小學數(shù)學“起點型核心知識”教學初探

魏光明 王俊亮

摘要：科學選擇核心知識重組課程內容，優(yōu)化起點型核心知識教學，有利于降低學生學習強度，促進他們進行深度學習，提升以思維力為核心的關鍵能力，實現(xiàn)知識增長與智慧生長的平衡。起點型核心知識教學應堅持兒童先行、引悟結合、整體建構的原則，堅持慎重初教、寧慢勿快和深度對話，重視其原點性和延展性，促使其多次元接納、多節(jié)次繁殖、多向度生成和多領域融通。

關鍵詞：核心知識；邏輯關系；小學數(shù)學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2018）04A-0061-05

核心素養(yǎng)是核心知識、關鍵能力、必備品格和價值觀念的統(tǒng)一體。科學減少知識容量，緊扣核心知識（尤其是起點型核心知識）教學，引導學生探究和建構、理解和應用，有利于學生提升以思考力為核心的學習力，形成核心素養(yǎng)，獲得可持續(xù)發(fā)展。本文擬簡要闡述小學數(shù)學“起點型核心知識”的概念及其教學實踐。

一、小學數(shù)學起點型核心知識概念界定

我們常說的核心知識，是指那些適用范圍廣，自我生長和遷移能力強，明確的、結構性的、不可或缺的、處于基礎和中心地位的知識。核心知識具有內在邏輯的連貫性和一致性，具有很強的吸附、解釋、生長和應用功能。小學數(shù)學核心知識，概括起來說包括基本原理、基本關系、基本方法、基本問題四大方面。從數(shù)學整體看，核心知識是一些基本思想和基本方法；從四大領域看，核心知識是一些基本原理和基本關系；從知識序列來看，核心知識是一些知識發(fā)生發(fā)展過程中的起點、節(jié)點和拐點；從知識的某個段落來看，核心知識是一些基本問題。[1]

如果說核心知識是知識大廈的框架，起點型核心知識則是這座大廈的根基。小學數(shù)學起點型核心知識是指那些處于某個知識領域、某個知識序列、某個知識段落或者某個教學單元起點位置的核心知識，是具有相對意義的原點性知識，是一些重要的“先行組織者”，是知識中的“干細胞”，在基本思想、基本方法、基本原理、基本關系、基本問題上指向這些內容的初次集中教學，具有多次元的基礎性、多節(jié)次的關聯(lián)性、多向度的生成性、多領域的融通性。

二、基于邏輯關系確定起點型核心知識

在眾多知識中，準確遴選起點型核心知識是有效教學的前提。我們可以通過繪制知識之間的邏輯關系圖，分析和篩選其中的核心知識，確定處于起點位置的核心知識。限于篇幅，本文選擇小學數(shù)學知識之間三種邏輯關系進行分析，以探討確定起點型核心知識的方法。

（一）基于綱目關系確定起點型核心知識

知識之間的綱目關系，是指知識沿著一條主線（綱線）生長，在主線的每一個節(jié)點下，又按照大致一致的結構排列知識點。綱目式的知識生長，是一種順生長，即數(shù)學知識點沿著起點型核心知識打下的基礎，一般按照從左往右、從上到下的自然順序建構。在這樣的關系中，最左上角的核心知識一般是起點型核心知識。比如，乘法意義即是整數(shù)乘法板塊的起點型核心知識。

（二）基于包含關系確定起點型核心知識

知識之間的包含關系，就是數(shù)學所說的從屬關系，知識點之間存在上下位的關系。圖1所示的“數(shù)系”知識點之間的關系，就是典型的包含關系。學生在建構類似數(shù)系知識這樣的結構體系時，通常采用的是一種逆生長的知識生長方法，即從一個最末端的知識點出發(fā)，溯源而上，逐步逼近上位知識點的生長方法。這個認識過程實際上也是人類對數(shù)系的認識史。a—l表示的是學生對數(shù)系概念逐步逆流建構的順序。在這樣的關系中，最先學習的核心知識點即是起點型核心知識。

（三）基于交叉關系確定起點型核心知識

在一些相關聯(lián)的知識點之間，它們相互衍生，彼此之間形成相互交匯融合的知識衍生、轉化關系，我們稱之為知識之間的交叉關系。交叉關系的核心知識是一種多次生長關系。在這樣的關系中，處于起始位置的核心知識點一般是起點型核心知識。

