探尋動手操作走向深刻的聯結點

王鳳

摘 要：自《義務教育數學課程標準（修訂稿）》實施以來，動手操作便成為老師重視的學習方法，課堂上學生動手操作的機會也明顯增多，但是在教學中動手操作的數學學習的價值表現不夠。在此，審視當今的小學數學課堂，進一步探討了動手操作的必要性。

關鍵詞：動手操作；思維；聯結點

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，“認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式。”小學數學學習過程中的動手操作，其價值不僅在于激發學生的學習興趣，還在于讓學生通過在親力親為中加深認知體驗，將思維從無序引向有序，同時也提高了思維能力，積累了活動經驗，為提出問題和解決問題提供了保障。布魯納認為，動作—表象—符號是兒童認知發展的程序，也是學生學習過程的認識序列。

緣起：一次聽課帶來的觸動

二年級上冊“認識平均分”這一課，有一位教師在練習環節設計了這樣一個分氣球的活動。

師：（從講臺背后變魔術般拿出15個氣球），同學們，這些氣球好看嗎？

生：好看！

師：想不想知道有多少個？一起來數一數！（1、2、3、……15）這兒一共有15個氣球。

師：老師想把這些氣球平均分給幾個小朋友，你想來分一分嗎？

生紛紛舉手，教師選擇了一位手舉得最高的學生（生1），讓其他學生坐好，等著分氣球。

生1來到講臺前，將氣球數出5個，分給了第一個同學，接著又數了5個，分給了第二個同學，最后將剩下的氣球分給了第三個同學。

師：這位同學是怎么分氣球的？（學生描述分氣球的過程），共分給了幾個同學？（分給了3個同學）。

師：（拿回氣球）誰還想來分一分？（指定生2）

生2將氣球每人分2個，分給了7個同學，手里還拿著一個氣球站在講臺前，有些不知所措。

師：（面向學生，指著生2）他將氣球分完了嗎？（沒有，還剩1個）那這樣分行嗎？（不行！）這樣分是不行的。

師：還能怎么分？（分氣球活動繼續進行）

生3將氣球每人分3個，正好分給了5個同學。

生4將氣球每人分4個，發現又沒分完。

生5將氣球每人分一個，分給了15個同學。

生6……

師：（下課鈴響）這些氣球你們想要嗎？（想要）那就送給你們吧，下課后還可以和同學一起分一分。

反思：這樣的操作所存在的問題

1.目的不明，操作隨意

教師對學生提出“把15個氣球平均分給幾個小朋友”的要求過于籠統，缺乏指導性。學生在分氣球時比較盲目、隨意，而且本節課是認識平均分的第一節課，介紹的是“每幾個一份來分物品”“把15個氣球平均分給幾個小朋友”這個問題的提出超出了本節課的學習范圍，給學生分氣球的活動增加了難度，使得學生將關注點由對數學知識的探究轉移到實物氣球上，造成了活動的盲目性與隨意性。

2.指導不力，活動低效

分氣球的活動看似熱熱鬧鬧，學生的積極性充分被調動，主動投入分的氣球活動中，但由于活動前缺乏正確引導，活動中缺乏有效指導，活動后缺乏總結提煉，因此，從第一次分氣球到第二次、第三次、第N次分氣球，多次活動層次均處于平行狀態，無優化、提升，活動沒有達到既定目的，沒有取得理想效果。因此可以說這個活動是低效的，學生的操作是一種“偽操作”。

3.關注活動，忽略思維

數學活動僅停留在簡單的操作層面上，學生未能在頭腦中實現認知結構的重組，思維沒有真正展開。如：生1分完氣球后，教師只讓學生觀察分的結果，交流得到15個氣球每人分得5個，分給了3個人。而生1在分氣球的過程中是怎么思考的？為什么這樣分？數與數之間存在什么關系？除了這種分的結果以外，還可以怎么分也可正好分完？生2分氣球的結果是沒有分完，為什么會出現沒有分完的情況？這些問題教師都沒有關注，只是繼續指定學生分氣球，學生分氣球的過程缺乏思考，活動的意義并不大。

實踐：探尋動手操作走向深刻的聯結點

1.操作后追問，促思考、揭本質

動手操作與數學思維密不可分，活動就是要讓學生動起來，我們不能錯誤地認為只要動手操作，便可以達到目的，而忽視了學生的深層次思考。數學活動必須有明確的數學內涵和數學目的，邁向數學的本質。“動”應該包含“手動”“口動”“腦動”。在操作中發展學生的思維能力，讓學生的思考不斷深入。如在教學“正方體的側面展開圖”時，我是這樣教學的：我先讓學生用四個連著的正方形折成一個無底無蓋的正方體，再問學生，如果要折成一個有底無蓋的正方體，5號這個正方形應該裝在四個連體正方形的哪兒呢？（如下圖所示）該裝在1號還是2號、3號、4號正方形上呢？讓學生動手試一試。學生在動手的過程中，找到了幾種不同的裝法。老師接著問：“你們能找全所有的答案嗎？能找到答案的同學試著把它的全部展開圖畫出來。”

即5號正方形裝在1號、2號、3號、4號的位置都有可能。師再問：如果再添上一個正方形，能折出一個有底有蓋的正方體嗎？能找出所有的可能嗎？在交流和動手中找出了正方體側面展開圖1-4-1形的所有的情況。

學生在動手中找出了1-4-1型的6種情況后，我并沒有結束此課，而是追問“為什么這兩個1，可以隨意地放？”在討論、思考中得出結論，因為4可以拼成正方體的前后左右面，而兩個1就是它的上面和下面，在任意一個面上都可以折過去。這就是1-4-1型的本質，通過追問不僅發展了學生的空間想象能力，實現了一維與二維空間的轉換，還培養了學生的思維能力。

