巧用類比?構建精彩

王文玲

【摘要】所謂類比，就是由兩個對象的某些相同或類似的性質，推斷出它們在其它性質上也有可能相同或相似的一種推理形式。類比法是中學數學教學中重要的方法之一，像許多概念、定理、公式、法則等都是通過類比得到的。從學生原有的知識經驗中生長新的知識經驗的過程實際上就是學生自主建構知識的過程。在《反比例函數（1）》一課的教學中，類比正比例函數與一次函數的概念，交流歸納反比例函數的概念，激活學生已有的學習經驗及方法去類比新的知識，從而高效的學習，讓學習真正的發生。

【關鍵詞】類比；概念教學；課例研究

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）34-0270-02

建構主義教學論認為：“應當把學習者原有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學習者從原有的只是經驗中，生長新的知識經驗。”初中數學是有前后相互聯系的整體結構，知識點連接比較緊密且呈螺旋上升。教師可以引導學生在舊知識的基礎上，進行類比學習，進而達到化難為易、事半功倍的效果。天文學家開普勒說：我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可依賴的老師，它揭示自然界的秘密，在數學中是不可忽視的。可見類比在數學教學中的重視，大部分數學教師在教學中，這種思想方法并沒有引起足夠的重視，大部分數學教師在教學中也只是形式上的類比，簡單一筆帶過，教學中將每一個知識點之間都割裂獨立上，其結果學生在初中階段沒有形成類比學習的能力，對高中的學習產生不利的影響。浙江教育出版社八年級下冊第六章《反比例函數（1）》通過體驗現實生活中的實際問題激發學生對數學的興趣與愿望，啟發學生將新函數與一次函數進行類比，使學生能輕松的得出新知。現將教材分析、教學過程、教學評價及教學思考與收獲呈現于大家，期待各位同仁的斧正。

一、教材分析

《反比例函數》是第6章反比例函數的第一節，是學好這一章的基礎，所以新知的建立與理解非常重要。從知識體系看，它是初中階段三大函數之一，區別于一次函數，但又建立在一次函數之上，本章內容的學習為以后更高層次函數的學習，以及函數、方程、不等式間的關系處理奠定了基礎，在數學學習中起著承上啟下的橋梁作用；從數學思想方法上看，本章蘊含類比、建模、轉化、方程等數學思想方法，對學生觀察問題、研究問題和解決問題都十分有益；從學生的角度看，本節課比較抽象，學生理解起來比較困難。因此，在學習反比例函數概念的過程中，啟發學生將新函數與正比例函數、一次函數進行類比學習，所以學習本節課的關鍵是處理新舊知識的聯系，盡可能的減少學生接受新知識的困難。這一節的重點是反比例函數的概念，教學的難點是理解反比例函數的概念，例題中涉及《科學》學科的知識，學生理解問題時有一定難度。根據課標要求，結合學生的具體情況，確定本節的教學目標是：1、從現實情境和已知經驗出發，討論兩個變量之間的相互關系，加深對函數概念的理解。經歷抽象反比例函數概念的過程，了解反比例函數的意義，理解反比例函數的概念。會求簡單實際問題中的反比例函數解析式；2、進一步提高探究問題，歸納問題的能力，能運用函數思想方法解決有關問題；3、通過已有知識經驗探索過程，體驗數學研究和發現過程，逐步培養學生在教學活動中主動探索的意識和合作交流的習慣，逐步增強用函數觀點思考的能力。

二、教學過程

（一）創設情境，梳理知識

原書中是探究北京到杭州火車的行駛時間和平均速度之間的關系以及質量是100g的金、銅、鐵、鋁四種金屬的體積與密度之間的關系，這樣得到反比例函數概念難度較大。考慮到學生接觸函數所蘊含的“變化與對應”思想至今已經半年有余，學生對函數相關的概念不可避免會有所遺忘或者生疏，所以以“菜市場買菜”這樣一個生活中的場景先回顧了正比例函數、一次函數以及函數的概念，在第三個問題中得到一個新的關系式，激發了學生的學習興趣。

【課堂實錄】

師：同學們在課余時間都去過菜市場嗎？在菜市場中也存在著許多數學問題呢，你們有思考過嗎？

在借助多媒體來播放菜市場的場面，并拋出第一個問題：

師：請問媽媽買2.6元/斤的番茄，買了w斤，那么所花費的錢x可以用什么來表示呢？

生1：x=2.6w。

師：非常好，那么有同學記得這是我們學過的什么方面的知識呢？

生2：正比例函數.