三、起點型核心知識教學原則、策略和基本要求

教學中，我們應遵循基本的教學原則，采用合理的教學策略，明確清晰的教學要求，著力提高起點型核心知識的教學實效。

（一）起點型核心知識教學的主要原則

一是要堅持兒童先行，讓兒童的學習先于教師的傳授，兒童想法的表達先于成人想法的表達，利于教師及時關注學生全員參與的深入程度和教學反饋的覆蓋范圍，了解學生真實的學習困難和快樂，洞察錯誤背后的迷思與誤解；二是要堅持引悟結合，鼓勵并引導兒童主動地進行同化或順應，創(chuàng)造性地把新學知識與已有經驗建立關聯(lián)，讓知識具有個人意義，進而創(chuàng)造性地解決實際問題，形成創(chuàng)造性的經驗和智慧；三是要堅持整體建構，深度發(fā)掘起點型核心知識的內核、整體結構和豐富內涵，長線設計并研發(fā)有助于整體思考的學習素材、整體互動的學習場景，使兒童形成對知識的深刻理解，建構起有生命力的、可遷移的知識，進而悟得數(shù)學課程的知識體系和學科思想。

（二）起點型核心知識教學的基本策略

一要堅持慎重初教，把教材與學生都吃透，遵循“刻板印象”的原理，在首次教學中讓學生獲得正確的知識、有效的方法、合理的策略，以保證在后續(xù)教與學的過程中能夠順利建構新知識。二要堅持寧慢勿快，密切關注學情，遇到困難，要耐心尋找突破口，寧可犧牲教學進度，也不強行灌輸，寧可完不成教學任務，也要讓學生把該學的知識理解到位，力求夯實基礎與提升素養(yǎng)并重，引領學生充分經歷數(shù)學知識的形成與應用過程。三要堅持深度對話，要打破點對點、單向、線性的對話方式，擴大話語圈，了解兒童的隱性學情，傾聽兒童的真實內心，從而及時地把圈外的兒童和認知的誤解拉入到話語圈中來。要讓藏在兒童思想深處的數(shù)學誤解或迷思得以顯現(xiàn)、澄清和消除，改變兒童被動、消極的學習狀態(tài)，放飛他們的思維，舒展他們的心靈。

（三）起點型核心知識教學的基本要求

1.重視起點型核心知識的原點性

起點型核心知識是一些具有“干細胞”性質的知識，可以不斷生長出與之關聯(lián)的新知識。重視其原點性需要注意三點：第一，起點數(shù)學概念要強調本質內涵。比如，初學平行四邊形，要突出其對邊“平行”，由平行衍生出來的對邊相等、對角相等則要淡化。第二，起點數(shù)學技能要強調共性通法。比如測量，測長度、測面積、測體積、測角度，其共性通法是用基本單位逐一去量。學生第一次學習用厘米去量物體邊或線段的長度時，要強調幾厘米長的物體邊或線段有幾個1厘米那么長，后續(xù)學習用1平方厘米、1平方分米等面積單位去測量物體表面或平面圖形的面積，學生就有了方法論的基礎。第三，起點數(shù)學方法要強調普遍規(guī)則。比如，一年級學生初次接觸分類方法，教師可以通過提問“我們?yōu)槭裁窗堰@些東西放在左邊，把另外一些東西放在右邊呢”，引導學生感悟、發(fā)現(xiàn)分類的標準或規(guī)則，即“一類是文具，另一類是水果”，進而弄清分類不是把物體隨意放在一起，需要強調其相同屬性。

