自適應網格跟蹤微分器設計

徐秋坪, 常思江, 王中原

(南京理工大學能源與動力工程學院, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

跟蹤微分器(tracking differentiator, TD)[1]是由韓京清等人提出的對連續信號進行跟蹤并對其微分信號進行估計的數值算法。它具備良好的跟蹤性能和抗干擾能力, 已成功應用于控制器設計和信號處理。TD具有多種形式。文獻[2]中提出一種全程快速非線性TD,但跟蹤結果存在一定的顫振現象。為此,文獻[3]綜合線性TD和非線性TD的優點,提出了一種改進的非線性TD。文獻[4]詳細推導了離散系統真正的最速控制綜合函數,并指出fhan函數只是離散系統最速控制綜合函數的一種簡化。文獻[5-8]分別基于sigmoid函數、反正切函數、反雙曲正弦函數、雙曲正弦函數等設計了非線性TD。文獻[9]則利用雙曲正切函數和反雙曲正弦函數共同構造了二階非線性TD的加速度函數。文獻[10-11]對分數階TD進行了深入研究。文獻[12]對4種先進的TD設計技術:全局魯棒精確微分器[13]、混合連續非線性微分器[14]、魯棒精確一致收斂的任意階微分器[15]和基于泰勒級數展開的微分器[16]進行了對比分析。不同類型的TD的結構和參數調控的復雜性不同。考慮處理輸入信號的系統結構復雜性,本文則以二階離散形式TD[17]為研究基礎。對于此TD,針對不同的研究問題,不少學者也取得了一些成果。

針對TD濾波產生相位損失的情況,文獻[18]通過引入相位調節基因,提出了一種新的最優控制綜合函數,而傳統的離散最優TD是新的TD(當基因等于零時)的特例。文獻[19]研究了信號相位損失與TD各參數及輸入信號頻率之間的關系,并基于Lagrange插值理論,給出了近似的函數方程。考慮參數固定的TD在被跟蹤信號發生大幅度變化時跟蹤品質會產生退化的情況,文獻[20]提出了依據跟蹤信號與輸入信號的間距去控制速度因子的線性自適應函數,一定程度上提高了TD的跟蹤性能。但是當輸入被噪聲干擾時,輸出很容易引起大的振蕩。因此,文獻[21]利用sigmoid函數作為速率開關函數控制速度因子對上述TD進行了改進。該算法能抑制輸入信號低速變化時的振蕩,但仍存在一定程度的相位滯后。文獻[22]則同時考慮速度因子和濾波因子,提出了控制速度因子和濾波因子變化的概率函數。但是概率函數由跟蹤信號的微分來控制,一旦混雜噪聲則會影響其跟蹤性能。因此,文獻[23]做了進一步的研究,提出了將跟蹤間距的滑動窗口標準差估計作為輸入的自適應函數來調整濾波因子和速度因子的改進自適應TD。這些文獻都是圍繞輸入信號存在噪聲的情況下對TD的改進研究。

在工程實踐應用時,通常需要對離散輸入信號進行處理(比如軌跡優化時生成的離散舵機偏轉指令、飛行器規避飛行的離散障礙點信號等),以安排合理的過渡過程。若直接采用傳統的離散TD(尤其當離散輸入信號存在大幅度變化時),會產生較大的跟蹤誤差。對于傳統的離散TD,其控制參數為濾波因子和速度因子,在處理大幅度變化的離散輸入信號時,如何設置這兩個參數既能夠實現精確跟蹤又能保證無相位損失是一個值得研究的課題。針對上述問題,本文保持傳統的離散TD結構不變(避免引入較多的控制參數同時保障算法結構簡單),提出了一種基于自適應網格調節控制參數的TD。其思想為:首先根據任務要求的過渡過程時間將整個跟蹤過程分為兩個階段,上升段和穩定段;將濾波因子和速度因子擴張成二維網格,并引入預設步長和速度修正因子兩個變量來細化網格;根據跟蹤誤差是否滿足精度要求來判斷是否需要重新劃分網格。通過若干案例仿真表明,提出的自適應網格TD可有效地處理大幅度變化的離散輸入信號,既能夠滿足精度要求又能保障無相位損失,且對于連續信號的處理同樣具備此優點,可為TD的實際應用提供一定的參考價值。

