非連續(xù)文本：數(shù)學(xué)思想的一種表征

徐建林

摘要：數(shù)學(xué)教材中存在著大量的“非連續(xù)文本”，根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)及小學(xué)數(shù)學(xué)課程提出的“數(shù)學(xué)思想”這一目標(biāo)，教師可以通過：立足符號基點，理解意義指向;轉(zhuǎn)化文本內(nèi)涵，構(gòu)建多重表征;融合多層視角，聚焦核心思想;立體螺旋上升，升華思想實質(zhì)等方法，剖開多樣化的文本表征，挖掘教材中“非連續(xù)文本”所表征的數(shù)學(xué)思想，直擊表層底下深藏的數(shù)學(xué)思想，以一種超越文本的統(tǒng)攝視角欣賞數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：非連續(xù)文本;數(shù)學(xué)思想;文本表征

中圖分類號：G623.5 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2018）02B-0079-05

國際PISA2009閱讀素養(yǎng)測評把文本形式分為四種：連續(xù)文本、非連續(xù)文本、混合文本和多重文本，其中連續(xù)文本和非連續(xù)文本是文本的兩種基本形式。在小語界非連續(xù)性文本是語文教學(xué)上的一個空白，為此《義務(wù)教育語文課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了“閱讀簡單的非連續(xù)性文本，能從圖文等組合材料中找出有價值的信息?！钡捎跀?shù)學(xué)學(xué)科屬性，非連續(xù)文本在數(shù)學(xué)教材中幾乎隨處可見，或者說學(xué)生的學(xué)習(xí)依附著大量的非連續(xù)性文本。正視非連續(xù)性文本的閱讀，在有別于語文學(xué)科，旨在“尋找有價值的信息”外，挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科中的非連續(xù)性文本的數(shù)學(xué)思想，值得每一個數(shù)學(xué)教師探索和研究。

一、非連續(xù)文本解讀的扭曲

教材非連續(xù)性文本式的呈現(xiàn)方式承受著學(xué)生與教師的雙重解讀，而這樣的解讀往往代表著矛盾行為的兩極：學(xué)生的解讀存在于“學(xué)”層面，教師的解讀存在于“教”的層面，但無論是何種解讀都印證著格式塔心理學(xué)派的閱讀理論觀點：人的心智感知到的事物不是各種孤立的要素，而是構(gòu)形（configuration）或者有序的范型（organized patterns），讀者讀一個文本，都是在尋找這種構(gòu)形。沃爾夫?qū)ひ辽獱栠M一步補充：所有的文本都留有空白（gaps），這些空白期待著讀者去填補。這種自由式的文本解讀提供了文本背后的多種潛在的可能性，但同樣帶來了問題，可能無法把握文本的實質(zhì)或思想。

（一）時間錯位化解讀

數(shù)學(xué)學(xué)科具有很強的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，每一個知識點就像散落在棋盤上的每一個棋子，它們并非是雜亂無章、相互割裂的，相反存在著時間先后、主次的邏輯關(guān)系且在運動著相互關(guān)聯(lián)。但是文本存在著某一時態(tài)的“固態(tài)”形式，然而作為教師和學(xué)生的解讀則往往面臨著結(jié)果和過程的選擇。猶如同看一部電影，學(xué)生沉醉于過程的“看”（知識的發(fā)展及演化），卻對未來發(fā)生的一切渾然不知，教師則猶如導(dǎo)演通盤知曉，對將來發(fā)生的一切已了然于胸，兩者同看一部電影想必“眼界”必然不同，這種時間的錯位影響著教學(xué)。例如三年級（下）《認識分?jǐn)?shù)》一課，此課連接著上冊的“某一個物體幾分之一”，五年級下冊“單位‘1的幾分之一或者幾分之幾”。對于學(xué)生而言，他們是學(xué)習(xí)途中一個旅者，存在于當(dāng)下對此文本的理解，教師則對三個分?jǐn)?shù)學(xué)段都十分清晰，于是不自覺地產(chǎn)生了時間錯位——在三年級（下）教學(xué)中刻意地提高抽象至“一個整體的幾分之一”教學(xué)目標(biāo)，然而細讀教材從頭至尾沒有出現(xiàn)“一個整體”的字眼。這種“速成雞”式的空白填補不僅揠苗助長，違背了兒童身心發(fā)展規(guī)律，而且蒙蔽了學(xué)生將多種數(shù)量不同的實物抽象成符號化數(shù)學(xué)思想的過程。

