初中數學問題解決教學的意蘊

顏科

[摘 要] 本文以“勾股定理”教學為例，論證了課堂是問題解決的最佳場所，問題的提出可以讓學生充分演繹已經掌握的數學知識，并將思維延伸到問題解決的過程. 問題解決的過程可以保證學生的知、情、意、行同時參與，因而可以促進學生智慧的成長.

[關鍵詞] 初中數學；數學課堂；問題解決；智慧成長

學生在課堂上的學習過程，可以理解為利用所學知識去分析問題、解決問題的過程. 對于初中數學而言，問題解決已經作為一個重要的內容寫入了《義務教育數學課程標準》（2011年版），從學生的角度來看，尤其是從學生成長的角度來看問題及其解決，筆者以為需要挖掘其中別樣的意蘊，這樣才能讓數學課堂生動和諧起來，才能讓學生的數學智慧得到生長. 本文試以初中數學“勾股定理”的教學為例，談談筆者的四個基本觀點.

數學課堂：問題解決的最佳場所

曾經在很長的時間里，數學課堂成為學生厭煩的課堂，一個重要原因，就是學生在課堂上只接觸到了生硬的數學知識灌輸與數學知識在習題里的應用. 這種簡單學習知識、重復運用知識的教學模式，因能夠應付考試而在日常教學中大行其道，但當分數的光環掩蓋了學生學習的痛苦之后，學生的智慧成長就容易成為一句空話. 所以筆者以為，數學作為諸多學科中語言最簡潔且概括性最強的學科，應當成為學生智慧生長的最佳場所，而問題解決則應當成為驅動學生感受數學魅力的重要途徑.

“勾股定理”是初中數學中的重要內容，其重要性不但體現在勾股定理的應用價值上，更體現在勾股定理本身的證明原本就是充滿魅力的一個過程. 有研究者考證，勾股定理至今已有上百種證明方法，而最初畢達哥拉斯的證明故事更是吸引了數學研究者與愛好者，中國的“勾三股四弦五”則勾畫出了中國古人對這一奇異現象的簡潔描述. 透過故事的趣味性，筆者注意到這其實也是一個問題解決的絕佳注腳. 以畢達哥拉斯的探究為例，從其對朋友家地磚的觀察，到問題的提出，再到問題的解決，這就是一個典型的問題解決過程. 如果能夠讓學生經歷一個類似的問題解決過程，那學生就能夠感受到數學學習的魅力，就不會感覺到數學學習是一個生硬的過程. 而要做到這一點并不困難，可以根據教材上給出的材料去創設一個問題情境，如：告訴學生畢達哥拉斯探究的故事（不講明細節），然后給學生呈現一個類似的圖案，讓學生去觀察、思考，看能否提出類似于畢達哥拉斯提出的問題. 如果能夠提出類似的問題，探究則可以順勢利導；如果不能，則教師再給予適當的啟發. 待問題提出之后，就進入了解決問題的過程，即探究的過程，這段過程同樣可以讓學生自主探究，以感受數學研究的魅力（具體的實踐過程在下面兩點詳細描述）.

事實證明，這樣的教學設計確實可以讓學生感受問題在數學學習中所起的作用，可以讓學生感受到提出問題所具有的價值、解決問題所具有的意趣. 而一旦學生進入這樣的狀態，真正地成長也就有了可能.

發現問題：數學知識的魅力演繹

發現問題是問題解決的環節，也是學生利用已有知識與新的情境發生碰撞的重要環節，在這個環節中，如果學生能夠將所學的知識充分運用出來，將此前數學學習過程中所形成的能力充分發揮出來，則可以充分感受到數學知識的魅力.

“勾股定理”教學中，發現問題是需要重點設計的一個環節. 在向學生提供了由不同顏色（課件中以白色和陰影部分呈現）組成的地磚圖形時，學生首先感受到的是明暗相間的圖形，而少有從“形”的角度去展開研究的，這個時候就需要教師進行引導：同學們仔細觀察這一圖案，并從我們已經熟悉的“圖形”（加強語氣）的角度去觀察這一圖案，看能否有什么發現？

這個問題通常是由教師提出，這看起來是約束了學生的思維，但實際上保證了學生思考方向不過于發散，從課堂效率的角度來看，這樣的引導利大于弊. 而學生在接收到這一問題之后，也確實會將注意力集中到對圖案規律的研究上來. 于是就有學生能夠看到其中大小不同的直角三角形，能夠看到大小不同的正方形，在這樣的思維基礎上，教師再利用現代教學手段，將一個直角三角形及其外接的兩小一大的正方形凸顯出來時，學生就不會感覺到突兀了.

