應用逆向思維創新中學數學課堂教學

摘要：逆向思維是創新思維的特定表達方式，在中學數學課堂教學中，教師應鼓勵廣大學生針對相同數學問題從不同角度分析思考，本著求同存異，大膽革新科學態度，幫助學生應用逆向思維分析和解決問題，加強他們解決疑難雜癥能力，有效克服個別學生對數學認知恐懼感，從而培養學生創新意識和求知精神。

關鍵詞：課堂教學；逆向思維；創新精神；有效訓練

新課程改革已經實施多年，學生逐步成為課堂教學主角，教師也慢慢變成課堂教學輔導員，但這種角色轉變反而對教師要求越來越苛刻、嚴格，如何更好培養學生學習興趣，也成為擺在未來教育家面前研究課題，這就要求我們大膽創新，勇于實踐，積極轉變陳舊思維，廣泛汲取科學經驗和教訓，以加強學生發散思維能力為著力點，培養學生愛動腦、善動腦的好習慣，而逆向思維作為創新思維的特定表達方式，若能在課堂教學中應用，必將提升學生接受水平，對教師構建寬松、和諧、高效課堂也大有裨益。

一、 課堂教學實施逆向思維現狀

（一） 逆向思維研究的重要意義

所謂逆向思維，就是對一些俗語、成語或者公認的定義、道理進行反向推理，得出相反觀點。數學是鮮活的。而逆向思維作為數學催化劑，其特點主要體現在：分門別類進行探索研究，當某一想法停頓時，能夠準確有效地通過歸納推理遷移到另一種思路上，逐步形成逆向思維，從而幫助和指導同學們更好感悟、理解數學本源問題，提升數學核心素養。

（二） 阻礙學生逆向思維的表現

1. 缺乏顯而易見的逆向聯想

由于同學們在求學中，往往進行大量的題海訓練，忽視了逆向思維的發散，因而造成了片面的思維定式和不良的思考習慣。比如：“1，0，-1的立方根分別是”，學生回答非常輕松；但對“若一個實數的立方根是它本身，則這個數是”這一題，卻只有少數學生才能完全填對。像這些顯而易見的問題，在課堂教學中不勝枚舉，但學生解答起來卻很生疏。

2. 混淆重要定理的正逆關系

對于互逆數學命題，學生常把條件與結論搞混。比如在勾股定理逆定理的運用中就有這樣一個問題：在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么△ABC是直角三角形嗎？學生運用勾股定理，理由是因為AC2+ BC2= AB2，所以52+122=132，所以△ABC是直角三角形。但我們通過仔細回想，其實已經有“AC2+ BC2= AB2”，是直角三角形，還要“52+122=132”干什么呢？

3. 忽視正逆轉化的限制條件

我們在學習數學過程中，經常遇到利用限制條件解決問題的典型例題，如：已知a=b，則|a|=|b|；但反過來由|a|=|b|推出“a=b”就不全面了，遺漏了另一種情況“a=-b”。特別遇到有關逆向思維練習和反向限制條件，學生更是無從下手，如：當a時，|a-a2|=-2a；若（x-1）2=1-x，則x取值是等。

（三） 阻礙學生逆向思維的因素

從課堂表現看，教師在數學教學過程中，多采用“構造定理——推導定理——實際應用”三段模式，忽視了逆向思維生成與發散，導致學生很難快速準確調整到逆向思維的邏輯頻道上。

從思維邏輯看，從正向思維到逆向思維實質上經歷了將固有反向邏輯打散又重新拼接的過程。這種轉化容易給學生造成畏難情緒，所以兩種思維碰撞缺一不可。

從操作內容看，因為中學生邏輯思維正處于螺旋上升期，所以學生在解決問題時往往束手束腳；記憶和模仿還是主流，容易形成思維定勢，難以自拔和修正。

二、 如何在課堂教學中實施逆向思維訓練

研究表明，中學生在思維發展中表現出的能力、態度有明顯差異。能力較強的學生，可以通過自我創新和獨立探究逐漸形成逆向思維；能力適中的學生，形成逆向思維需要借助教師點撥；能力稍差的學生，形成逆向思維難度很大，對于這些學生還是應當將主要精力放在基礎知識上，抓住基本定義、定理，待鞏固后，教師再引導這部分學生進行有針對性的專項訓練，從而逐步地接受。那么，如何更好更快實施逆向思維訓練呢？

