非線性動力系統混沌同步動力學問題

董俊 張爽 張廣軍

摘 要：分岔、混沌等特性是現代非線性科學研究的重點問題，在自然科學與工程應用中具有普遍的意義。揭示一類非線性動力系統的動力學行為機理和規律具有迫切、重大的需求。近年來在此方面開展了許多相應的研究工作，例如生物神經元放電節律、混沌同步、混沌控制等。本文主要闡述近年來對混沌同步方面的研究進展，對混沌同步的研究不僅僅是一個應用問題，而是從工程應用的角度來研究混沌理論及控制問題，研究結果有利于促進人們對混沌同步控制的理解。最后總結研究進展的內容并提出對非線性同步動力學今后研究的展望。

關鍵詞：非線性系統 分數階 混沌 同步

中圖分類號：O41 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）12（c）-0248-03

Abstract：The bifurcation and chaos etc. phenomena are the key problems of modern nonlinear scientific research， and are of more and more universal significance in natural science and Engineering. It is of exigent and momentous demand in natural science and Engineering to reveal the mechanism of various phenomena and various laws of dynamical behavior of a certain kind of nonlinear dynamical system， though many efforts have been made， for example， the firing rhythm of neuron in neural system and chaos synchronization， etc. This paper mainly focuses on recent advances of chaos synchronization in nonlinear system. The research on chaotic synchronization is not only an application problem， but also the theoretical analysis problem on the chaotic theory and chaotic control from practical application. And the results of research can deepen more the cognition to chaotic control and information processing. Finally， conclusion is drawn and some outlooks of future research are suggested.

Key Words： Nonlinear system；Fractional-order；Chaos；Synchronization

當今，非線性動力學是自然學科中一門重要的前沿學科，它是在各門分支學科的基礎上以非線性為特征逐步發展起來的綜合性學科，旨在揭示非線性動力系統的共同性質、基本特征和運動規律[1]。隨著近代科學技術的迅速發展，非線性相關理論已經融入到了數理科學、生命科學、空間科學等諸多學科領域，無論是在物理、力學、化學領域中，還是在生物和工程等領域中都普遍存在著許多非線性動力系統[2-3]。動力系統總是含有各種各樣的非線性因素，諸如機械系統中的間隙、干摩擦，結構系統中的材料彈塑性、構件大變形、流體-結構耦合作用，控制系統中的元器件飽和特性、控制策略非線性等等。通常情況下，將非線性動力方程簡化為線性近似方程去求解。然而，非線性方程在大多數情形下不存在封閉形式的解析解，且線性化方法有很大的局限性，在許多情況下，不能準確反映非線性方程的本質特性。因此，有待尋求解決非線性力學問題的有效方法。

自19世紀末20世紀初，伴隨著第二次工業革命前進的步伐，非線性動力系統理論研究逐漸興起，Poincaré、Laypunov、Birkhoff、Andronov、Arnold、VK. Melnikov、Smale、Lorenz等一大批數學、物理學方面的科學家為非線性動力學理論研究奠定了夯實基礎。20世紀60年代以來，隨著計算機技術快速發展，人們對非線性問題進行大量的數值模擬，揭示了非線性動力學極其豐富的現象。各種現代數學、物理等理論的涌現為非線性問題的研究提供了強有力的理論工具。近年來，非線性動力學從廣度到深度都以空前的速度向前發展，與其他自然科學和工程技術中的非線性問題研究緊密結合，成為近代科學技術中重要的前沿領域[4-6]。其中，分岔、混沌、分形和孤立子是非線性動力系統運動普遍現象，內在規律極其豐富而復雜，需不斷深化完善，是當前非線性科學研究的重要課題。

