基于算術教學，滲透代數思維

王薇

摘 要：小學低年級數學教學要從數與計算的教學中創設機會，于算術教學中融入早期代數思想，幫助學生理解簡單的代數結構和代數關系，增強學生算術學習能力的同時發展他們的代數思維。

關鍵詞：小學數學；算數；代數思維

代數思維被認為是數學的“核心思想”而具有較為重要的地位。長期以來，小學數學的內容在思維方式上更多地傾向于算術思維，導致不同學段間算術教學與代數教學出現了人為的斷裂狀態。美國著名數學教育家基爾帕特里克認為：“代數不是延遲到掌握算術后，而是應該從開始學習算術起就在課程中呈現。”基于現狀，在實際教學中，我們可以從一年級開始的數與計算的教學中創設機會，于算術教學中融入早期代數思想，幫助學生理解簡單的代數結構和代數關系，增強學生算術學習能力的同時發展他們的代數思維，緩解學生因小學階段代數思維的訓練準備不足而造成的中學代數學習所出現的困難和障礙，為以后的代數學習奠定堅實的基礎。

一、基于生活經驗，理解等號的關系和性質

卡彭特等人認為：“由算術思維到代數思維的轉換標志之一是從等號的程序觀念到等號的關系觀念的轉變。”學生初次接觸等號是與大于號、小于號同時學習的，用來比較兩個數的大小關系，即作為一種關系引入的，最初是認識“等號的關系性質”。但在后續的運算學習中，等號用來連接算式和得數，“等號的程序性質”被關注，而關系性質被忽視。因此，在學生理解了“等號的程序性質”后，要選擇合適的契機，幫助學生深化對“等號的關系性質”的理解。

如一年級教材中有這樣的練習：

5=□+□ 5=□+□ 5=□+□

可以讓學生借助直觀形象的方式建立等號的關系觀念：

右邊怎樣擺才能平衡？選擇合適的圖片擺一擺、填一填（圖1）。

可將上面的六個方框制作成磁性圖片，讓學生到黑板上擺一擺。學生根據生活經驗發現左邊是5個小球，要讓兩邊平衡，右邊也要擺上5個小球才行，于是便有了三種擺法：0和5；1和4；2和3。根據每種擺法寫出相應的兩道算式：5=5+0，5=0+5，5=1+4，5=4+1，5=2+3，5=3+2。接著讓學生觀察并思考：這些算式和我們以前學習的算式有什么不同？學生發現以前學習的算式加號在等號的左邊，而這些算式加號在等號的右邊。啟發學生聯想玩蹺蹺板的經驗，等號兩邊加號和得數的位置不一樣，就像蹺蹺板上的兩個人，可以交換左邊和右邊的位置。交換后可以寫出以前的算式：5+0=5，0+5=5，1+4=5，4+1=5，2+3=5，3+2=5。最后讓學生觀察這兩組算式有什么相同的地方，學生發現，即使調換位置，兩邊還是相等的，所以中間都用等號連接。

借助熟悉的蹺蹺板的平衡概念建構相等關系，凸顯了“等號的關系性質”，之后將抽象出的兩組算式進行比較，將“等號的程序性質”向“等號的關系性質”進行了轉換，加深了對“等號關系性質”的理解。

二、遵循認知特點，感知代數關系和結構

代數思維的核心是由關系結構描述的，其目的是發現（一般化）關系，明確結構，并把它們連接起來。其中對代數關系和結構的深度理解是運用代數思維解決問題的基礎。在“早期代數思維”培養階段，只要求學生對隱藏的代數關系和結構有所感知、理解，能用自己的方式描述或表征，形成關系思維，并能應用其解決問題。基于低年級兒童的認知特點，可通過直觀操作比較、多樣化算法滲透等途徑幫助孩子感知和認識簡單的代數關系和結構。

1. 直觀化操作，滲透關系結構

教學“9加幾”時，讓學生用小棒擺一擺進行計算，發現可以采用“湊十法”：9+4，把4分成1和3，9和1湊成10，所以9+4=13。在教學例題和適當地鞏固練習后，可以引導學生關注關系與結構：計算9加幾，都是先加上1湊成一個10，然后在后面加數中減去1，加的1與減去的1剛好抵消，結果不變，即（9+1）+（4-1）=9+4。在教學9+5，9+6等其他算式時進一步強化，并讓學生進行表達，凸顯隱含的代數關系和結構是：（a+c）+（b-c）=a+b。早期代數思維的培養應該成為小學階段計算教學的最終目標與歸宿，而“湊整”只是其中的某些技巧與應用。