（一） 定義教學中的逆向思維訓練

數學命題逆命題常存在且為真。因此，學習一個基本概念，如果從逆向思維角度發散，學生不僅對概念理解得清楚直觀，而且能夠激發他們利用不同角度解決問題。如：在立體幾何講授中，應用逆向思維能夠使學生對涉及空間想象能力的邏輯思維有更深刻的了解。需要強調的是，教師雖反復強調某定理的逆命題不一定成立，但操作中如不強調可逆性，會導致學生對定義的使用含糊不清且雜亂無章，代數問題同樣如此，又如：已知1m2+1m-1=0，n4+n2-1=0，且1m≠n2，求mn2+1m的值。按照常規做法，同學們計算易得1m2+1m-1=0，（n2）2+n2-1=0，且1m≠n2，但若反向思考，可聯想到方程x2+x-1=0，1m、n2恰為方程兩不等實根，從而根據韋達定理知1m+n2=-1，即：原式=-1。

（二） 公式教學中的逆向思維訓練

許多數學公式在不同領域都有廣泛應用，然而很多學生對公式的理解尚且停留在表層上，對逆用，尤其是利用公式反向推理還很生疏。如果教師能夠有效指導學生靈活逆用公式，那么他們在解題時就能左右逢源，手到擒來，這里我強調兩點：第一、要特別關注公式的“組合”與“拆分”。如：a=（a）2，x-y=（x+y）（x-y），a2=|a|，（a±b）2=a2±2ab+b2等；第二、把逆用公式作為化簡、計算、代入、求值的必備良藥。如：已知a+b=1，求a3+3ab+b3的值。根據a+b=1，只需逆用立方和、完全平方公式，就得a3+3ab+b3=（a+b）（a2-ab+b2）+3ab=a2-ab+b2+3ab=（a+b）2=1。又如：計算1-1221-1321-142…1-1200421-120052。顯然，直接相乘并非明智之舉，根據各因式特點，將平方差公式逆用就可化難為易。原式=1-121+121-131+131-141+14…1-120041+120041-120051+12005=12×32×23×43×34×54×…×20032004×20052004×20042005×20062005=12×20062005=10032005。

（三） 運算律和運算法則中逆向思維應用

將逆向思維應用到同級運算，可以逐步形成互惠互利、相輔相成良性循環，如：利用相反數變減為加。特別在乘方運算中，這樣的例子更是數不勝數，如：已知xm=3，xn=7，求x3m-2n值。本題只需將同底數相除法則逆用便可得出結論，把原式轉化為=x3m÷x2n=（xm）3÷（xn）2=33÷72=2749。又如：已知a=355，b=444，c=533，比較a、b、c大小。通過應用逆向思維，原式可轉化為a=（35）11=24311，b=（44）11=25611，c=（53）11=12511，因為125<243<256。所以c

（四） 定理教學中的逆向思維訓練

教師需要在平時教學中不斷滲透、引導學生探究原定理及逆命題真假，這對學生自信心建立和興趣激發大有裨益。在教學中我遇到過類似數學問題，如設a、b、c滿足a2-bc-8a+7=0b2+c2+bc-6a+6=0，求a的取值范圍。本題初看無從下手，不過我們可逐步將原方程組變形得到b+c=±（a-1）bc=a2-8a+7， 再根據韋達定理逆定理，可知b、c為一元二次方程x2（a-1）x+a2-8a+7=0兩根，所以Δ=（a-1）2-4（a2-8a+7）=-3（a-1）（a-9）≥0，即1≤a≤9。