1 問題描述

由韓京清教授提出的離散形式最速TD[2]為

(1)

式中,h為步長;v0為輸入信號;r,h0分別為速度因子和濾波因子,均為TD控制參數;輸入信號不需要濾波時則有h0=h;v1,v2為TD的兩個狀態,v1表征TD為v0安排的過渡過程,當v1近似于v0時,v2可視為輸入信號的微分。函數fhan(x1,x2,r0,h0)的具體形式如下:

(2)

式中,sign(x)為符號函數。

TD的性能主要通過調整速度因子r和濾波因子h0來調節。速度因子越大則系統的跟蹤速度越快,濾波因子越大則會增加相位損失。

(3)

表1 離散輸入信號

圖1 TD和ATD的跟蹤效果Fig.1 Tracking effects of TD and ATD

2 自適應網格跟蹤微分器

針對上述問題,本文在傳統的離散TD的基礎上,采用自適應網格方法調節參數h0和r,設計自適應網格跟蹤微分器(adaptive mesh tracking differentiator, AMTD)。其結構與TD相同,其輸出狀態仍用v1和v2表示。AMTD的主要思想為:將離散輸入信號劃分兩段(見圖2),前段使得輸出狀態v1在預設過渡過程時間Td附近無超調精確地跟蹤上輸入信號v0,后段則是在前段達到跟蹤精度要求之后才激活的,它使得TD的輸出能夠對輸入信號v0保持精確的穩態跟蹤,這樣有利于減小計算量。

圖2 離散點輸入的分段圖Fig.2 Subsection diagram of discrete inputs

在相鄰離散輸入信號之間劃分網格,設計TD參數。采用拉格朗日插值法求取所劃分的各網格點處的虛擬輸入信號,并代入TD計算各離散輸入信號點對應的跟蹤值并判斷其是否滿足設定的計算精度。若不滿足精度要求,則需進一步細化網格,調節參數,直到跟蹤精度滿足設計要求為止。具體的設計過程描述如下:

(1) 根據任務需求,預設過渡過程時間Td,將輸入信號分成了兩部分。第一部分為從初始時刻T0到Td后第一個離散輸入信號對應的時刻T1;第二部分為T1時刻到最后一個離散信號對應的時刻T2。

對于階躍信號,r與設定值的幅值v0,達到設定值的過渡過程時間Td之間的關系為

(4)

式中,v10為TD的狀態變量v1的初始值,一般為0。當輸入不是階躍信號時,若按照式(4)設定參數r,則實際的過渡過程時間和設定的Td值相差不大。因此,可利用式(4)描述的關系來設置參數r。引入速度修正因子k,則根據T1時刻的輸入信號yT1和預設Td可設計第一段的參數r1：

(5)

k的初始值為1。k=1表示對過渡過程時間無修正,k>1時說明增加了過渡過程時間,減小了r1;k<1時說明減小了過渡過程時間,增大了r1。

(2) 初劃網格。預設步長hp。若區間[ti,ti+1]的長度是hp的整數倍,則該區間被劃分成了(ti+1-ti)/hp個子區間;若區間[ti,ti+1]的長度不是hp的整數倍,那么該區間被劃分成了fix((ti+1-ti)/hp)個長度為hp的等距子區間和1個長度為hpl=ti+1-ti-hpni的子區間,其中fix(x) 為取整函數,如圖3所示。此種情況下,需將長度為hpl的子區間擴展成長度為hp的虛擬子區間,將增設的虛擬網格點的跟蹤值和區間[ti,ti+1]內最后一個網格點的跟蹤值進行插值,以求得ti+1時刻的離散輸入信號的跟蹤值。

圖3 網格劃分示意圖Fig.3 Division diagram of mesh points

(3) 采用拉格朗日插值算法求取區間[ti,ti+1]各網格點tii對應的虛擬輸入信號yii：

(6)