2.操作后運用，推生長，建聯系

朱德全教授指出：“應用意識的生成便是知識經驗形成的標志。”獲得數學知識的目的在于應用，應用意識的形成與應用能力的提高又能促進數學操作活動的提升。因此，教師要在教學過程中不斷地為學生提供運用經驗的機會，引導學生主動調動已有的操作活動經驗解決數學問題。

如，在教學“平面圖形面積的總復習”這一課時，在復習完長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形面積之后教師讓學生按知識之間的聯系擺一擺這些圖形。有的同學是按知識的前后呈現，線性地擺出這幾個圖形，有的同學則是這樣擺的：

學生是這樣說的：“正方形、平行四邊形和圓形的面積的推導都是以長方形的面積為基礎，這三種圖形都是將其把轉化成長方形的面積，而三角形和梯形的面積都是轉化成平行四邊形的面積，以平行四邊形為基礎。”這樣的操作讓學生厘清了知識之間的脈絡和知識之間的聯系。有了這樣的操作、有了這樣的經驗，在復習完圓柱、圓錐、長方體和正方體的知識之后，教師也應讓學生擺一擺這四種立體圖形體積之間的聯系，擺出的圖形如下：

正方體的體積是根據長方體的體積推導而出的，圓柱體積的推導過程是把圓柱轉化成一個長方體，這兩個立體圖形的體積都是以長方體體積為基礎的，而圓錐體積公式是由圓柱的體積推導出來的。

3.操作后反思，積經驗，解問題

《義務教育數學課程標準（2011年版）》最大的變化是由“雙基”變成“四基”，即增加了基本活動經驗和基本數學思想。在教學中通過操作活動，讓學生在操作中在積累數學活動經驗。活動結束教師要給學生充足的反思、交流和總結的時間，讓學生反思概念、規律、法則、公式等知識的形成過程，促使“經歷”走向“經驗”。在圓柱體積的計算的探索實踐中有這樣一道題：用兩張同樣大小的長方形紙分別做成兩個不同的長方體，一個是以長方形的長為底面周長，寬為圓柱的高，另一個是以長方體的寬為圓柱的底面周長，長為圓柱的高，所做的圓柱體，體積相等嗎？

我是這樣教學的：

出示兩張完全相同的長方形。

師：看，老師可以把這兩張長方形紙做成兩個不同的圓柱體。

師演示。一個是以長方形的長為圓柱的底面周長，長方形的寬為圓柱高，做成一個圓柱體，稱1號圖形；另一個是以長方體的寬為圓柱的底面周長，長方形的長為圓柱高，稱2號圖形。

師：對于用同樣大小的長方體形紙做成的不同的圓柱體，你有什么想法？

生1：這兩個圓柱的表面積肯定是不一樣的，側面積是相同的，但是底面積不一樣，表面積不同，它們的體積可能相同嗎？。

生2：我想說的是，它們的體積相同嗎？不好說。

生3：我認為2號圓柱的體積大，因為它高。

生4：也不好說，可能1號的體積大，它胖呀，生活中胖的人體重大。

生5：它們兩個的體積是一樣的，因為用同一張紙做成的。

師：那么這兩個圓柱的體積到底如何呢？我們怎么來驗證？

有的說計算，有的說往里面裝東西，誰裝得多，誰的體積就大。

最后大家決定在圓柱里裝米，看哪一個裝得多。先在1號圓柱里裝米，裝滿后倒入2號圓柱。如果裝不滿，表示2號圓柱的體積大；如果裝不完，表示1號圓柱的體積大；如果正好裝滿，兩個圓柱的體積一樣大。

經過學生的動手實踐，得出以長方形的長為圓柱的底面周長所做成的圓柱的體積大。

師問：是不是只要用兩個面積完全相同的長方形圍成不同的圓柱，就是用長方形的長為底面周長的圓柱體積大呢？

學生分成小組探究問題，他們用不同的長方形再做實驗。得出的結論與前面是一致的，兩個完全相同的長方形，圍成不同的圓柱，以長方形長為圓柱底面周長，寬為圓柱的高，這樣的圓柱的體積大，形象地稱，矮胖子體積大，高個子體積小。

學生第一次操作，只是初步感知以長方形的長為底面周長的圓柱的體積大，有了這樣的經驗，再次操作就水到渠成，同時通過第二次操作讓學生再次明白以長方形的長為底面周長的圓柱的體積大，不但獲得了操作經驗，還獲得了知識經驗，即如學生所說的那樣矮胖子體積大，高個子體積小。老師讓學生帶著數學的眼光去觀察世界，讓學生去尋找這一知識在生活中的應用。經過學生一周的搜索，學生得到了以下幾種情況：

A.商家為了使顧客感覺所買的東西大，往往包裝桶做得又高又細。

B.某廠家推出的小餅干，直徑變小了很多，這樣“迷你”的小餅干，塊數很多，讓人感覺東西很多，其實不然。

C.在批薩店里的飲料杯子，杯子很高，可是底面半徑很小，為的是所裝的飲料少一些。

總之，動手操作是學生獲取知識、積累經驗、發展思維能力、解決問題的重要途徑，在學生的學習中有著舉足輕重的作用。老師在日常的教學中要把數學和動手操作有機結合起來，通過各種途徑、方法使學生在操作中思維能力快步提升、創新意識不斷加強，所學知識更加扎實、應用更加靈活，把操作活動引向深刻。

編輯 段麗君