巧妙轉化提升解題效率

摘要：轉化思想是高中數學中極為重要的一種思想方法，轉化思想的精髓在于將復雜的、難以解決的問題轉化為簡單的、具體的問題，將問題一層一層的抽絲剝繭，通過問題的現象發現問題的本質，既能快速地解決問題，還能鍛煉學生的思維能力。

關鍵詞：轉化；構造；數形結合

數學問題的解決離不開轉化的思想，對于一些復雜的難題，就更離不開轉化思想的鋪墊。通過巧妙的轉化，可以充分利用題目中的已知條件，以創新的思維方式去思考問題，從而采用創新的方法去解決問題，培養學生的發散性思維。

一、 善用韋達定理，巧求兩點距離

對于解析幾何中求兩點之間距離的問題，直接求點的坐標往往會比較麻煩。如果能夠得到相關的方程，通過韋達定理，將問題進行轉化，換一種思路表示出兩點之間的距離，可以達到事半功倍的效果。

例1現有拋物線y=12px2（p>0）和定點F，F的坐標為0，p2，過定點F引傾角αα≠π2的直線，直線與拋物線相交于M、N，求出M、N之間的距離。

解析：將過定點F的直線方程設為：x=0+t*cosα，y=p2+t*sinα（t為參數），將所設的直線參數方程代入拋物線方程y=12px2（p>0），可得：p2+tsinα=12p（tcosα）2，化簡即為t2cos2α-t2psinα-p2=0，根據韋達定理可得：t1+t2=2p

sinαcos2α，t1t2=-p2cos2α。根據t的幾何意義，|MN|=|MF|+

|FN|=|t2-t1|=（t2-t1）2=（t2+t1）2-4t2t1=2p*sec2α。

點撥：本題中通過運用韋達定理，將兩點之間的距離問題進行了巧妙的轉化，不但準確地得出了結果，還節省了寶貴的時間，大大提高了解題效率，是一種非常好的方法。

二、 巧妙構造，化不等式為數列

構造思想在數學問題的轉化中占有重要地位，對于一些難以解決的問題，采用構造思想，可以將原本復雜的問題進行轉化。例如對含有n的不等式證明問題，采用構造數列的方法，可以巧妙地化復雜為簡單，從而將不等式問題轉化為數列問題，更有利于解決問題。

例2證明不等式1n+1+1n+2+…13n+1>1（n∈N*）。

解析：構造數列：an=1n+1+1n+2+…+13n+1，那么an+1-an=13n+4+13n+3+13n+2-1n+1=13n+4+13n+2-23n+3=2（3n+2）（3n+3）（3n+4）>0，所以數列{an}是遞增數列，又a1=12+13+14=1312>1，所以an>1（n∈N*），所以原不等式得證。

點撥：本題中采用構造數列的方法巧妙地解決了不等式證明問題，通過新構造出的數列，巧妙地判斷出該數列是遞增數列，從而證明不等式。通過構造數列可以事半功倍的解決問題，提高解題效率。

三、 數形結合，突破實根問題

對于方程的實根個數問題，并不需要求出具體的實根，如果能夠結合函數的圖像，將原本純粹的函數問題進行轉化，巧妙地運用函數的圖像與實根個數之間的關系，運用數形結合的思想，采用創新的方法來解決問題。

例3已知函數f（x）=|lnx|，g（x）=0，0

|x2-4|-2，x>1，那么對于方程|f（x）+g（x）|=1的實根個數為。

解析：設h（x）=f（x）+g（x）=-lnx，0

-x2+2+lnx，1

x2-6+lnx，x>2，將問題進行轉化，方程|f（x）+g（x）|=1的實根個數即為函數h（x）與函數y=1與函數y=-1的交點，利用相關的導數知識可以畫出h（x）的圖像，通過所作的圖像，可以直觀地看出h（x）與y=1和y=-1共有4個交點，所以方程|f（x）+g（x）|=1的實根個數為4個。

點撥：本題的難點在于轉化思想的運用，要想到將函數問題與其圖像相結合。接著嚴格按照函數的定義域，按部就班地畫出每一段的圖像，得出具體圖像之后，原本復雜的問題自然就迎刃而解了。

綜上所述，轉化思想存在于高中數學中的方方面面，無論是平面解析幾何問題、不等式問題或是函數問題，它們的解決都離不開轉化思想，轉化思想是高中數學知識之間相互聯系的紐帶，通過轉化思想可以將這些知識緊密地聯系起來，從而事半功倍的解決問題。

作者簡介：夏仁權，云南省曲靖市，云南省富源縣勝境中學。