例談“垂線段最短”在最值問題中的巧妙運用

姚躍貞

摘 要：近年來，最值問題頻繁出現在各地數學中考卷中，甚至編入壓軸題，由此可見其重要性，在初中階段，最值問題一直是個難點也是一個重點，它要求學生具有很強的問題分析能力與綜合運用數學知識、數學思想方法解決問題的能力。本文利用“垂線段最短”巧妙解決各類最值問題。

關鍵詞：“垂線段最短”；動點；最值；巧妙運用

近年來，最值問題屢屢受到中考試題的青睞，其中“垂線段最短”在最值問題中的貢獻不容忽視。它的完整表述如下。

垂線公理垂直定理：

1.在同一平面內，過一點（直線上或直線外）有且只有一條直線與已知直線垂直。

2.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短（簡稱垂線段最短）。

利用“垂線段最短”可以巧妙地解決一些最值問題。

一、“垂線段最短”在國邊形中的巧妙運用

例1：如圖1，矩形ABCD中，BC=8，CD=4，E、F兩點分別是BD、BC上的動點，求EF+CE的最小值。

解析：此題是兩動點E、F，一定點C。

過點C作關于BD的對稱點C，再過點C作CF⊥BC，垂足為F，交BD于E，由垂線段最短可得CF的長即EF+CE的最小值，可求得[CC=1655]，則C′F=32/5。

例2：如圖2，菱形ABCD中，對角線BD=8，AC=6，E、F、G分別是BC、CD、BD上的動點，求EG+FG的最小值。

解析：此題是三動點E、F、G，學生會感到難，實際上，可假設一定點，如假設點E是定點，過點E作BD的對稱點E（點E恰好落在AB邊上），再過點E作EF⊥CD，垂足為F，交BD于點G，則垂線段EF的長即為EG+FG的最小值，由等積法可求得[EF=245]。

點評：以上兩例題都運用了對稱思想以及垂線段最短的性質，要求學生具備一定的數學綜合素養。

二、“垂線段最短”在三角形中的巧妙運用

例3：如圖3，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC于點D，點P是AD邊上的一個動點，點Q從點A出發，沿線段AD以每秒2個單位的速度運動到P點，再沿線段PB以每秒1個單位的速度運動到點B后停止，若三角形的邊長為4，問：當點P在何處時，點Q在整個運動中用時最少？最少時間是多少秒？

解析：由AD⊥BC，△ABC是等邊三角形可得∠BAD=∠CAD=300，則點P到AC的距離是點P到點A的距離的一半，由于點Q沿線段AD以每秒2個單位的速度運動，沿線段PB以每秒1個單位的速度運動，到點B后停止，則過點B作BE⊥AC，垂足為E，交AD于點P，則點Q從A運動到P的時間即為點P到點E所用的時間，因此，點P在離點A[433]處時，點Q在整個運動中用時最少，最少時間為[23]秒。

例4：在一次機器人測試中，要求機器人從點A出發到達點B處，如圖4，已知點A在點O的正西方600cm處，點B在點O正北方300cm處，且機器人在射線AO上的速度為20㎝/s，在射線AO上方以及下方的速度為10cm/s，試在OA上找一點P，使機器人沿A→P→B路線行進所用時間最短，并求出AP的長度。

解析：由題意知機器人在射線AO上的速度為20cm/s，在射線AO上方以及下方的速度為10cm/s，在AO下方，過點A作射線AD，使∠DAO=300，再過點B作BC⊥AD，垂足為C，交AO于點P，機器人沿A→P→B路線行進，所用時間最短，此時[PO=1003]cm，則[AP=（600-1003）]cm。

點評：以上兩例題30°角所對的直角邊等于斜邊的一半以及垂線段最短的性質，同樣需要學生具備一定的數學綜合素養。

三、“垂線段最短”在壓軸題中的運用

例5：如圖5，拋物線[y=12x2+mx+n]與直線[y=-12x+3]交于A、B兩點，交[x]軸于D、C兩點，連結AC、BC，已知點A（0，3），C（3，0）。

（1）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值。

（2）P為[y]軸右側拋物線上一動點，連結PA，過點P作PQ⊥PA交[y]軸于點Q，問：是否存在點P使得以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由。

（3）設E為線段AC上一點（不含端點），連結DE，一動點M從點D出發，沿線段DE以每秒一個單位速度運動到E點，再沿線段EA以每秒[2]個單位的速度運動到A后停止，當點E的坐標是多少時，點M在整個運動中用時最少？

解析：由題意易求得拋物線的解析式為[y=12x2-52x+3]。令[y=0]，得[12x2-52x+3=0]，解得[x1=2，x2=3]所以點D（2，0），由點A（0，3），點C（3，0）可求得直線AC的解析式為[y=-x+3]，作點D關于AC的對稱點D，易求得點D（3，1），過點D作DH⊥OA于點H，交AC于點E，易證得四邊形OCDH為矩形，所以點E的縱坐標為1，把[y=1]代入[y=-x+3]，得[x=1]，所以點E的坐標是（2，1）。

例6：在平面直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為（-6，0），如圖6，正方形OBCD的頂點B在x軸的負半軸上，點C在第二象限。現將正方形OBCD繞點O順時針旋轉角α得到正方形OEFG。

（1）如圖7，若α=600，OE=OA，求直線EF的函數表達式。

（2）若α為銳角，[tanα=12]，當AE取得最小值時，求正方形OEFG的面積。

（3）當正方形OEFG的頂點F落在y軸上時，直線AE與直線FG相交于點P，△OEP的其中兩邊之比能否為[2∶1]？若能，求點P的坐標；若不能，試說明理由。

解析：由于[tanα=12]就一個定值，所以當AE⊥OE時，AE取得最小值。易求得[OE=6×25=125]，所以[S正方形OEFG=（125）2=1445]。

歸納反思：綜合上述6個例題描述，雙動點或三動點形成的最值問題，涉及數學思想很多，包括實際問題轉化函數關系的建模思維，根據問題進行討論分析的思維，解決該問題需要綜合一次函數的性質，二次函數的性質，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數定義，勾股定理，等腰三角形，三線合一等數學知識，條件要求苛刻，立意高，綜合性強，需要學生有較好基礎才能。因此，抓好學生的數學基本素養是立身之本。