（二）空間狹隘化解讀

教材中的非連續(xù)性文本擁有著文本內(nèi)涵和外延的屬性，文本的外延性賦予了讀者（教師與學(xué)生）前所未有的重要性，強調(diào)文本的意義乃是讀者解釋的結(jié)果。但是我們不可否認文本自身存在的價值，它通過自我解釋在某處引導(dǎo)著讀者，或者說一個文本總會給讀者提供相應(yīng)的線索和暗示。但有時候讀者的解讀面臨著被自身的經(jīng)驗或意識形態(tài)所束縛而忽略主旨的尷尬。例如在五年級上冊《解決問題的策略——一一列舉》一課，教材提供了這張表格（如表1），而這張表格也是本課教學(xué)的重點，很多教師在教學(xué)這一內(nèi)容時都存在以下問題：表格變成了封閉，導(dǎo)致學(xué)生一下子就知道有5種可能，無形中遏制了思維空間。如此過于注重結(jié)果的狹隘化解讀不僅讓孩子失去了“試錯”嘗試的機會，而且割裂了“有序的一一列舉”這一數(shù)學(xué)思想與表格之間的表征關(guān)系。

（三）思想割裂化解讀

分析教材中的非連續(xù)性文本始終包含著三種元素：數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想。這三者相互依存，互為表里，數(shù)學(xué)知識是載體，數(shù)學(xué)方法是功能，而數(shù)學(xué)思想是隱含的靈魂，因此它比其余兩者更具永恒性和實用性。但是在教學(xué)過程中，教師會不自覺地丟棄思想這一文本核心。例如一年級（下）《20以內(nèi)的退位減法》（如圖1），青椒、蘿卜、番茄各自表征幾種不同的數(shù)學(xué)思想，青椒和蘿卜都是采用建模思想，減數(shù)分解或被減法分解，旨在體現(xiàn)整數(shù)十的價值，番茄表征著方程思想。這些思想涵蓋著整個小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)甚至是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的終身，但片面追求結(jié)果的功利主義將思想人為地淡化了，割裂其延伸性，形成了“站在什么山上唱什么歌”的窄化教育視界。

二、非連續(xù)文本數(shù)學(xué)思想的“立體化”構(gòu)建

（一）立足符號基點，理解意義指向

A.D.亞歷山大洛夫說：“如果沒有合適的數(shù)學(xué)符號就不能將算術(shù)推向前進，尤其是如果沒有專門的數(shù)學(xué)符號和公式簡直就不可能有現(xiàn)代數(shù)學(xué)?！闭\然數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開對數(shù)學(xué)符號的理解，符號也是數(shù)學(xué)抽象化的結(jié)果。語言學(xué)家索緒爾將符號分為了兩個部分：一個是能指（signifier），或曰聲象（sound-image），一個是所指（singnified），或曰符號所涉及的概念。例如當(dāng)我們將“÷”讀成“chú yǐ”構(gòu)成一個能指，但這個運算符號背后卻表征著“平均分”的思想，構(gòu)成了所指，而這樣的聯(lián)系在數(shù)學(xué)里是約定俗成的。但在學(xué)習(xí)過程中，我們會隨時看見很多孩子在解決問題時候的胡子眉毛一把抓，“+、-、×、÷”亂用一通。究其原因是“能指”與“所指”的割裂，因此教學(xué)中不僅要認識基本的數(shù)學(xué)符號，更要理解其背后的數(shù)學(xué)思想。