教學“10的分與合”時，要求學生將10顆珠子有次序地涂一涂、分一分再填一填，發現10可以分成1和9、2和8、3和7、4和6、5和5。引導學生觀察比較：涂的數量增加幾顆，剩下的就減少幾顆，總個數才不變。雖然沒有用符號或字母表示同時增加和減少的“幾”，但學生在操作和比較中，加法算式的結構及其中數與數的關系也比較明顯了。

2. 多樣化算法，發展結構意識

一年級上冊有這樣的練習（圖2）：

題目中要解決的是“房子里還剩幾只鴿子”的問題，學生可能會根據部分與總體的關系，從對減法的理解想到：一共有10只鴿子，減去飛走的3只，等于房子里還剩的鴿子，10-3=7（只）；或一共10只鴿子，減去房子里還剩的鴿子，等于飛走的3只，10-（7）=3（只）；還可能從加法的意義想到：房子里還剩的鴿子加上飛走的3只，一共是10只鴿子，（7）+3=10（只）。這三種思路都是正確的，但后兩種思路則是方程思維方式的體現，看上去比第一種思路煩瑣，實質上意義深遠，不僅有助于學生對“一共”“飛走”“還剩”三者之間數量關系的整體把握，加深對數量關系的理解，更能滲透用（ ）表示未知數并參與運算的意識。引導學生由程序性的算法10-3=7，逐漸向10-（ ）=3，（ ）+3=10這樣的關系性算法轉變，正是算術思維向代數思維的轉變。在低年級解決實際問題教學中，借助較直觀的圖文信息理解多樣化的算法，將算術與代數方法并舉，可以幫助學生深度理解數量關系，發現兩種思維方式之間的異同，從而掌握更一般的代數方法，逐步發展學生的代數結構意識。

三、簡化語言描述，發展符號的表征能力

符號語言是代數中最重要的方面和特點。符號的理解與使用是進入代數思維的第一步，而符號背后的代數思想是代數思維最為重要的部分。對于低年級兒童，教師可以有意識地引導學生將用自然語言描述的數或數量關系用符號表示。

如根據游泳池上面有3人，里面有5人，一共有8人這樣一幅圖，可寫出兩道加法算式和兩道減法算式（一圖四式）：3+5=8，5+3=8，8-5=3，8-3=5。可以這樣滲透（課件演示）：如果用○表示泳池上面的人，用△表示泳池里的人，用□表示所有人，是否可以這樣表示：○+△=□，△+○=□，□-○=△，□-△=○。再讓學生思考：像這樣的等式還可以表示怎樣的四道算式？學生發現“一圖四式”都可以用這樣的等式表示。在這樣的認知過程中，學生不僅體驗了符號化的過程，更滲透了○、△、□表示的是一個變量，突出了三者之間的關系。

結合“認識乘法”，可進行這樣的滲透：2+2+2+2=（ ）×（ ），3+3+3+3+3=（ ）×（ ），5+5=（ ）×（ ），△+△+△=（ ）×（ ），通過用△表示相同的加數，并進一步思考△可以表示哪些數，形成乘法意義的一般化認識，滲透△表示的是一個變量。

在學習了加法算式及其驗算后，引導學生將“交換兩個加數的位置，和不變”的自然語言描述用符號語言予以簡化，比如可用△和○分別表示兩個相加的數，寫成“△+○=○+△”，體現了符號語言的概括性和一般化。在今后的使用和表達中淡化自然語言的描述，強化用符號化概括的規律，從而促進兒童變量思維的萌發，感受符號化表達的優勢。

早期代數視角下，算術教學必須“超越熟練掌握計算和流利的計算技巧，注意數學深層次的結構”；在教學中，教師應從低年級數與計算的教學開始，就根據學生的年齡特征和認知特點，有意識地采取相應的策略滲透代數意識，發展學生的早期代數思維，同時讓“代數地思考”成為一種思維習慣。