1 混沌研究現狀

法國數學家、物理學家Poincaré在研究天體力學中的三體運動問題時，發現存在混沌現象。他發現三體在引力相互作用下能產生復雜的動力學特性，可以理解為確定性動力學方程的某些解具有不可預見性，也就是我們所說的混沌現象。1963年，Lorenz在《大氣科學》上發表了“確定性非周期流”一文[7]，真實報道了“對初始條件的敏感性”這一混沌的基本性態，即著名的“蝴蝶效應”。1971年，法國Ruelle和荷蘭Takens聯名發表了著名論文《論湍流的本質》，提出用混沌理論來描述湍流形成機理的新觀點[8]。1975年，李天巖和Yorke在《美國數學》上發表了“周期三意味著混沌”一文[9]，深刻地揭示了從有序到無序的演化過程。1977年，有關混沌理論的國際會議第一次在意大利召開，標志著混沌學的誕生。此后，在世界范圍內掀起了人們對混沌理論的認識和研究熱潮。目前雖然混沌研究非常蓬勃，但其理論還遠未成熟，其研究主要包括：產生混沌的機理和途徑；混沌的判據和統計特征；混沌吸引子的吸引域的幾何結構；混沌的控制與應用等等。近年來，混沌控制理論在實際應用中已成為最具有挑戰性的研究課題之一。

2 混沌同步在非線性科學理論研究概況

非線性動力系統應用研究已受到了科學與工程界越來越多的關注，例如混沌在生命科學、保密通信、信號檢測、分析和處理、信息處理等領域的應用。混沌信息在處理中扮演著重要的角色，而混沌保密通信的關鍵技術是混沌同步控制，因此混沌同步控制理論研究具有非常重要的理論意義。

2.1 整數階系統混沌同步控制

1990年，美國科學家Ott、Grebogi和Yorke[10]用參數小擾動法（即OGY法）成功地對混沌進行控制。同年，美國海軍實驗室的研究人員Pecora和Carrol首次在電路上實現了混沌同步，并成功用于保密通信中[11]，這一開創性工作引起了人們的極大興趣，推動了混沌同步的迅速發展。隨后相關學者從不同的角度實現了非線性系統的混沌同步，如完全同步、廣義同步、投影同步、反相同步[12-13]等等。例如，2005年，嚴建平和李常品研究了廣義投影同步[14]，利用主動控制方法，構造非線性反饋控制器，分別實現了Lorenz系統和Chen系統的廣義投影同步。2007年，李國輝教授[15]在此基礎上進行了改進，使得驅動系統與響應系統的所有對應狀態變量可以按照不同的比例因子投影同步。2011年，阿布都熱合曼·卡的爾[16]等采用全狀態混合投影自適應同步和主動控制同步兩種方法，實現了系統參數已知時統一超混沌系統投影同步問題；同年，李震波[17]等通過引進特殊矩陣并基于Lyapunov穩定性理論，提出了一種改進的主動控制法來實現混沌系統的廣義投影同步，與以往的主動控制相比，簡化了相關運算步驟和復雜度。之后，李農[18]提出一種實現混沌系統投影同步的統一方法，通過構建一個廣義矩陣和一個合適的響應系統，建立了混沌投影同步的通用模型，將各種投影同步方法表達為混沌系統的統一投影同步，該方法具有普適性好、實用性強等特點。可見，對此類混沌現象的產生機理及其應用前景的研究，將成為混沌系統同步研究的一個嶄新分支。