例如在學(xué)習(xí)《圓的面積》一課，其知識目標(biāo)任務(wù)是歸納得出圓的面積=πr2，一個老師告訴我：她在教學(xué)完這個公式后讓學(xué)生完成書本的練習(xí)：一個圓形電子元件薄片，直徑是16厘米，這個電子元件薄片的面積是多少平方厘米？一個學(xué)生不會，她把學(xué)生叫到辦公室輔導(dǎo)，問：“圓的面積公式是什么？”學(xué)生說：“S=πr2”幾分鐘過去了，學(xué)生咬著筆頭，只字未寫。于是老師繼續(xù)問：“圓的面積公式是什么？”學(xué)生還是繼續(xù)回答“S=πr2”但是始終無從下筆。其實“S=πr2”是一個高度抽象化、簡潔化的符號公式，我曾問學(xué)生你是怎么理解這個公式的？學(xué)生的回答多種多樣：π×r2，π×r×r，3.14×半徑的平方，3.14×半徑×半徑，還有一種是它來自于長方形面積公式。雖然這些解釋看似都是正確的，但是其理解的層次明顯不同。如π×r2是πr2的簡單解釋，即使學(xué)生明確了πr2省略了乘號，但是未必清晰了r2是r×2還是r×r。當(dāng)學(xué)生用中文說明公式的時候，說明學(xué)生已經(jīng)將“能指”和“所指”達到統(tǒng)一，對解決諸如上述類型的問題應(yīng)該毫無問題，但當(dāng)一個學(xué)生在大腦中能浮現(xiàn)將圓進行若干等分拼成一個近似于長方形后說：“圓的面積來自于長方形的面積”時，不僅說明學(xué)生對平面圖形的面積計算已經(jīng)融會貫通，同時對πr2所表征的轉(zhuǎn)化思想及極限思想也有明確的認識。因此作為教師應(yīng)重視每一個數(shù)學(xué)符號的教學(xué)，從最初啟蒙的“+、-、×、÷”中，從每一次公式推演中，從“有形”中表征出“無形”數(shù)學(xué)思想。

（二）轉(zhuǎn)化文本內(nèi)涵，構(gòu)建多重表征

數(shù)學(xué)思想的無形必然依賴與形式化的產(chǎn)物，形式化的目的是把純粹的數(shù)量關(guān)系從現(xiàn)實世界的紛繁復(fù)雜的事物聯(lián)系中抽取出來，簡潔明了地加以表示，以便揭示各種事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律性。 從這個角度而言，教材中非連續(xù)性文本已是現(xiàn)實世界概括化的產(chǎn)物，正如法國布爾巴基學(xué)派所認為的：“數(shù)學(xué)的一大堆形式符號和推理程序、公式組合，無非是數(shù)學(xué)自身的語言，是數(shù)學(xué)家賦予他的思想的外部形式，公理方法的目的是引導(dǎo)人們尋求這些細節(jié)下面的深刻的共同的思想……”而這些“思想”都蟄伏在文本中，需要我們?nèi)拘选?/p>

例如在教學(xué)《找規(guī)律》一課中有這樣一題：有三位小朋友，如果他們互相寄一張賀卡，一共寄了多少張？學(xué)生紛紛動手解答，有的孩子用文字表示，將每一種情況都一一羅列;有的孩子將名字簡化成字母進行排列;有的孩子將名字簡化成數(shù)字進行排列。（如表2）

在這樣不斷的轉(zhuǎn)換過程中，數(shù)學(xué)思想在逐步喚醒，同樣隨著數(shù)學(xué)思想的覺醒，我們的表征也會日臻完美，最后有學(xué)生畫出了圖表示（如圖2）?；仡欉@個歷程，我們可以發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生經(jīng)歷“具體事物—學(xué)生個性化符號表示—學(xué)會數(shù)學(xué)地表示”這一逐步抽象符號的過程，不僅豐富了表征語言和表征形式，還讓學(xué)生“掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是允許許多別的東西以與它有意義地聯(lián)系起來的方式去理解它?！保ú剪敿{）但這些也存在于知識、技能層面。只有當(dāng)孩子系統(tǒng)地運用數(shù)學(xué)符號，簡明地表達數(shù)學(xué)思想，才真正觸及了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。誠如巴特所認為的：“任何表征都可以看作一個文本或符號系統(tǒng)，這一文本如何進行表達，與它表達什么同樣重要。”