2.重視起點型核心知識的延展性

由于各種原因，學生并不能很好地建構或接受某些起點型核心知識，這就需要我們對其進行延伸與拓展性教學，對其進行進一步的激活與喚醒，進行必要補充與豐富，幫助學生對其進行“固著”與“完善”，使后續(xù)教學更為順暢有效。同時，延展性教學最大的意義在于，在豐富的數(shù)學背景中讓學生體會起點型核心知識在“變化”中保持著本質內涵的“不變”。延展性教學要突出三個舉措：第一，思路上要突出拓展延伸。如，可以通過將圓轉化為新的圖形，比如平行四邊形、梯形、三角形，進而從新的視角推導出圓的面積計算公式。具體操作時，可以適度降低難度，為學生準備好畫有等分線的圓，及時將學生引向這一內容教學的最近發(fā)展區(qū)域。第二，內容上突出思想領悟。比如，圓的面積計算方法的探求，本質上是讓學生知曉、領悟和掌握探索陌生知識時，可以將陌生的內容，即圓的面積計算，轉化為他們熟悉的相關平面圖形的面積計算。在學生了解多種“轉化”思路，發(fā)現(xiàn)圓可以轉化成長方形、平行四邊形、梯形、三角形，雖然拼成的圖形不同，但都是化陌生為熟悉。比較這些殊途同歸的思路，學生對知識體系中平面圖形面積計算的理解會更為深刻，對轉化思想的領悟會更深一層。第三，形式上突出自主探究。還是以圓的面積計算為例，我們可以設計和組織探究活動，讓學生自主地剪、拼、觀察、比較和推理，按照各自不同的轉化方向，推導出圓的面積計算公式。在此基礎上，引導學生再次進行比較，他們會發(fā)現(xiàn)轉化成的圖形雖然不同，但是推導出的圓的面積計算公式完全一樣。這樣的學習過程，既提高了知識建構的效度，又滲透了“不完全歸納”的數(shù)學思想，有利于提高學生自主探究的能力。

四、起點型核心知識的獨特價值

作為知識框架的承重點與生長點，起點型核心知識在學生知識體系建構中具有獨特的價值。

（一）起點型核心知識具有原點生發(fā)價值

起點型核心知識作為干細胞式的知識，其首要的價值在于生發(fā)。浩瀚龐大的圖形與幾何知識體系，其源頭是一個小小的點，由點生發(fā)開去，聚點成線，移線成面，組面成體。如果說整個數(shù)學知識體系是一片廣闊的森林，那么它就是由一個個起點型核心知識生長出的一棵棵茂盛的知識樹組成的。起點型核心知識一方面生發(fā)出與之相關聯(lián)的知識體系，另一方面又作為其基礎，支撐著其他后續(xù)知識的生長。當學生理解和掌握了某一個起點型核心知識，就可以沿著這個知識點的內涵與外延派生出去，形成一個知識序列；當學生理解和掌握多個起點型核心知識，還可以在眾多的知識點的交叉處生發(fā)出新的知識體系。值得關注的是，當學生學習遭遇困難時，可以回到起點型核心知識這個知識生發(fā)點，尋找知識、技能、方法突破的腳手架。

（二）起點型核心知識具有立體樞紐價值

隨著知識的不斷豐富，學生會逐步建構屬于自己的數(shù)學知識體系。如果把數(shù)學知識體系看成是一個立體交叉的巨無霸路網(wǎng)，核心知識就是其中的主干通道，而起點型核心知識則是連接知識主干道與主干道之間，主干道與次主干道之間的樞紐。從這個意義上說，一個起點型核心知識建構得清晰明確，理解得深刻到位，運用得靈活巧妙，這個知識樞紐與其他知識點的連接就會暢通無阻，解決相關問題就能信手拈來。反之，如果某個起點型核心知識建構不實，概念模糊，方法不清，技能不熟，解決相關問題就會磕磕絆絆。加強起點型核心知識教學，保證知識樞紐的暢通，對于學生建構知識體系、后續(xù)學習邊緣交叉學科具有基礎性、決定性的作用。

（三）起點型核心知識具有多元引領價值

小學數(shù)學起點型核心知識的引領價值首先體現(xiàn)在知識層面。以“整數(shù)乘法”為例，乘法的意義對后續(xù)小數(shù)乘整數(shù)、分數(shù)乘整數(shù)等具有意義引領價值；兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計算對多位數(shù)乘法具有方法引領價值，學會了兩位數(shù)乘兩位數(shù)，后續(xù)學習多位數(shù)乘法就水到渠成。其次，引領價值體現(xiàn)在技能層面。以“測量”為例，二年級“用厘米量物體的長度”中“從0開始”“大刻度減小刻度”等方法，對后續(xù)教材以及生活中諸多測量內容都具有“原初”的引領價值。最后，引領價值還體現(xiàn)在思想方法層面。日本數(shù)學家米山國藏說過：“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年可能就忘了，深深銘記在頭腦中的唯有數(shù)學的精神、數(shù)學的思想、研究方法和著眼點等。這些都隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益。”由此可見數(shù)學思想方法對于學生的成長與整個人生的重要意義。