2.2 分數階系統混沌同步控制

在整數階混沌系統發展的基礎上，人們通過大量研究發現：整數階微積分是分數階微積分的特例，整數階混沌系統都是對實際混沌系統的理想化處理[19-25]。若將分數階微分算子引入到混沌系統中，則分數階系統仍然能產生復雜的動力學行為，具有非常強的隨機性和不可預測性。例如，當階次為2.7時，分數階Chua電路仍可以產生混沌吸引子[21]；當階次低于2時，非自治的Duffing系統仍然可以表現出混沌行為[22]。此外分數階Lorenz系統[23]、分數階Chen系統[24]、分數階Lü系統[25]等一系列分數階動力系統相繼被人們發現和研究。隨著分數階混沌系統同步控制在工程實踐中的應用，人們相繼提出了眾多的分數階混沌同步控制方法。2007年，張成芬[26]研究了分數階Liu混沌系統和統一混沌系統的動力學行為，利用主動控制方法實現了分數階Liu系統與分數階Lorenz系統及分數階Lü系統的異結構同步；2010年，周平[27]基于追蹤控制的思想，利用分數階系統穩定性理論，實現了分數階混沌系統與整數階混沌系統之間的混沌同步，給出了補償器和反饋控制器的選擇方法。2011年，孫寧[28]通過設計新型滑模控制器，應用主動控制原理和滑模控制原理，實現了新的分數階超混沌系統和分數階超混沌Chen系統的投影同步，該方法將分數階混沌同步擴展到超混沌系統；胡建兵[29]在此基礎上又提出了階次不等的分數階混沌系統同步問題，提出了一種將不等階分數階系統的同步問題轉化為等階的異結構同步問題，該性質對混沌保密通信具有一定的理論意義。在此基礎上，有學者進一步研究了參數均未知時的自適應同步及參數辨識問題，從而很好地解決了參數攝動問題，具有良好的魯棒性能。董俊等人[30]利用分數階系統穩定性理論和自適應控制方法，構造出相應的非線性控制器和未知參數的辨識規則，實現了參數不確定的三維分數階混沌系統與四維分數階超混沌系統之間的函數投影同步及參數辨識。

從上述報道中我們看到，混沌同步控制歷經十多年的研究，國內外學者雖然已經提出了很多混沌同步的理論方法，并已成功地應用工程實踐。但是由于非線性理論的復雜性及不確定性，而且該領域的研究還在快速發展之中，很多問題仍有待于進一步探討；而且國際上對分數階動力系統的研究仍然處于起步階段。

3 結語

當今處于“互聯網+信息”時代，非線性動力系統混沌同步控制應用于保密通信中，必將在信息安全和通信對抗中扮演重要的角色。本文介紹了我們近年來對混沌同步控制方面的研究進展。首先，介紹了整數階系統的同步控制問題，給出了適當的控制方法。然后，介紹了將整數階混沌同步推廣至分數階系統，針對一類分數階混沌系統的同步問題進行了相關的研究。作者進一步研究了參數均未知時分數階異結構超混沌系統的自適應函數投影同步及參數辨識問題，該方法為多種整數階混沌同步方法應用于分數階混沌系統奠定了理論基礎，很好地解決了參數攝動問題，具有良好的魯棒性能。我們期待這些研究能夠對現實混沌保密通信方案的應用提供理論指導。

由于非線性動力系統呈現非常復雜的動力學特性，探索復雜非線性動力系統混沌同步控制的物理機制仍然比較欠缺。大多數學者們已意識到，非線性動力系統的分數階微積分理論與經典的整數階微積分理論相比理論更復雜，非線性動力學的重要定理和方法還沒有推廣到分數階非線性動力系統中，相關理論有待于進一步研究。目前，在非線性動力系統的混沌同步控制研究中尚存在一些難點，尤其在工程實際應用中，比如噪音在信息傳遞中的處理問題、保密通信中穩定性的平衡問題等，需進一步通過深入研究來逐步解決這些難點。

參考文獻

[1] 譚寧.耦合混沌同步系統中的篩形域及其在神經系統中的表現[D].西安交通大學，2003.

[2] Gleick J.Chaos：Making a New Science[M].New York：Viking Penguin Inc.，1988.

[3] 傅新楚.關于非線性與復雜性[M].上海：上海大學出版社，2004.

[4] Guckenheimer J，Holmes P.Nonlinear Oscillation，Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields[M].New York：Springer-Verlag，1983.

