讓導數教學散發數學的應用價值

彭國榮

【摘要】導數是高等數學的最基礎和重要的概念之一，不僅可以解決數學問題還可以解決物理、工程、技術、科研、國防、醫學、環保、經濟管理中的很多問題。本文通過典型的案例分析，介紹了導數在經濟學中的應用價值。有助于學生了解數學與現實生活和其他學科的密切聯系，了解導數在刻畫和解決實際問題中的作用，認識數學的應用價值。

【關鍵詞】應用價值 導數 實例 經濟學

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）12-0127-02

為培養應用型，創造型人才對高等數學教學也提出了新的期望和要求。高等數學教學應重視數學的應用價值，導數是高等數學最基礎和最重要的概念之一，是很好的體現數學應用價值的載體。本文挖掘導數在經濟學中的應用元素，讓導數教學散發出高等數學的應用價值，展現數學的文化魅力。

一、高等數學教學中散發數學應用價值的必要性

一直以來很多學生都覺得高等數學很枯燥乏味。經過調查，絕大部分學生認為數學與日常生活無關、公式很煩，他們覺得自己是被迫而學，他們基本上不知道學習數學的真正目的和用處。如果一個人做一件事情不知道為什么要去做，那么很難對此產生興趣的。因此，教師教學過程中較少涉及高等數學的實際應用價值，這極易影響學生對高等數學的全面認識，對高等數學產生偏見。因而，如何在高等數學教學中體現數學的應用價值是值得每個教師深思的問題。導數是高等數學最基礎的和重要概念之一，是很好的體現數學應用價值的載體，它是刻畫函數運動的一種重要的數學工具。在工程、技術、科研、國防、醫藥、環保、經濟管理等諸多領域有著非常廣泛的應用。導數及其應用是學習其它專業的重要工具，也是學習和研究現代科學技術的有力工具。有利于發展學生的數學運算能力和數學建模的能力。導數的學習，有助于學生認識數學與實際生活以及其他學科的緊密聯系，了解導數在刻畫和解決實際問題中的作用，認識數學的應用價值。

二、導數的定義與導數與經濟學知識的關系

1.導數的概念

設函數在的某鄰域內有定義，當自變量在處取得增量（點仍在該鄰域內）時，相應的函數取得增量；如果與之比當時極限存在，則稱函數在點處可導，并稱這個極限為在處的導數[1]，記為，即

2.導數的運算法則

四則運算法則：如果函數即在點都具有導數，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點外）都在具有導數[2]，且

復合函數求導法則：如果在點可導，而在點可導，則復合函數在點可導，其導數為。

3.導數與經濟知識的關系

數學的表象是數字和數字之間的運算和變化，其實質上是從自然事件和其普遍聯系中抽象出來的概念，任何事物所處的狀態、經歷的過程變化、事物與事物之間的聯系及其他的自然現象都可以用數學的概念、公式和算法表征出來。經濟學涉及很多公式和規律，這些公式和規律可以借助數學方法和數學語言表達出來。因此數學知識在經濟學中有著舉足輕重的作用，導數及導數的運算作為高等數學教學中的重點，在經濟學中也有著非常重要的作用。隨著教學改革的不斷推進，應用數學處理經濟問題的能力也成為考查學生學習水平重要方式之一。

三、導數在經濟學中的應用的實例分析

1.利用導數求邊際成本

邊際成本是成本對產量的變化率，設成本函數，為產量，邊際成本：。的意義是產量在水平的基礎上，產量每變化1個單位時，所引起的總成本的改變量為。

如：某廠某商品的成本函數，求當時的總成本、平均成本和邊際成本。

當時，總成本：，

平均成本函數：，

邊際成本函數：，則.

本題中邊際成本的的經濟學含義是當產量在20個單位的基礎上，再生產1個單位的產品，總成本增加2.5個單位，即生產第21個單位產品時，所需成本是2.5個單位。

2.利用導數求邊際收益

邊際收益是收益對銷量的變化率。若總收益對對向量的函數為，則邊際收益：.表示在銷量的基礎上，再多銷售1個單位產品所引起的收益增量為個單位。

如：已知某廠某商品的市場需求函數為，是產品的銷售價格，是市場需求量，求該商品的邊際收益函數，以及分別銷售150個單位、600個單位、750個單位的邊際收益。

總收益：

邊際收益：

本題的經濟學含義是當銷售為100件時，，說明增加銷量總收益會增加，而且多銷售一個單位，總收益會增加300個單位。當銷售為600個單位時；，說明此時銷售量是最佳銷售量，可以使總收益達到最大化，再增加銷量總收益不會增加；當銷售量為750個單位時，，說明此時增加銷售量，總收益會減少，再銷售一個單位，總收益減少100個單位。

3.利用導數求最大利潤

邊際利潤是收益對銷量的變化率。若總利潤對銷量的的函數為，邊際利潤。的意義是銷售量為時，再多小時一個單位產品引起的總利潤改變量為。

，于是取得最大值的必要條件是，即。

取得最大值的充分條件是，即，從而當銷量滿足且時，利潤達到最大化。

四、結語

導數可以應用在經濟學的方方面面，借助導數的定義和算法，不僅可以加深學生對相關經濟學概念、原理、規律的理解，而且可以更加深人的了解和掌握經濟學中關于變化的過程和狀態。在經濟教學中有針對性的滲透數學知識，不僅可以加深學生對經濟學概念的理解，而且也是將數學知識運動到生活中解決現實問題的重要實踐。素質教育的目標是培養能獨立思考、具有創新思維并會解決實際問題的復合型人才。因此，教師作為學生學習的引路人，要與時俱進，從學科之間的交叉關聯人手，積極思考、嘗試、創新多學科綜合教學方法，在引領學生獲得知識的同時，提升其創新思維和多學科綜合解決實際問題的能力。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2005.

課題項目：湖北民族學院教學研究一般項目《民族預科數學課程價值取向研究》編號：2017JY010。