在這個過程中，教師要注意的是：盡管在問題提出的過程中，教師起到了引導的作用，但仍然可以根據不同層次的學生給予不同的指導. 這就意味著在教學中，教師的教學行為主要是面向學習小組的，要根據不同小組的學習進度進行不同的指導. 筆者在教學中，用同組同質、異組異質的方法來分組，基本功較好的小組，往往能夠從中自主發現一個直角三角形及其外接的兩小一大的正方形；中等的學生則有這個意識但比較模糊，難以將圖形凸顯出來，也難以用語言描述；而學困生則主要是將注意力集中在最小單位的圖案上.

教師基于這樣的現實進行指導，其實可以讓不同層次的學生在提出問題的時候有一個夯實的基礎，不至于因為問題離自己的認知基礎太遙遠而對問題缺少感知. 因此，這樣提出問題的指導，可以讓學生已有的數學知識得到運用與演繹，在筆者看來這是有效的策略.

解決問題：數學思維的有效延伸

解決問題常常是為了有新的發現，對于“勾股定理”這一內容的教學而言，解決問題的不同之處在于：其他的問題往往是有方向的，甚至是有答案的，問題的解決只是要尋找一個科學的過程而已. 勾股定理的證明則與之不同，當學生看到一個直角三角形（實為等腰直角三角形）及其外接的兩小一大的正方形時，他們未必想到從面積關系的角度去有所發現. 而此時教師的指導就面臨著兩難：如果一提醒，那答案幾乎就呼之欲出了，如果不提醒，那學生可能需要思考很長時間，也未必能夠想到從面積關系的角度切入去得出直角三角形兩直角邊的平方之和等于斜邊的平方. 怎么辦？

筆者的辦法是利用現代教學手段，將等腰直角三角形外接的兩個小正方形“切割”成四個三角形，然后將大正方形的兩對角線連接，這樣則得到了四個三角形. 事實證明，只要做這么多，學生就會發現上面得到的四個三角形，是可以與下面的四個三角形重合的，教師此時即以期待的眼神看著學生：重合意味著什么呢？有學生可能會給出其他的回答，但肯定會有學生的視角開始伸向“面積”. 而這個思維難點一旦突破，幾乎所有的學生都能根據面積關系寫出表達式，而表達式一出，勾股定理基本上也就明晰了.

在這樣的問題解決過程中，如果注意分析學生的思維，可以發現：首先，學生的思維經歷了從形象向抽象過渡的階段. 這里有兩個表現：一是從“圖案”向“圖形”的轉變，這里有一個數學抽象的過程；二是根據面積關系得出表達式，這是用數量關系描述形，是數形結合思想的自然運用. 這兩步思維可以說是此問題解決的兩個核心，由于教師沒有直接引導，因而這個過程中學生具有顯著的自主特征. 在這樣的過程中，學生的思維從無意識地觀察圖案到有意識地研究圖形，從觀察形的位置關系到通過面積關系得出等腰直角三角形的直角邊與斜邊關系，如果算上其后的演繹，則還包括一般直角三角形的直角邊與斜邊的關系探究等. 這是一個思維不斷延伸的過程，也正是因為思維在不斷延伸，學生才不斷有新的發現，數學知識才不斷地得到了建構.

智慧成長：問題解決的教學價值

相對于傳統的教學而言，筆者總感覺到基于問題解決的初中數學教學能夠更好地讓學生暢游在數學知識的海洋中. 學生學起來沒有壓力，反而在問題解決的驅動之下表現得動力十足，學生在問題解決的過程中可能會走彎路，但這些彎路如果從思維的角度來看，也有十分重要的教學價值. 因為彎路其實就是學生思維的特點，通過學生思維的結果，可以知道不同層次的學生所表現出來的思維特征，因而教師的教學也就可以更具針對性.

更重要的是，如果從學生的角度來看，問題解決可以讓他們更充分地調動已經掌握了的數學知識去解決問題. 而即使是對于學困生而言，雖然他們掌握的數學知識偏少，但只要進入了那個情境，他們也會下意識地傾聽別人的想法，還會主動地向他人詢問自己沒有掌握的知識. 在“勾股定理”這一探究過程中，筆者就注意到有學困生提出這樣的問題：為什么兩個小正方形的面積加起來等于大正方形的面積，就可以得到中間等腰直角三角形三條邊的關系？筆者一聽到這個問題，就知道他沒有將表示面積的a2轉換為表示直角邊長度的平方. 這種轉換對于學困生而言，可能真就是個困難，但這個困難的解決，同樣也就促成了他們數量關系轉化意識的建立，因此這就是一個智慧生長的過程. 對于其他學生而言，這樣的情形就更多了.

總之，初中數學教學中利用問題的發現與解決，進而將問題解決作為數學教學的重要途徑，在促進學生數學知識建構的同時，可以讓學生的成長更具智慧性.