關于“一元微積分”教學內容的改革實踐與思考

翟全禮

摘 要：施行《普通高中數學課程標準（實驗）》后，高中數學引入了微積分內容，這不論對中學數學教育還是對高等數學教育都產生了很大影響。本文主要討論了這項措施對高等數學課程相關內容的影響與應采取的改革舉措，并在教學實踐中取得了一定成效。主要比較了中學數學與高等數學的一些知識點，原則大致是：中學講過的，高等數學可略講、不講；中學略提及的，高等數學要講（或擴展，或提高認識角度，或提高要求）等。

關鍵詞：高中課程標準 微積分 教學改革

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）09（c）-0163-03

1 問題

目前高中數學在內容上比較施行新課標前有增有減，增加了一些原是高等數學課程內容，又減少了一些原本在中學階段應講而現在不講的內容。這種情況下如何厘清、處理這之間的關系，既能幫助學生鞏固和擴展初等數學（學習高等數學所需）知識，又能改善高等數學課程的內容處理，進而提高課程的教學質量就成為一個亟待解決的問題。

某些學校的教師采用預修課程的形式解決這一問題，并出版了教材。在補足學習高等數學的基礎后，可保障高等數學課程的正常學習。這意味著要增加高等數學課程的學時或另外增設預修課程學時，這對于許多普通院校是不太容易辦到的。

這類院校如果堅持高等數學課程原有內容和方式，無視中學數學改革給大學數學造成的影響，那必然會影響課程的教育質量與效果。因學時所限，采取在課內補課的方式基本不可行。對這類院校要解決問題，首先要在認識上正面評價15年來中學施行新課標改革取得的成就（當然也有一些不足），中學數學改革的方向是正確的。經長期調研2017年底教育部對2003年施行的《高中課程數學標準（實驗）》做了修訂，頒布了正式《普通高中數學課程標準（2017年版）》。在這種現實下，高等數學課程應當增加一個新的角度思考即中學數學（即實際從入學新生）的角度考慮課程的內容設計。高等數學課程不但要從滿足大學專業學習發展的角度考慮問題，還必須從中學數學的角度考慮問題。我們在教學實踐中針對此類問題進行了一些探索和思考，提出一些具體的教學建議和方法，在此提出與各位同仁交流，也供年輕教師參考。主要比較了中學數學與高等數學的一些知識點，原則大致是：中學講過的，高等數學可略講、不講，中學略提及的，高等數學要講（或擴展，或提高認識角度，或提高要求）等。下面從幾個方面討論二者之間相關內容的關系，及在高等數學課程中應采取的對策。

2 映射與函數

集合、映射與函數等知識點高中與大學一致。在高等數學課程中，不必重復高中已用大量時間學習與練習的內容。但函數是高等數學課程研究的主要對象，在講完高數課程緒論后，對這部分還需要有重點地安排一些內容，進行一些說明。具體方法如下。

（1）回顧初中課程里函數的“變量說”與高中課程里函數的“對應說”定義，指出在將常量視為變量的特例后，兩種提法實質相同。前者直觀，后者嚴謹。

注：將常量視為變量，在高等數學中常見，是為分類等研究需要而采用的常用方式，如在幾何中有時將直線看作曲線的特例，將平面看作曲面的特例等，但有學生可能不習慣，所以這里提及，以使得學生逐漸習慣高等數學的思維方法。

（2）指明函數與映射的關系，即函數是特殊的一種映射，映射是諸如函數、平面圖形面積、立體體積、曲線弧長、事件域上概率、向量集到向量集的變換等的抽象和一般化。

注：平時常說的“函數思想”實際指的是，在非常廣泛問題中存在的映射或可使用的映射方法。

（3）在回顧函數概念時，可擴展的內容有余切、正割、余割，這3個可以作為正切、余弦、正弦的倒數得到。關于這些函數的圖形、性質等可以借助數學軟件如Mathematica在課外由學生繪制、探索。更進一步地，所有基本初等函數的圖形都可用軟件繪制。還可根據情況介紹雙曲函數的知識（選學內容）。

（4）通常提到函數的表示法有3種（解析法、列表法、圖像法）。在高等數學課程中，還有一種也常用，就是描述法，如高斯取整函數、某數集的特征函數等就是用描述法定義的。

注：這也是將高中內容擴展。讓學生將過去與現在聯系起來，不斷擴展知識。

（5）將單調性函數擴展為非增（非減）函數。由于中學非常熟悉用導數符號判斷函數的增減性，自然可以引出非增（非減）函數的判別定理，后面可對這些嚴格證明。這里的討論是為后面課程內容做鋪墊。另外還應指出（盡管非常簡單）線性函數的增減性與斜率的關系。

