一類邊界退化拋物系統的近似可控性

張秋穎, 周鳴君

(吉林大學 數學學院, 長春 130012)

0 引 言

考慮如下拋物系統的近似可控性:

(1)

不同于古典理論, 本文將邊界分為弱退化邊界、 強退化邊界、 非退化邊界. 其中強退化邊界上的方程展現雙曲特征, 弱退化邊界則表現為拋物特征. 顯然a在側邊界?Q×(0,T)上的某些點為零, 因此方程(1)在{(x,y,t)∈?Q×(0,T):a(x,y,t)=0}上是退化的. 根據文獻[1], 可給出如下初邊值條件:

其中:u0∈L2(Q);

式中0<δ

目前, 對非退化線性和半線性拋物方程控制理論的研究已有許多結果[2-4]. 文獻[5-12]研究了退化拋物方程(組)的可控性. 文獻[9]研究了下述高維情形退化拋物方程(組)的近似可控性:

(x,t)u)+c(x,t,u)=h(x,t)χD, (x,t)∈Ω×(0,T).

(4)

‖u(·,T)-ud(·)‖L2(Q)≤ε.

(5)

1 適定性

類似于文獻[1]中的推論2.1和注2.1, 可證:

注1若u∈B, 則在跡的意義下u|Σ=0, 但在(?Q×(0,T))Σ上一般沒有跡.

其中DT=D×(0,T). 則稱函數u∈L∞(0,T;L2(Q))∩B是問題(1)-(3)的弱解.

(6)

(8)

其中k=1,2,…, 且當k→∞時,ck→c和fk→hχD于L2(QT),u0,k→u0于L2(Q). 考慮正則化問題:

根據拋物型方程的古典理論, 問題(9)-(11)存在唯一古典解uk. 在方程(9)的兩端同時乘以uk, 并在Qs(0

于是由Gronwall不等式, 得

利用Cauchy不等式并結合式(8), 可證

(14)

(15)

在式(14)中令k→∞, 由式(15)即得式(6).

于是

從而

由Cauchy不等式并結合式(8)和式(14), 可證

一些教師在課堂練習中沒有按照教學目標去對練習內容進行整合，受“熟能生巧”思想的影響，認為學生練得多掌握的就扎實，所以在課堂練習中單純讓學生進行模仿練習，這樣很容易使學生產生厭倦感，學習數學的興趣也會大大下降，更無法帶動學生進行思考。

令k→∞時, 由式(15), 得

利用Holmgren方法可證問題(1)-(3)弱解的唯一性, 證明過程類似文獻[9]中命題2.1. 證畢.

2 近似可控性

先考慮問題(1)-(3)的對偶問題, 即

定義映射

其中v是對偶問題(18)-(20)的弱解. 由定理1可知L為L2(Q)×L∞(QT)到L1(QT)的連續線性算子. 由文獻[13]知, 對偶問題(18)-(20)的弱解v有唯一延拓性質, 即

L(v0,c)=0, a.e.(x,y,t)∈DT? L(v0,c)=0, a.e.(x,y,t)∈QT,

(21)

表明L是單射.

取定ε>0,ud∈L2(Q)和c∈L∞(QT), 定義泛函

它滿足以下兩個性質[11].

類似于文獻[14-15]中的結論, 可證:

(22)

下面利用引理1證明系統(1)-(3)的近似可控性.

證明: 注意到方程(1)是線性的, 不妨設u0(x,y)=0, a.e. (x,y)∈Q. 否則, 可將u寫成兩個解之和: 一個是具非齊次初值固定系統的解, 另一個是具齊次初值控制系統的解.

情形1) ‖ud‖L2(Q)≤ε.

情形2) ‖ud‖L2(Q)>ε.

(23)

將方程(1)兩端同時乘以θ, 有

(24)

由θ是問題(18)-(20)在v0=θ0時的弱解知

(25)

由式(24),(25)并注意式(23), 有

證畢.

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