辭海[M].山西教育出版社，2002：109.

注：山西省教育科學“十三五”課題《基于學生認知特點提升初中教學質量的實踐研究》成果。

作者簡介：蘇保中，中小學正高級教師、特級教師，山西省原平市實驗中學。

編輯 高 瓊