淺析數(shù)學(xué)高考在解題方面的指導(dǎo)

摘要：著名數(shù)學(xué)大師波利亞說：學(xué)數(shù)學(xué)就意味著解題。數(shù)學(xué)教育中盛傳一句話：掌握一個好的解題方法比做一百道題更重要。可見學(xué)好數(shù)學(xué)解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位。我們首先應(yīng)該廣泛涉獵知識，然后在整理、歸納知識中形成數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而在運(yùn)用知識解決實(shí)際問題中捕獲靈感，探求方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；教學(xué)；解題研究

高考數(shù)學(xué)命題始終堅(jiān)持源于課本、高于課本這個基本原則，高考數(shù)學(xué)的命題者們努力地使用數(shù)學(xué)科目中最基本的原材料精心加工烹制出一道美味誘人的大餐，無論是全國卷或是地方卷。

我跟學(xué)生說：數(shù)學(xué)問題的解題技巧源自問題的特殊結(jié)構(gòu)。我們要學(xué)會觀察問題的結(jié)構(gòu)，然后聯(lián)想我們所學(xué)知識，技巧與方法就自然地形成了。因此，我向?qū)W生提出過一系列的解題理論如學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中的思維，我將它們劃分成固體思維（機(jī)械地死搬硬套型），氣體思維（不著邊際地胡思亂想型），液體思想（能根據(jù)問題特點(diǎn)調(diào)整思維解題型）。要弄清數(shù)學(xué)問題的因果聯(lián)系，努力探求方法縮短因果間的距離，按照問題的需要來決定運(yùn)算的走向，要讓數(shù)學(xué)解題中的思維像水一樣的自由的流動，要設(shè)法揣摩命題者的思想，提高解題效率，縮短解題周期。高考數(shù)學(xué)題大致分成知識型、運(yùn)算型、思維型、應(yīng)用型、能力型、創(chuàng)新型，不同類型的問題采用不同的方法去解決它。高考中選擇、填空這些小題的做法，我強(qiáng)調(diào)建立典題本，運(yùn)用典題本，整理、歸納源于課本高于課本的結(jié)論，多總結(jié)課本典型習(xí)題引申出來的課本間接結(jié)論，在平時學(xué)習(xí)考試中設(shè)法運(yùn)用它，高考題往往是運(yùn)用這個原理命制出來的。我向?qū)W生們提出過解決小題的十六字方針：排除干擾、挖掘隱藏、搶點(diǎn)突破、快速求解。錯誤往往是干擾產(chǎn)生的，干擾有問題本身的、也有學(xué)生不良習(xí)慣中帶來的，排除干擾就是不給自己犯錯誤留機(jī)會。高考數(shù)學(xué)問題的條件有明條件、暗條件兩種，我們要善于發(fā)現(xiàn)、挖掘暗條件，慎防暗箭傷人。一個問題中考查了多個知識點(diǎn)，我們選擇某一個恰當(dāng)?shù)闹R點(diǎn)去實(shí)施解題顯得方便快捷。在指導(dǎo)學(xué)生解決高考大題時，為扭轉(zhuǎn)學(xué)生在高考中草稿紙演算太多的局面，我向?qū)W生提出了零距離地書寫，大題的運(yùn)算書寫應(yīng)清晰透明，上一步與下一步零距離，別人一看就非常清楚，盡量減少在草紙上演算，這樣就避免了學(xué)生在考試中注意力過多的分配與轉(zhuǎn)移，既減少了犯錯誤的機(jī)會，又大大地提高了解題效率。湖南省高考數(shù)學(xué)考綱在2003年提出加大考生運(yùn)算能力的考查，我向?qū)W生提出運(yùn)算能力的表述為：設(shè)計(jì)運(yùn)算的能力，轉(zhuǎn)化運(yùn)算的能力，表達(dá)運(yùn)算的能力。并指出要重視設(shè)計(jì)運(yùn)算與表達(dá)運(yùn)算的能力訓(xùn)練及培養(yǎng)，運(yùn)算前的設(shè)計(jì)，運(yùn)算中的轉(zhuǎn)化及操作運(yùn)算時的表達(dá)都是運(yùn)算能力的體現(xiàn)。在解題教學(xué)中，我還積極引導(dǎo)學(xué)生原生態(tài)解題、立體解題，讓學(xué)生尋找解題的鑰匙，尋求解題的刺激，營造快樂學(xué)習(xí)、愉快解題的氛圍。例說解題如下：

【例1】計(jì)算cot10°-4cos10°的值。

思考一：原式=cos10°-2sin20°sin10°=sin（50°+30°）-sin（50°-30°）-sin20°sin10°=……（拆項(xiàng)拆角）；

思考二：原式=cos10°-2sin20°sin10°=cos10°-2sin（30°-10°）sin10°（利用非特殊角組合出特殊角）；

思考三：令cos10°=x，sin10°=y，由2xy=sin20°=sin（30°-10°）=12x-32y利用代數(shù)的策略求解；

思考四：將cot10°，4cos10°轉(zhuǎn)化成幾何量求解，設(shè)計(jì) Rt△ABC，∠C=Rt∠，∠A=10°，BC=1，則AC=cot10°，作BD使∠BDC=30°，則 DC=3，DB=2，

由正弦定理2sin10°=ADsin20°，

AD=4cos10°，∴cot10°-4cos10°=3。

【例2】求y=x+x2-3x+2值域，觀察問題結(jié)構(gòu)，在x2-3x+2=（x-1）（x-2）的因式分解上展開思維。

思考一：y=x+（x-1）（x-2），顯然（x-1）（x-2）≥0，

即x≥2或x≤1。

（1）x≥2時，y≥2

（2）x≤1時，令1-x=t，則2-x=1+t（t≥0）

γ=1-t+t（t+1）

=1+t（t+1）-t

=1+tt+1+t∈1，32

即f（x）值域?yàn)?，32∪[2，+∞）。

思考二：由x2-3x+2≥0x≥2或x≤1。

方程可化為：y-x=x2-3x+2

∴y-x≥0（y-x）2=x2-3x+2

即y-x≥0y2-2xy=-3x+2

即x=y2-22y-3≥0即y2-3y+22y-3≥0

解不等式得值域1，32∪[2，+∞）。

思考三：利用導(dǎo)數(shù)研究，思考四：實(shí)施三角化策略。均圍繞因式分解展開。

【例3】x=5-12，求x5+4x4+3x3+2x2+x+1的值。

我在瑞華學(xué)校招聘高中數(shù)學(xué)教師曾用此題考查師大數(shù)學(xué)系畢業(yè)的三位應(yīng)聘教師，僅一人做出且運(yùn)算復(fù)雜。應(yīng)該怎么去思考呢？x=5-12既是分式又是跟式，要代入求值的多項(xiàng)式項(xiàng)多、次數(shù)高，如何解決這個矛盾？我們想：縮短因果間的距離。將x=5-12變形為（2x+1）2=5進(jìn)而化為x2+x=1，再將原式代為：x3（x2+x）+3x2（x2+x）+2（x2+x）-x+1，進(jìn)而用整體代入求值，則變得簡單明了。

對稱、旋轉(zhuǎn)、和諧稱為數(shù)學(xué)美的符號，利用問題中數(shù)學(xué)美的信息來實(shí)施解題往往可以收到極佳的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]李海龍.高中數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究[J].考試周刊，2014（83）.

[2]王弟成.解題教學(xué)重要的是要教給學(xué)生分析方法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2013（10）.

作者簡介：

宋學(xué)祎，湖南省永州市，湖南省永州市新田一中。