式中,yi,yi+1,yi+2分別為ti,ti+1,ti+2對應的輸入信號。若計算到最后一個離散區間時,則采用最后3個離散點信號進行插值計算。

(4) 判斷上升段跟蹤精度。將各網格點處的虛擬輸入信號和上述設置的參數代入式(1)計算。T1時刻的跟蹤誤差為

(7)

式中,vT1對應T1時刻TD的輸出狀態v1。

預設過渡過程精度ε1。若ΔT1≤ε1,則滿足計算精度;若ΔT1>ε1,則不滿足精度要求,需要進一步細化網格。

(5) 網格細化策略。為保證跟蹤的精度和快速性,將濾波因子和速度因子擴張成二維網格,通過預設步長hp和速度修正因子k來細化網格,進而調節h0和r。

預設步長細化度mp,它表征預設步長細化程度。當ΔT1>ε1,按如下規則細化預設步長:

hp,j+1=hp,j/mp

(8)

j表示細化次數,j=1時為初始設置的預設步長。mp值越大,預設步長越小,濾波因子網格越密。

預設速度因子修正度mk,表征k的修正程度,按如下規則細化速度修正因子:

kj+1=kj·(1+mk)

(9)

j=1時為初始設置的速度修正因子。取mk<0,則k呈指數減小,r的值呈指數增加。hp和k隨網格細化次數的變化如圖4所示。

網格細化策略如圖5所示。當ΔT1>ε1時,若此時的控制參數為hp,1,k1。首先細化一次濾波因子網格,同時保持k不變,則控制參數變為hp,2,k1,第一次計算ΔT1,若ΔT1≤ε1則滿足精度要求,進入下一步計算。若仍存在ΔT1>ε1,那么需細化一次速度因子網格,同時保持濾波因子網格細化前的預設步長hp不變,則控制參數變為hp,1,k2,再次計算ΔT1,若ΔT1≤ε1,則滿足精度要求,進入下一步計算。若仍存在ΔT1>ε1,那么需同時細化一次濾波因子網格和速度因子網格,即采用第一步單獨細化一次濾波因子網格得到的預設步長hp,2和第二步單獨細化一次速度因子網格得到的k2進行第三次計算ΔT1,若ΔT1≤ε1,則滿足精度要求,進入下一步計算。若仍存在ΔT1>ε1,那么以當前的參數hp,2,k2為基礎,按照上述步驟依次交替地細化網格,直到ΔT1滿足精度要求為止。

圖4 hp和k隨網格細化次數的變化規律Fig.4 Profiles of hp and k with the number of mesh refinement

圖5 網格細化策略Fig.5 Scheme of mesh refinement

(6) 若T1時刻vT1滿足預設的跟蹤精度(ΔT1≤ε1),則進入[T1,T2]段的穩態跟蹤。

為保障TD的一條很重要的性質:當v1很接近輸入信號v0時,v2可視為其微分,以及保障后續離散信號的跟蹤精度(尤其是在區間較短的相鄰離散點處輸入指令變化較大的時候),那么用設計的自適應網格TD計算[T1,T2]段的跟蹤值時,將采用各離散子區間[ti,ti+1]內自適應劃分網格的設計方式,這樣輸入信號各離散子區間的網格數可能是不同的。

預設Tdi表征[T1,T2]段的子區間[ti,ti+1]的過渡過程時間,則

(10)

ml可根據輸入信號特征進行設定,ml越大,則Tdi越小,即跟蹤速度越快。

v1i為ti時刻的輸出跟蹤值,yi+1為ti+1時刻的輸入信號,參照式(5)計算該區間的參數ri

(11)

ki初始值為1。設定參數h0等于預設步長hp。

(7) 判別[T1,T2]段內各離散點的精度。[T1,T2]段與[T0,T1]段的計算過程相似,網格細化策略相同。區別在于:[T1,T2]段需要對每一個離散信號的跟蹤誤差進行判定,只有當上一個離散點滿足跟蹤精度要求后才能進入下一個離散信號的計算。

預設[T1,T2]段內各離散點處的跟蹤誤差為Δi,則

(12)

預設預設跟蹤精度ε2。若ti+1時刻的跟蹤精度Δi+1>ε2,則對區間[ti,ti+1]將按照描述(5)的網格細化策略進一步交替地調節hpi和ki,重新計算Δi+1,直到滿足Δi+1≤ε2后才進入下一個離散區間[ti+1,ti+2]計算。