三、 逆向思維在中學數學課堂教學中施行辦法

許多同學在解題過程中，常會遇到種種困惑，正面突破沒有思路、無從下手，若從反向切入，往往會出現新的轉機。實施逆向思維訓練常采用以下兩種策略：

（一） “正”難則“反”

反證法是演繹推理和逆向思維代表，是“數學家常備武器”。若條件中出現“至少”或“至多”等邏輯聯結詞，或以否定形式給出，可用反證法，如：三個方程x2+4mx-4m+3=0，x2+（m-1）x+m2=0，x2+2mx-2m=0中至少一個方程有實根，求m的取值范圍。若從正面入手，情況繁雜，需要逐一討論。如果應用逆向思維，從反面假設“三個方程都無實數根”，再從全體實根中排除反面求得結論，便能輕松解決。假設三個方程均無實根，則16m2-4（-4m+3）<0（m-1）2-4m2<04m2+8m<0，即：-3213或m<-1-20，得-3-2。

（二） 以“退”為“進”

同學們往往想不到，將整式方程通過逆向思維訓練轉化成分式方程求解，也會產生出其不意的效果。如：解方程x4+x3-6x2-2x+4=0，其計算過程相當繁瑣。若兩邊同除x2，“退”至分式方程，以“退”為“進”，便迎刃而解。顯然x≠0，方程兩邊同除x2，得x2+x-6-2x+4x2=0，x2+4x2+x-2x-6=0，x-2x2+x-2x-2=0。所以x1=-1+3，x2=-1-3，x3=2，x4=-1。又如：探究5-32和3-63大小關系。通用解法是將分母有理化，但本題若將分子有理化，則更簡潔直觀、一目了然。因為5-32=15+3，3-63=13+6，所以5-32>3-63。

（三） 正反互換

逆向思維的獨特之處在于其創造性，我們再舉兩個互換正反條件的實例，如：方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一個實根，求實數a的取值范圍。通用解法，取x為主元，再對a進行分類討論，計算量可想而知，本題若設a為主元，會起到反客為主、立竿見影效果，原方程轉化為a2-（x2+2x）a+x3-1=0，[a-（x-1）][a-（x2+x+1）]=0，解得x=a+1或x2+x+1-a=0，因為原方程有且只有一個實根，所以方程x2+x+1-a=0無實根，通過Δ=1-4（1-a）<0，得到a<34。又如：方程a2x2-（3a2-8a）x+2a2-13a+15=0（a為非負整數），至少有一個整數根，則a=。原方程結構復雜，若反向思考，設a為主元，分類討論，將原方程變形為（x2-3x+2）a2+（8x-13）a+15=0。可得[（x-2）a+3][（x-1）a+5]=0，a=-3x-2或a=-5x-1，因為a為非負整數，x為整數根，所以當x=0時，a=5；當x=-4或x=-1時，a=1；當x=1時，a=3。

四、 逆向思維訓練的注意事項

逆向思維從建立、到培養、最終形成應始終遵循實事求是的科學原則。在中學數學課堂教學中，教師應側重培養學生逆向思維的速度和深度，杜絕填鴨式灌輸，不做無用功。教師應努力做到以下四點：首先，必須具備大量知識儲備和大膽創新意識；其次，要注意類比、演繹、歸納等邏輯推理的培養，播種良好習慣；再次，鼓勵有條件的學校針對基礎較好的學生進行變式教學；最后，量力而行，通過調研反饋考查學生對逆向思維訓練的接受程度和認知水平，不可操之過急，更不能喧賓奪主。教師應鼓勵并引領學生創新解題技巧，開拓解題思路，回歸數學本源，落實核心素養，構建高效課堂，學生學有所得、學有所成，讓逆向思維種子在中學數學課堂上萌芽、開花、結果。

參考文獻：

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[4]劉頓.方程中字母系數的求解思路.中學生理科月刊.

作者簡介：

吳滌，天津市，天津市小站第一中學。