（三）融合多層視角，聚焦核心思想

維特根斯坦曾注意到：在一幅畫中，一個正在上坡的人，也可以看成是在倒退著下坡。他接著引述：“表征只有得到解釋才成其為表征，最終能引起廣泛的聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)其潛在的表征內(nèi)涵。”從這個角度而言，無論是人教版、蘇教版、西師大版等教材都是實現(xiàn)教學(xué)數(shù)學(xué)思想一種的表征，它亟待教師去“解釋”。也因為如此，教師對于教材中的非連續(xù)性文本的解釋往往也會受“語境”所困，因為在一套完整的教材中已構(gòu)建了對應(yīng)的“心理圖式”，而數(shù)學(xué)思想的把握則要求我們擁有更寬闊的視角。例如+++這一問題，蘇教版和人教版采用類似的表征方式，但蘊含的數(shù)學(xué)思想則各有側(cè)重。如圖3：

因此在教學(xué)中蘇教版《解決問題策略——轉(zhuǎn)化法》中，在完成+++計算中，可以讓學(xué)生在原式上繼續(xù)補充+、+、+等分?jǐn)?shù)，觀察所加的分?jǐn)?shù)有什么特點？假如你在正方形中表示，你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生能發(fā)現(xiàn)所加的分?jǐn)?shù)越來越小，同時在正方形中畫的面積越來越小，慢慢接近0，那么他們就會推演+++++++……=1-0=1。如此“一題多吃”讓學(xué)生感受到了類比、數(shù)形結(jié)合、極限等思想交融共生。正如巴特說的，文本并非釋放了一個唯一的“神圣”的意義，而是一個多維度的空間。在這一空間里，各種想法相互共存，他們相互調(diào)和，相互碰撞，也正是這樣的碰撞著重投射出了絢麗的數(shù)學(xué)思想。

（四）立體螺旋上升，升華思想實質(zhì)

日本一位著名數(shù)學(xué)教育家說過：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)精神、思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益。”此話在說明數(shù)學(xué)思想價值的同時，傳遞了思想是諸多文本不斷累積和提煉的過程。反之，同一種思想有著不同的表征而散落于各學(xué)段的文本中，此刻則更需要教師運用體系化的視野，整體構(gòu)建知識體系，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的整體化。

例如在教學(xué)《解決問題的策略——轉(zhuǎn)化法》中，教師補充了曹沖稱象的情景及教材中提供的非連續(xù)性文本（見圖4），把學(xué)生的解決問題方法不斷抽象，明確了“等量”是轉(zhuǎn)換的必備要素，接著老師再次將原有認識提升，提煉歸納得到轉(zhuǎn)化的實質(zhì)：由難轉(zhuǎn)化為易這一哲學(xué)層面。實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的整體化，不僅可以在一節(jié)課中零散的文本中得以實現(xiàn)，而且還可以跨節(jié)實現(xiàn)。比如在一個單元結(jié)束時概括提煉，甚至還可以跨年段。例如當(dāng)學(xué)生整體學(xué)完小學(xué)階段所有的計算，可以通過討論：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減乘除的計算有什么共同點？其中蘊含什么數(shù)學(xué)思想？以此不僅完善了學(xué)生的知識圖譜，而且用“集成“眼光看問題，便于實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的整體升華。

孟子云：“不以文害辭，不以辭害志。以意逆志，是為得之?！逼书_多樣化的文本表征，直擊表層底下深藏的數(shù)學(xué)思想，以一種超越文本的統(tǒng)攝視角欣賞思想之永恒絢爛，正如德里達所言：“萬物皆文本，文本即思想?！?/p>

Desultory Text： Representation of Mathematics Ideology

XU Jian-lin

（Wujiang Economic Development Zone Huagang Yingchun Primary School， Suzhou 215200， China）

Abstract： A great number of desultory texts exist in mathematics textbooks， and in accordance with mathematics features and ideology， teachers may start with sign bases and understand the significance orientation; teachers may transform text connotation and construct multiple representation; teachers may integrate multi-level perspectives and focus on the core ideology; and teachers may progress in a solid and spiral way to sublimate ideological essence. The above methods can be adopted by teachers to analyze various text presentations and to mine the mathematics ideology represented by “desultory texts”， so that the hidden mathematics ideology beyond the surface can be discovered and we can appreciate it from the perspective of transcending texts.

Key words： desultory text; mathematics ideology; text representation