五、起點型核心知識在知識體系建構中的作用

核心知識體系建構通常有四個步驟：一是建構核心概念，吸附知識“固著”。要反復地回到學習原點的核心概念，增強其吸附新知識的能量和生長力，為后續(xù)知識的學習提供生長點。二是搭建知識鏈條，引導知識聚集。引領學生將核心知識點連接起來，形成知識鏈條，促進知識遷移、理解、生長和聚集。三是形成知識群塊，激活知識聯(lián)系。引領學生將知識以數(shù)字的、符號的、圖表的等不同形式進行“多元聯(lián)系表示”，激活知識鏈條間的聯(lián)系，形成知識群、知識塊，促進知識多向吸附和生長。四是內化知識體系，實現(xiàn)知識生長。溝通知識群塊之間的聯(lián)系，并將外顯知識群塊內化為認知結構，使學生能夠依據(jù)知識之間的邏輯關系和遷移條件，將核心知識所承載的知識和技能自覺地從一種情境遷移到另一種情境，將新知識通過同化和順應自覺地納入原有的認知結構，形成新的更具吸附力和生長力的知識系統(tǒng)和認知結構。[2]

在知識體系建構的四個步驟中，起點型核心知識作為“干細胞”依次發(fā)揮了多次元接納、多節(jié)次繁殖、多向度生成和多領域融通作用。

（一）起點概念，多次元接納

起點型核心概念具有強大的解釋功能，能夠在豐富多樣的數(shù)學情境和生活情境中，發(fā)揮其統(tǒng)領作用，并在具體情境中生長出一個個知識接納點，接納多次元概念的吸附與固著，形成概念“吸附—固著—接納”的良性循環(huán)。在學生的學習過程中，一旦遇到合適的“最近發(fā)展區(qū)域”，起點型核心知識就會自然而然地吸附上去，自主生長，自動接納。此時，后續(xù)知識就會內化為學生知識體系的一部分，也就是我們所說的，知識為學生所理解和掌握了。

（二）枝式生長，多節(jié)次繁殖

知識并不是沿著單一方向生長的。起點型核心知識內涵的豐富性，會使其進行多向的遷移和生長，形成“簇狀”“丫狀”的“知識枝條”。這些知識枝條，一方面便于起點型核心知識與更多的知識、技能、思想方法接觸，產生更多的吸附、固著和接納，使得知識枝條在不斷繁殖中，或新生，或向上長，或在擴容中變得粗壯，不斷豐富和完善學生的知識結構；另一方面，也在與其他起始概念的接觸中，使得各個起點型核心知識內涵更豐滿，界限更清晰，意義更明確，支持學生深層次地理解和掌握知識點、知識鏈、知識枝條。

（三）網(wǎng)團發(fā)展，多向度生成

隨著更多的起點型核心知識的介入，知識枝條在基本思想、基本方法、基本原理、基本關系、基本問題的觀照影響下，相互間產生多向度的交匯聯(lián)結，會形成“網(wǎng)格狀知識團”。我們將其稱為知識網(wǎng)團，這是對前期研究中知識群塊概念的發(fā)展。知識網(wǎng)團的發(fā)展，是以豐富多樣、各自內涵清晰的起點型核心知識為內核，以知識枝條相互間多向度的交匯聯(lián)結為主要形式展開的。起點型核心知識作為內核，溝通了不同概念各自產生的知識枝條間的多個向度的聯(lián)系，這些概念也會因為吸納了新的內容而更為飽滿，知識網(wǎng)團則隨著知識點、知識枝條的生長而呈現(xiàn)整體“膨脹”，促進學生認知結構的不斷生長與完善。

（四）區(qū)域開放，多領域融通

在學生的知識體系中，知識點各自獨立而又相互作用，按照關系的緊密程度，會形成多個知識網(wǎng)團。這些知識網(wǎng)團既會獨立生長發(fā)展，又會把區(qū)域開放給其他知識網(wǎng)團，形成多領域互融式的發(fā)展。知識網(wǎng)團之間的領域互融，大致上會經過“浸潤—融通—形成新的知識特質”的過程。在這個過程中，起點型核心知識保證了不同概念各自原有內涵，又在新的知識特質中被賦予新的內涵增值，外延拓展，促進學生的知識體系不斷拓展，認識結構不斷完善。我們發(fā)現(xiàn)，當學生在某個知識序列沿著起點型核心知識的生長方向，學習后續(xù)的節(jié)點型、拐點型核心知識時主要運用并自覺豐富本網(wǎng)團知識，不同知識網(wǎng)團之間的干擾少，學生的學習成績通常會比較好。隨著知識網(wǎng)團間的聯(lián)系個數(shù)增加，聯(lián)系緊密度加大，因為起點型核心知識建構不足而出現(xiàn)的知識枝條上知識點的缺失、知識點之間關聯(lián)度降低等問題，會阻礙學生知識網(wǎng)團的協(xié)調同步發(fā)展，進而導致學生的學習成績下降。