師：Good！那誰知道它的一般形式呢？

生3：y=kx。

師生交流后，教師板書正比例函數一般形式y=kx（k為常數且k≠0）

師：第二個問題：買了多樣果蔬花了36元，現在還想買8元/斤的豬肉y斤，請問花費錢的總數z應該怎么表示呢？

生4：z=36+8y。

師：不錯，那么有誰記得這是我們學過的什么方面的知識呢？

生5：一次函數，y=kx+b。

師生在此交流之后教師板書一次函數y=kx+b（k b為常數且k≠0）

師：那我們是如何學習一次函數，學習哪些知識點呢？

生：概念、圖像、性質、應用

教師板書：概念、圖像、性質、應用

然后再用體驗式教學，教師在課堂中對學生提出難度稍高的第三個問題：

師：現在買菜結束了，要回家了，倘若菜市場離家的距離為1000米，到家所用的時間為t，平均速度為v，那你能得出什么樣的關系式呢？

生6：vt=1000

師：非常好，有沒有同學有別的答案？

生7：

生8：

師：大家回答的都非常好，那么請問同學們，這個關系式是函數嗎？這與我們之前所學的關系式形式一樣嗎？這就是本節課我們要揭開的奧秘。

此環節通過師生互動，梳理了之前所學的一次函數和正比例函數的概念，又對新的關系式與之前所學的關系式進行了簡單的對比，為接下來通過類比的方法得出新知埋下伏筆。

（二）問題講解，傳授新知

創設情景時，比較貼近生活，學生能感受到生活中也處處存在上述關系式，使得反比例函數不再是抽象的數學書上的內容，但是純粹一個關系式不能概括出反比例函數的概念。書上的第一個探究與上面問題類似，故只選用第二個問題進行講解，這樣的處理既方便計算，又可以讓學生快速總結出v與p的數量關系。

【課堂實錄】

探究：測量質量都是都是100g的金、銅、鐵、鋁四種金屬塊的體積v（cm?）的結果，ρ（g/cm?）表示金屬塊的密度.已知鋅的密度是7.14g/cm?，金的密度是19.30g/cm?。

師：那么ρ與v有什么關系呢？

生9：

師：上述兩個函數都具有的形式，一般地形如（k是常數，k≠0）的函數叫做反比例函數，x為自變量，k叫做反比例函數的比例系數。但是看x所在位置是分母，所以反比例函數的自變量x的值不能為零。（板書，k為常數且k≠0，x≠0）

此環節構建互動、和諧的課堂教學氛圍，使學生對反比例函數概念完成從感性體驗到理性認識的過渡，類比一次函數和正比例函數的概念，讓學生探索反比例函數的概念。學生在體驗探究的過程中，感受知識的形成過程，從而為知識的內化和正遷移創造了條件。但對于自變量x不能取0的說法是教師直接告知，而非學生從探究過程中發現，教師對于這一環節的處理欠妥，希望下次教學是可以改進。

（三）有效檢測，鞏固技能

通過式子的變形，讓學生抽象出反比例函數的一般形式，引導學生類比正比例函數的定義方法，得出反比例函數的概念。接下來PPT展示辨一辨中8個小題，這部分是對新知的運用，教師不應該節奏過快。

下列函數中哪些是關于x與y的反比例函數，并指出相應k的值？

（1）y=3x-1（2）（3）（4）

（5）（6）xy=3（7）（8）（s為常數，s≠0）

此環節在學生充分理解概念的前提下，教師和學生一起做習題，但對于習題的先后順序頗有爭議，對于第（3）題部分教師認為較難，應該放在后面，部分教師認為這是一般形式，學生應該可以接受。而對于xy=3和的設計大家都比較贊同，交流歸納出反比例函數的另外兩種形式，學生自主交流之后，師生一起歸納。

（四）拓展探究，實踐體驗

教材中的例題是物理學中的杠桿原理，通過此例讓學生感受用數學模式的變化來理解物理性質，是學生運用數學知識的能力上有一個提高。利用阿基米德的“撬動地球”的歷史故事，結合了學生的心理發展特點，很好的激發了學生對問題探究的興趣，于其讓學生“苦學”，不如讓學生“樂學”。創設一種欲罷不能的心理氛圍，從而使學生形成了問題探究的動機.進一步培養學生分析問題、解決問題的數學建模能力.

