巧用反例學習數學

黃建橋

【摘要】隨著《新課標》的推行，初中課堂上多樣化的教學方式得以呈現，為學生探索高效的學習方法，提高學習能力，鍛煉學習思維提供了很大的幫助。在初中數學課堂上，教師教學方法的選擇需要結合數學的教學性質與思維特點。反例教學成為當前廣受教師與學生喜愛的教學形式。文章對如何在初中數學教學中巧用反例方法提高教學效果進行了探討。

【關鍵詞】反例教學；初中數學；數學思維；創新能力

在初中數學教學課堂上，反例教學的重要性得到了越來越多教師與學生的認可。反例在數學教學中具有獨特的作用與地位，其應用的思維邏輯與數學學科的性質與思維的形成緊密相連，這很大程度上證實了初中數學教學應用反例的必要性，提高了學生數學思維的契合度。

一、反例教學簡述

從教育心理學的概念來看，反例是否定例證的一種類型，只要不屬于某一個概念類別的例子都是反例。教學中的反例，則是用來說明某一個命題不成立的例子，即判斷命題為假命題的例子。教師通常選用的反例，是建立在數學學科自身知識體系與邏輯基礎之上的，具有反例所必須的意義與作用。所以在應用過程中，反例的選擇可以針對數學的概念、定理、原理和法則進行一般意義的指定，也包含了對命題否定的反例。

二、反例教學在初中數學教學中的實踐應用

（一）運用反例，加深理解，培養數學思維

初中數學與小學數學之間有著較大的跨度，尤其是理論知識上出現了更多抽象的思維，一些小學數學基礎不牢固的學生進入初中后很容易在數學學習上受到困擾。而數學課本中很多例題的解讀都由正面論述，學生容易出現表面理解、模糊不清的錯誤認識。靈活巧妙地應用反例進行教學往往能讓學生及時獲得新的感悟，達到事半功倍的教學效果。如初中的理論知識是不少學生難以逾越的坎，概念與公式是組成理論知識的基礎，學生會將諸多的概念公式混淆，而一旦基礎性的知識理解錯誤，就會影響后續知識的學習，難以形成全面正確的數學知識架構。這時，巧用反面的論證與講述，能夠消除一些先入為主的模糊認識，引導學生從多個角度進行思考。值得注意的是，教師在引用反例時要充分考慮到學生的心理特征以及具體知識架構的邏輯性，才能確定反例應用的可行性與合理性。

比如在學習有理數和無理數的相關概念時，教師可以先讓學生探討“兩個無理數的差與和是不是無理數”的問題，無論學生給出“是”或“不是”的答案，教師都要求學生采用反例的方式來論證或推翻，最終學生不但能輕而易舉地得出“互為相反數的兩個無理數和為有理數”的結論，還能逐漸養成在練習過程中舉一反三地反例求實的習慣。在此基礎上，教師可以進一步提問：兩個有理數的和或差是不是有理數？那么兩個無理數的乘積呢？一個無理數和一個有理數的和與乘積結果又是怎樣？這些問題逐層深入，學生從最初最簡單的問題著手利用反例思維驗證，得出新的結論，而新的結論又是下一問題的反例，多次練習能訓練學生的思維邏輯性。

再比如學習一元一次方程時，教師特意為學生舉出各種方

程式來進行反例的陳列，并盡可能聯系以前學習的舊知識點幫

助學生鞏固整個知識體系。如，要判斷其是否屬于

一元一次方程，那么首先就要明確等式左右兩邊是否為整式，這就要引入整式的概念進行復習，其次還要看整個式子是不是只有一個未知數，然后看未知數的最高次數是否為1。學生依次根據這些流程進行反向判斷后就能推斷證實是否為一元一次方程。這個過程實際上能幫助學生理清相似的知識點，鞏固以前所學的知識，而思考的同時又會通過反例的思維與內容和題目進行對照，加強各個知識點之間的聯系，更能形成數學思維。

（二）運用反例，發現問題，拓寬思維全面性

數學本身的嚴謹性決定了學習數學的過程中運用數學思維也必須縝密。反例教學與反例思維的應用無疑能帶給學生最明顯直觀且最有說服力的解題過程。在應用反例進行思考的訓練中，教師需要有針對性地選擇更多典型的知識問題，通過創設情境等方式來為學生構建反例情境，讓學生從中發現問題，解決問題，強化學生的獨立思考能力。從教師教學的角度來看，在應用反例時要注意重點將問題產生的過程和反例構建的過程進行全面展示，這樣才能吸引學生的注意力并促使其積極參與其中。此外，還要引導學生從反例應用后得出的線索中延伸出去，在反例形成與論證的過程中注重推理的過程。只有這樣，學生才能在原有的認知和思考水平上得到進一步的提升，并循序漸進地探索數學規律，逐漸完善自我思維的全面性。

比如不少學生容易混淆有關三角函數的對應度數值，如，。這時教師就可以巧用反例教學的方式幫助學生分析易混淆的知識點，加入反例的論證，再借助相應的三角函數圖像進行輔助解說。這樣，學生對于三角函數的概念理解就能進一步深化，并在推算的過程中逐漸認清產生混淆的原因，從而形成正確的認識。

（三）運用反例，發展思維，提高創新能力

運用反例其本身就是幫助學生體驗猜想、實驗與推理的過程，是一項具有多種思維活動的創造性、綜合性學習，能夠培養學生的創新精神。而教師設置的問題情境往往能讓學生在不同的題型中感受到新的樂趣，激發學生數學學習的興趣。

比如教師布置一道判斷題：“對角線垂直且相等的四邊形是正方形嗎？”學生很容易就想到用菱形的反例進行推翻。在此基礎上，教師再次要求學生判斷“對角線相等的四邊形是矩形嗎？”并且有意識地引導“等腰梯形或其他有不規則性質但是對角線卻相等的四邊形”。這個延續性的補充實際是對學生的干擾，也是幫助學生換角度思考。而學生這時的思維則能延續前一題的邏輯，同時又能自覺地思考兩道題是否能通過同一種思維方式進行驗證與解答。這樣不但很好地發展了學生的思維，又培養了學生的創新能力。教師讓學生自行擬題，自己進行反例論證，能夠收獲意想不到的教學效果。

三、結束語

綜上所述，初中數學的邏輯思維與反例教學的應用有著高度的契合性，這也使反例教學成為適合數學教學和學習的有效方法。教師在進行反例教學時，還要進行深入的研究與探索，挖掘更多反例教學的新方法與新模式，幫助學生養成主動發現問題、解決問題的習慣，從而深入理解數學知識，培養數學思維和創造力，全面提高數學學習效率。

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