注：線性函數的斜率（變化率）即導數為正，函數增；斜率為負，函數減。這樣一般函數用導數判別單調性的結論也就容易聯想記憶。利用導數信息認識基本初等函數，則其增減性顯得一目了然，這樣可幫助學生學習與記憶。

（6）關于反函數，中學要求偏弱，僅介紹了概念及少數例子。在高等數學課程中連續函數運算部分，可用單調連續函數存在反函數且連續這結論，以例子形式，學習4個反三角函數及其連續性，并用軟件繪其圖形。如在 上單調增加、連續，故其存在反函數，記作，其他3個如反余弦、反正切、反余切類似引入。

注：在介紹反函數存在及連續性定理過程中，比較自然地補充了反三角函數內容（中學未講，但學高數課程必備）。

（7）在中學數學（必修1）關于“函數的應用”一章里有關方程根與函數的零點，涉及的例子，與高等數學相關內容（閉區間上連續函數的性質）比，都比較簡單（低次多項式）而且以幾何方式給出。這可以使在高等數學課程里省去引入問題的時間，討論時可直接以分析方式討論一般函數零點或方程根的情況。另外還可介紹用軟件如Mathematica求方程根的方法。

注：把高中所講內容當作基礎和鋪墊，可節省高數課程學時。類似地，遇到高中討論過的內容如微積分、向量代數、空間幾何等內容都可如此處理。

3 一元微分學

3.1 導數定義

引入概念實際背景，導數定義及其幾何意義、物理意義，高中數學（選修2-2）比較高數課程差別不大，而且引例與導數實例相比高等數學課程中的更新穎、貼近生活。因此在高數課程中，引入導數概念時，可直接承繼高中部分，簡要回顧后就可以導數定義為起點進行教學討論。下面從概念理論、計算兩方面來分析高中與高數課程所講微分學的關系與高數課程采取的處理方式。

（1）從導數定義，引出左、右導數概念，給出函數可導的充要條件。討論函數可導與連續的關系。這里對有關結論要求推導證明，在這過程中深化對導數概念的理解和認識，體會極限的作用。

（2）在高中沒強調導數的各種記號，多使用朗格朗日記號，在高數課程中為了后續內容（微分、高階導數等）需要與便利，要介紹幾種記法，并在高階導數講解時加以強調。

（3）導數基本公式，高中（選修2-2）只介紹8個（同濟版教材[1]是16個，比高中內容多了等三角函數及4個反三角函數的導數公式），導數計算也限于相對簡單的函數。由于高中數學課標（實驗）中沒有要求極限的具體內容，因此基本導數公式推導，及利用導數定義求極限，在高數課程里都要明確要求。重點利用導數定義推導正弦、余弦、指數函數、對數函數等導數基本公式（到這里學生會明白了“重要極限”的作用）。在討論導數運算法則時推演其它基本導數公式。注意在推導正弦與余弦導數公式之前先推導正弦或余弦的“差化積”公式（高中未要求，但利用正弦或余弦的“加法公式”不難推出）。

3.2 導數基本公式與運算法則

高中介紹了導數四則運算法則和復合函數求導法則，但未證明。高數課程則要利用極限工具證明這些法則，并利用商的求導法則來推導其余三角函數（包括中學未講過的正切、余切、正割、余割函數）的導數公式，利用反函數求導法則推導反三角函數導數公式等。高等數學課程與高中所講內容相比：一是內容擴展了，二是要求提高了（不但要求會用公式、法則，還要能推導）。對于導數計算，高中僅要求幾種簡單函數的導數，而高數課程則要求能計算一般初等函數（包括隱函數）的導數及高階導數。

3.3 微分

中學并未討論微分，但導數與微分關系密切，有關導數計算及運算法則都對應相應的微分法則。過去由于課時限制，高數課程上過多地討論導數，對微分關注相對較少。現在由于中學已介紹了較多導數內容，所以高數課程中就有時間多對微分這部分進行討論。對于將來學習來講，微分的概念與運算更為重要。比如微分易于推廣到多維空間理論，而在計算復合函數、隱函數（包括由數個方程確定的隱函數）的導數時，微分運算也具有一定的優勢。

