思維導圖“秒殺”高考數學選擇題的案例研究

牛鵬羽 馮玉娟

【內容摘要】本文對2013-2017年全國Ⅱ卷高考文科數學選擇題進行了研究，給出了四種所謂的“秒殺”方法，希望對大家有所啟發。

【關鍵詞】思維導圖“秒殺”選擇題案例研究

引言

思維導圖又叫心智導圖，是表達發散性思維的有效的圖形思維工具 ，它簡單卻又很有效，是一種革命性的思維工具。波利亞的“怎樣解題表”將解題過程分成了四個步驟，只要解題時按這四個步驟去做，必能成功。筆者將思維導圖和“怎樣解題表”給學生作了介紹，并通過訓練，使得學生解高考題的效率大大提高了，下面通過幾道具體的例子來說明。

一、案例研究

1.巧用平面幾何秒殺高考題

例1（2013，4）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b=2，B=π6，C=π4，則△ABC的面積為（）

A. 23+2B.3+1

C. 23-2D.3-1

秒殺法：做高AD，則AD=DC=2，BD=6，S△ABC=12（6+2）·2=3+1.選B.

例2（2017，12）過拋物線C：y2=4x的焦點F，且斜率3的直線交C于點，

M（M在x軸的上方），l為C的準線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（）

A.5B.22C. 23D.33

秒殺法：k=3知∠MFx=60°，∠FMN=60°.又MN=MF，故∠MFN=∠NFO=60°.

又OF=1，故NF=4.則M到直線NF的距離即正△MNF的高為4×32=23.故選C.

點評：例1若用正弦、余弦定理及正弦面積公式求解，就犯了小題大做的大忌。例2若用解析幾何中直線與拋物線的方程去求解，也會徒增運算量。而利用平面幾何知識可以迅速、準確地得到答案，可謂事半功倍！

2.巧用題干信息秒殺高考題

例5（2013，12）若存在正數x使 成立，則 的取值范圍是（）

若存在正數x使2x （x-a）<1成立，則a的取值范圍是（）

A.（-∞，+∞）B.（-2，+∞）

C.（0，+∞）D.（-1，+∞）

秒殺法：令a=0，則2x·x<1即x<（12）x，由圖象知滿足題意排除C.

令a=-1，則2x （x+1）<1即x+1<（12）x，由圖象知不合題意，排除A、B 故選D.

例6（2016，12）已知函數 f （x）（x∈R）滿足f （x） =f （2-x），若函數y=|x2-2x-3|與

y=f （x） 圖象的交點為（x1，y1）， （x2，y2），…（xm，ym）， 則∑mi=1xi=（）

A.0B.mC.2mD.4m

秒殺法：由f （x） =f （2-x）得函數f （x）的圖象關于直線x=1對稱.不妨令f （x）=0，

則函數y=|x2-2x-3|的圖象與f （x）=0的圖象交于兩點（-1，0）和（3，0），

即m=2， x1=-1， x2=3，則∑2i=1xi=-1+3=2=m，故選B.

點評：當題干中含有參數時，可以將參數的值適當特殊化，或者將不確定的條件在不改變原來題意的前提下特殊化，亦能快速、有效地得到答案 。

3.巧用選項信息秒殺高考題

例7（2014，11）若函數f （x）=kx-ln x在區間（1，+∞）上單調遞增，則k的取值范圍是（）

A.（-∞，-2]B.（-∞，-1]

C.（2， +∞]D.[1， +∞）

秒殺法：令k=1則f （x）= x-ln x，所以f ′ （x）= 1-1x.當x∈（1， +∞）時， f ′（x）>0，即

f （x）= x-ln x在（1，+∞）上單調遞增，符合題意，故選D.

例8（2015，12）設函數f （x）= ln（1+|x|）-11+x2，則使得 f （x） >f （2x-1）成立的 x的取值范圍是（）

A. 〔13，1〕B.〔-∞，13〕∪（1， +∞）

C.〔-13，13〕D.〔-∞，-13〕∪〔13， +∞〕

秒殺法：令x=1，則f （1）>f （2×1-1）（= f （1））這本身是一個不可能成立的式子，排除D.

再令x=0，則f （0）>f （-1）.而f （0）=-1

點評：仔細觀察選項中范圍的設置，取選項之間的差異性特殊值，可以逐步排干擾性選項，進而獲得正確答案.

4.雙管齊下秒殺高考題

例9（2013，11）已知函數f （x）=x3+ax2+bx+c，則下列結論中錯誤的是（）

A.Эx0∈R，f （x0）=0

B.函數y=f （x）的圖象是中心對稱圖形

C.若x0是 f （x）的極小值點，則f （x）在區間（-∞，x0）上單調遞減

D.若x0是 f （x）的極小值點，則f ′（x0） =0

秒殺法：直接看選項C，熟知極值是函數的局部性質，故錯誤，經驗證D正確，故選C.

例10（2015，3）根據下面給出的2004年至2013年我國二氧化碳年排放量（單位：萬噸）柱形圖，以下結論中不正確的是（）

A.逐年比較，2008年減少二氧化碳排放量的效果最顯著；

B.2007年我國治理二氧化碳排放顯現成效；

C.2006年以來我國二氧化碳排放量呈減少趨勢；

D.2006年以來我國二氧化碳年排放量與年份正相關.

點評：有一種題叫做只能用排除法做的題，即如果不給出選項便沒法做.從心里學的角度和考試命題的科學角度來講，這種題的正確選項一般來說靠后，即是C或者D，而且錯誤的選項往往錯的很離譜，很明顯，再稍加驗證另一選項便可得正確答案。

結束語

每年各個地方高考試卷中的題目雖然不盡相同，學生們在解題時的思維也千差萬別，但只要我們平時養成仔細觀察、深入分析的良好思維品質，就可以游刃有余地對付高考選擇題了。

【參考文獻】

[1] G.波利亞著，涂泓，馮承天譯.怎樣解題[M].上海：上海科技教育教育出版社，2007.

【課題名稱：思維導圖“秒殺”高考數學選擇題的案例研究；課題編號：GS[2016]GHB0280 】

（作者單位：甘肅省嘉峪關市第二中學；甘肅省嘉峪關市第一中學）