這種策略就不需要當某個離散點處的跟蹤精度不滿足要求時從頭開始重新計算,只需在對應的離散區間內進一步細化網格,可有效地減少計算量。

(8) 按照上述步驟,計算[T1,T2]段每個離散信號的跟蹤值,直到它們均滿足預設跟蹤精度為止。

上述自適應網格TD計算流程如圖6所示。

3 仿真分析

此小節通過若干案例來分析驗證所提出的AMTD的可行性和有效性,并通過與第1節提到的ATD進行對比分析來展示它的優越性。

3.1 離散點輸入信號的跟蹤效果

根據表1中離散輸入信號的特征,設置AMTD參數:hp=0.01 s,Td=14 s,ε1=0.003,ε2=0.001,mp=2,ml=10,mk=-0.08。仿真結果如圖7所示。顯然,與直接采用TD和ATD的仿真結果相比,采用本文設計的AMTD可以使得v1在規定的時間內快速、無超調、精確地跟蹤離散輸入信號yc。尤其是當輸入信號在末段存在短時間較大突變時,采用AMTD仍能夠使得各離散點處的v1在滿足設定的精度要求下跟上輸入信號。當v1精確跟蹤上輸入信號后,v2可視為輸入信號的微分。從圖7(c)和圖7(d)可以看出,第一段因初始跟蹤信號值較大,其網格細化程度較大,濾波因子網格細化了6次,速度因子網格細化了7次。中間部分可按照初始設定的hp和k實現精確跟蹤。當最后部分因輸入信號的突變,濾波因子和速度因子網格均需細化,突變的程度不同,網格細化次數也不同。

圖6 自適應網格TD計算流程圖Fig.6 Flowchart of adaptive mesh tracking differentiator

為進一步驗證本文AMTD的性能,下面將增補兩種離散點信號進行仿真。

圖7 離散信號的AMTD跟蹤效果Fig.7 Tracking effects of AMTD for discrete inputs

圖8 離散信號A的AMTD跟蹤效果Fig.8 AMTD tracking results for discrete signal A

圖9 離散信號B的AMTD跟蹤效果Fig.9 AMTD tracking results for discrete signal B

仿真結果表明:AMTD的跟蹤效果更好,滿足設定的精度要求。TD和ATD不僅跟蹤精度相對較差,且存在一定程度的相位延遲,而AMTD不存在相位延遲問題。此外,AMTD對離散輸入信號的微分估計最準確,從圖中可以看出,其v2幾乎和輸入信號的真實微分值相重合。因此,本文設計的AMTD不僅展現出了更為精確的跟蹤效果,能準確地提取輸入信號的微分,而且v1和v2均不存在相位延遲問題。

3.2 AMTD處理連續信號的性能

圖10 連續信號x1(t)的跟蹤效果對比Fig.10 Comparison of tracking effects of continuous signals x1(t)

圖11 連續信號x2(t)的跟蹤效果對比(h=0.002 s)Fig.11 Comparison of tracking effects of continuous signals x1(t), h=0.002 s

圖12 連續信號x2(t)的跟蹤效果對比(h=0.01 s)Fig.12 Comparison of tracking effects of continuous signals x1(t), h=0.01 s

4 結 論

考慮到采用傳統TD給存在大幅度變化的離散輸入信號安排過渡過程時,存在較大跟蹤誤差的問題,本文提出了一種AMTD。通過對離散輸入信號分段,并按照設定的網格細化策略依次對由濾波因子和速度因子擴張成的二維網格進行細化,直到跟蹤誤差滿足設定的精度要求為止。通過若干案例仿真驗證了本文提出的AMTD的可行性和有效性。該TD具備快速、準確、無超調的跟蹤性能,可有效地對大幅度變化的離散輸入信號安排合理的過渡過程,而且安排的過渡過程和提取的微分信號均不存在相位滯后。此外,該AMTD在處理連續信號時同樣具備這些優越的跟蹤性能,而且不受采樣步長的影響,具備更好的適應性。

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