六、起點型核心知識對比教學案例與簡單分析

貫穿小學數(shù)學核心知識教學研究始終的一個觀點是：由于各種原因，目前數(shù)學課程內容容量大，課堂教學密度高， 學生負擔過重，導致大量學生厭學。對此，我們積極響應《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》中“適度減少學科課程比重”的要求，倡導精選核心知識重組課程內容，凸顯“核心知識”尤其是起點型核心知識的引領與架構作用，探索深度參與、少教多學、減負增效的核心知識教學改革之路。下面，結合兩個核心知識的對比教學作簡要解讀。

對比教學一：“用量角器量角”

實驗班采用只有一圈刻度的量角器教學，對照班采用傳統(tǒng)的有兩圈刻度的量角器教學。實驗結果表明 ：只有一圈刻度的量角器，排除了內圈外圈的干擾，只需要把角的頂點和中心點重合，角的一條邊和量角器的0刻度線重合，就可以根據(jù)另一條邊指向量角器的刻度直接讀出角的度數(shù)。這樣的教學，突出了這一知識的內核，即“用角的計量單位去測量角的大小”，排除了干擾因素“根據(jù)角的開口特點，選擇不同的度量方法”，更有利于學生理解角的度量的實質，掌握角的度量方法，同時呼應先前學習的測量知識與方法，提高學習效果，改善學生學習的質態(tài)。[3]

對比教學二：“圓的周長計算”

執(zhí)教教師把全班分成知識基礎和思維能力大致相當?shù)娜M，讓實驗C組的學生將圓周率直接用π表示參與計算，實驗B組的學生將圓周率取3參與計算，對照A組的學生將圓周率取3.14參與計算。實驗數(shù)據(jù)表明：圓周率直接用π表示或者取近似值3參與計算，既不影響學生對圓周長概念的理解，也不影響學生對周長計算的方法的運用，卻明顯降低了學習強度，提高了周長計算的正確率。而圓周率取值3.14，由于計算繁瑣，錯誤率和出錯人數(shù)占比均很高。

結合其他對比教學，我們發(fā)現(xiàn)，準確分析起點型核心知識的內涵，剔除非本質的、細枝末節(jié)的干擾內容，可以實現(xiàn)減量不減質的目標。綜上所述，科學選擇和處理教學內容，精選起點型核心知識進行教學，有利于降低學生學習的強度，促進其進行深度學習，加深對教學內容的理解和掌握，提升以思維力為核心的關鍵能力，實現(xiàn)知識增長與智慧生長的平衡，提高教與學的實效。

參考文獻：

[1]魏光明.走近數(shù)學“核心知識”教學[J].江蘇教育，2011（1）.

[2]魏光明，王俊亮.基于小學數(shù)學核心知識教學的課堂實踐[J].江蘇第二師范學院學報，2014（2）.

[3]魏光明，劉正松.兒童數(shù)學，能否簡約一些？[J].人民教育， 2007（23）.

責任編輯：石萍

An Exploration of Primary School Mathematics Initial Core Knowledge Instruction

WEI Guang-ming & WANG Jun-liang

（Mochouhu Primary School， Nanjing 210017， China）

Abstract： Teachers should scientifically select the core knowledge to restructure curriculum contents and optimize the initial core knowledge instruction， which is conducive to lowering students intensity of learning， to promoting their deep learning， to strengthening the key ability centering on thinking， and to realizing the balance between knowledge increase and wisdom growth. Such teaching should stick to the principles of children priority， guiding and inspiring combination and holistic construction. Also， teaching should adhere to the principles of emphasizing initial teaching， appropriate speed of teaching， and deep dialogue. Meanwhile， teaching should pay attention to the initial point and extension to drive them to accept multiply， to reproduce in many nodes， to generate multi-dimensionally， and to integrate in different fields.

Key words： core knowledge； logic relation； primary school mathematics