3.4 導數的應用

如判別函數單調性，求函數極值，求閉區間上函數的最大值與最小值，及求解最值的應用題。是中學數學里的重點，也是高數課程的基本要求。在高數課程中，除了關注計算外，還要求對相關定理證明，如（利用微分中值定理）證明單調性判別定理，并加以拓展：關于非減（或非增）函數的判別定理（及其證明），比較這兩個定理的區別與聯系。

關于極值判別，中學講過的一階導數條件在高數課程可略講，而側重利用二階導數條件判別極值，選擇的例子可以是三角函數一類。關于最值問題，閉區間上連續函數最值求法可略但要有要求，重點放在非閉（開、半開、無窮）區間上的函數最值求法。

3.5 函數

（圖形）的凹凸性判別及拐點的求法，在內容結構設計上類似函數單調性判別及求極值，這點要給學生提示。一段時間來，由于學時少，因而在高數課程中會有這樣的現象：更側重單調性和極值部分，而關于凹凸性問題相對著墨較少。而在中學已對單調性和極值內容關注較多的情況下，高數課程可以在凹凸性問題上側重些。在考慮單調性時，可能會從最簡單的一次函數提起，斜率，則函數遞增；斜率，則函數遞減。進而自然地引出一般函數單調性的判別（定理）問題。在考慮凹凸性時，可先讓學生回顧在中學關于二次函數的討論（其二次曲線的對稱軸、頂點、零點等），若用微分法考慮則大大簡化問題。設二次函數為，使點即駐點； 時，曲線開口向上（即曲線為凹弧），時，曲線開口向下（即曲線為凸弧）。對于更復雜的函數曲線就需要凹凸性的概念（而不僅是開口向上或下這樣的語言了）來刻畫，用二階導數來研究一般函數（圖形）的凹凸性，就是高數課程中有關凹凸性的判別定理。用這種方式引入凹凸性概念會比較自然，易于為初學者接受。

關于函數（圖形）凹凸性，還可以和函數的單調性相聯系。比如函數單調遞增，而遞增可以更細分為：函數遞增但增長率遞減（）（慢增）；函數遞增且增長率遞增（）（快增）。對于單調遞減也可類似細分。這樣深化了對函數（圖形）凹凸性的理解。

3.6 繪制函數圖形

這是高等數學課程的要求，也是用微分法綜合研究函數各方面性質的體現。對于這部分，非常適合采用數學軟件。其他像方程求根、各種類型函數的（高階）導數計算等，都可以而且應該結合數學軟件。方式是由學生在課外操作，教師課上適當指導即可。

在高等數學課程的學習過程中，比較高中會更強調概念、理論及問題的理解，而上面我們的一些做法和考慮在一定程度上正是滿足了這樣的課程要求。

4 一元積分學

4.1 定積分概念

高中數學介紹定積分概念的來源背景，給出了定積分定義，不過定義比高數課程的定義要特殊一些。高數課程中的定積分定義更一般、嚴謹。高數課程就可以在分析這樣的區別中給出定積分的定義。并且指出對連續函數來說，高中定義與高數課程的定義實際相同。在高數課程中，由于高中在關于定積分概念引入等做了很多工作，高數課程就可以更注重定積分性質、利用變限定積分法表示新型函數等內容。這樣可以突出定積分的重點與價值。

4.2 定積分計算

高中數學介紹了用微積分定理（牛頓-萊布尼茲公式）計算定積分方法。高數課程內容的重點在于理解和證明微積分基本定理（分為兩個部分：一是變上限函數求導定理；二是牛頓-萊布尼茲公式），并且也要求學生會做。除了普通計算，高數課程還要求利用數學軟件（如Mathematica）計算原函數、定積分。

4.3 定積分應用

現在由于學時緣故，高數課程定積分應用大多考慮幾何應用。而目前高中課程中，也介紹了物理應用，在高數課程中就更應根據專業適當選擇一些物理、工程、經濟中的定積分問題加以介紹，以更全面地理解定積分思想和方法。

5 結語

不斷跟蹤中學數學教育的變化發展，在高等數學課程中做出相應的改變，并且在課程中與中學內容有機結合，可促使學生勤思考、提高學生學習興趣與主動性，從而保證高等數學課程的教育質量。

參考文獻

[1] 同濟大學應用數學系編.高等數學（上冊）[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2] 蘇德礦 ，余繼光.高等數學基礎——中學數學內容補充與數學概念和思維方法簡介[M].北京：高等教育出版社，2015：9.

[3] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.