【課堂實錄】

例1、如圖，阻力為1000N，阻力臂長為5cm.設動力為y（N），動力臂為x（cm）

（1）求y關于x的函數表達式.這個函數是反比例函數嗎？如果是，請說出比例系數；

生14：xy=5000，比例系數為5000

師：好，但是現在要求是y關于x的函數表達式該怎么寫合適呢？

生14：

（2）求當x=50時，函數y的值，并說明這個值的實際意義；

生15：x=50時，y=100，實際意義是當x=50時，y=100。

師：這個實際意義欠缺，應該回答50表示什么，100表示什么？

生15：當動力臂長為50cm時，所需動力為100N。

（3）當x從50變化到500時，y的值如何變化？

生16：y從100變化到10。

師：x從50到500擴大了10倍，那么y呢？

生16：縮小了10倍。

師：應該說縮小到原來的。

（4）利用y關于x的函數表達式，說明當動力臂長擴大到原來的n（n>1）倍時，所需動力將怎樣變化？

生17：當動力臂擴大到原來的n倍，所需動力將縮小到原來的。

師生：當動力臂擴大到原來的n倍，所需動力將縮小到原來的，所以當動力臂無限擴大，那么動力就無限縮小。

此環節借助多媒體的教學輔助作用，使問題的出示顯得活潑、直觀，增強了問題的趣味性，從而更好的促使學生對問題的體驗、探究。

三、專家點評

本節課教師對教學內容與目標進行深刻研究，反比例函數一課是建立在學生已經學習一次函數和正比例函數相關問題的基礎上，讓學生先回顧了一次函數和正比例函數的基本形式以及函數的概念，通過貼近生活的例子的體驗式教學引出一個新的關系式，通過類比所學的函數，通過設疑不僅激發學生學習數學的興趣，還激起學生自主參與的積極性和主動性，為自主探究新知創造了條件并激發了積極的情感態度。再通過探究活動，師生互動，繼續體驗生活中經常會出現的函數問題，從而交流歸納出這個新函數的基本形式或者xy=k（k為常數且k≠0、x≠0）引出反比例函數的概念。本節課的教法設計能很好的結合學生心理發展的特點和規律。結合學生的認知水平和經驗，結合學生發展的能力要求真正確立“以人為本”的教學理念。學生的學習興趣低是我國初中數學教學中最大的難點，大部分學生認為數學不僅是一門枯燥的學科，而且還是一門抽象的、難度較高的學科，因此不少學生將學習數學看作一種任務，還有一部分學生在大量的題海中對數學產生了抵抗現象。這種現象造成很大原因歸根于我們的教師的教學方式。例如：學習反比例函數時，大部分教師先是講解反比例函數的概念，然后講解簡單的例題，再讓學生自己完成題目，這是最原始的教學方案，然而這種教學方式，只有少部分學生能完全掌握知識點，對于大部分學生來說，函數本身是一個抽象的公式，這種普通的講課方式，并不能讓學生完全理解講課內容。因此想要促進初中數學的教學水平，引發學生的學習興趣是關鍵，那就要求數學貼近生活，而如何幫助學生知識的遷移也是教師教學中需要做的，激活學生已有的經驗，研究方法，促進學生持續、高效的學習。

四、教學思考——立意深遠

筆者認為，在深意上，教師若能在培養學生運用類比法發現問題、提出問題、總結歸納能力，有助于學生數學素養的形成。

課后本備課組成員展開深層次分析，這節課是利用“先行組織者”，引導學生展開“類比——探究”的教學設計思路，其用意是要讓學生體會函數研究的基本過程，通過類比，先讓學生對本節的研究內容有一個整體認識，在后續研究中能夠“見木見林”給學生提供基本思想方法，立意是使學生明確數學中研究問題的“基本套路”，這種類比思想方法，在學完“三角形”后學習“四邊形”也存有借鑒，可以將三角形一章作為新的內容的“先行組織者”其作用是：搭建研究框架，引導思維方向，對培養學生的創新精神和實踐能力有積極意義。為了讓學生充分感悟由“一次函數”知識類比學習“反比例函數”知識，這節課需要對“一次函數”知識進行回顧，再由學生充分的自主學習研究獲得新知——反比例函數。這樣學生接受起來很輕松。這正如《義務教育數學課程標準（2011版）》中所提出的那樣：“數學教學活動必須建立在學生認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。”

對比的結果顯而易見的告訴我們：前一種教學僅僅是教師教學生知識，是授之以魚；后一種教學是真正意義上的學習，是教師授之以漁的方法。前者是量的積累，后者是質的提高。當學生從思維上，方法上有一定的積淀，研究習慣一旦形成，他們不但可以輕松掌握知識，關鍵是獲得研究數學問題的基本套路，這才是真正的能力，才是學習之后應該留下來的東西，教會學生類比學習的方法尤為重要。

參考文獻

[1]陸志強：《激活經驗 變構學程》中國數學教育 初中版2017年7-8月.

[2]周立志：《開放設問 變式探究 積累經驗》（教學研究）中學版2017年第六期.

[3]李杰：《初中數學課例研究與典型課評析》福建教育出版社2016年3月.