[5] Moon FC.Chaotic and Fractal Dynamics[M].New York：John Wiley&Sons;，1992.

[6] Wiggins S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos[M].New York：Springer-Verlag，1990.

[7] Lorenz EN.Deterministic nonpcriodic flow[J]. J. Astro. Sci，1963（20）：78-89.

[8] Ruelle D，Takens F.On The Nature of Turbulence[J].Commun.Math.Phys，1971（20）：167-192.

[9] Li TY， Yorke JA.Period Three Implies Chaos[J].American Mathematical Monthly，1975， 82（10）：985-992.

[10] Ott E，Grebogi C， Yorke JA.Controlling chaos[J].Physical Review Letters，1990，64（11）：1196-1199.

[11] Pecora LM，Carroll TL. Synchronization in chaotic systems[J].Physical Review Letters， 1990，64（8）：821-830.

[12] Kolarlarevl， Parlitzu. General approach for chaotic synchronization with application to communication[J].Physical review letters，1995， 74（25）：5028-5031.

[13] Mainieri R，Rehacek J.Projective synchronization in three-dimmensional chaotic systems[J].Phys. Rev.let.，1999，82（15）：3042-3045.

[14] Yan JP，Li CP.Generalized projective synchronization of a unified chaotic system[J].Chaos Solitons and Fractals，2005，26（4）：1119-1124.

[15] Li GH.Generalized projective synchronization between Lorenz system and Chen's system[J].Chaos，Solitons and Fractals，2007，32（4）：1454-1458.

[16] 阿布都熱合曼·卡的爾，王興元，趙玉章.統一混沌系統的投影同步[J].物理學報，2011，60（4）：88-92.

[17] 李震波，趙小山.基于改進的主動控制法實現混沌系統廣義投影同步[J].物理學報，2011，60（5）：113-120.

[18] 李農，李建芬.混沌系統的統一投影同步[J].物理學報， 2011，60（11）：158-164.

[19] 劉勇，謝勇.分數階FitzHugh-Nagumo模型神經元的動力學特性及其同步[J].物理學報，2010，59（3）：2147-2155.

[20] Dong J，Zhang GJ.Dynamic behavior analysis of fractional-order Hindmarsh-Rose neuronal model[J].Cognitive Neurodynamics，2013，7（5）：157-158.

[21] Hartley TT，Lorenzo CF，Qammer HK.Chaos In A Fractional Order Chuas System[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems I，1995，42（8）：485-490.

[22] Gao X，Yu JB.Chaos In The Fractional Order Periodically Forced Complex Duffings Oscillators.Chaos[J].Solitons&Fractals;，2005（24）：1097-1104.

[23] Grigorenko I，Grigorenko E.Chaotic Dynamics of the Fractional Lorenz System[J].Phys.Rev.Lett，2003，91：034101.

[24] Lu JG，Chen GR.A Note on the Fractional-Order Chen System[J].Chaos.Solitons&Fractals;， 2006（27）：685-688.

[25] Deng WH， Li CP. Chaos Synchronization of the Fractional Lü System[J].Physica A，2005， 353：61-72.

[26] 張成芬，高金峰，徐磊.分數階Liu系統與分數階統一系統中的混沌現象及二者的異結構同步[J].物理學報，2007， 56（9）：5124-5130.

[27] 周平，鄺菲.分數階混沌系統與整數階混沌系統之間的同步[J].物理學報，2010，59（10）：6851-6858.

[28] 孫寧，張化光，王智良.基于分數階滑模面控制的分數階超混沌系統的投影同步[J].物理學報，2011，60（5）：132-138.

[29] 胡建兵，肖建，趙靈冬.階次不等的分數階混沌系統同步[J].物理學報，2011，60（11）：181-184.

[30] 董俊，張廣軍，姚宏，等.基于自適應控制的分數階超混沌系統異結構函數投影同步及參數辨識[J].電子與信息學報，2013，35（6）：1371-1375.