初中數學“存在性問題”研究

肖艷霞

【摘 要】存在性的問題是探索題目中比較典型的問題，在存在性問題中，探究的方向是比較明確的，即存在或者是不存在。下面，本文就初中數學中的存在性問題展開具體的敘述。

【關鍵詞】初中階段 數學教學 存在性問題

具體來說，“能力型”的問題其實也可以叫做“選拔性”的問題，通過對隱晦知識點的延伸拓展，考察學生的知識掌握情況以及遷移運用能力。一般來說，能力型的問題主要就包括存在性的問題，學生在對這種類型的題目進行解答的過程中，不僅要產生相應的知識敏感度，還要能夠恰當的運用相應的知識，選擇恰當的切入點進行解決。可以說，是對學生數學素養的考察。

一、初中數學“存在性”問題淺析

初中階段的數學知識可以說是一個承上啟下的過渡階段，學生在這個階段不僅要完成從“具像思維”到“抽象思維”得轉化，還需要在進行學習的過程中，加強對自己數學素養的提高，加強對自己邏輯思維能力的培養。而存在性問題，恰恰是對這些能力的綜合考察，這也就是為什么在近幾年的初中數學中頻頻出現“存在性”的問題。所謂的“存在性問題”，其實也就是給出一個具體的題目，題目中給你一些相應的條件，然后，讓學生經過對這些條件的研究，判斷某個點或者是某種現象存不存在。其實這類題目主要的難點就在于其具有很大的跳躍性，它并不像常規的題目，給出你一系列的條件，然后理所當然的解答出某個問題，在這個問題中，需要學生能夠準確的把握住存在或者是不存在的關鍵點，然后，通過利用題目中的相應條件，證明出這個關鍵點，最后給出答案。其實具體來說，我們通過數學語言進行描述，所謂存在問題也就是說，給出學生一個相應的條件M，然后判斷Q是否存在某種特性。通過對“存在性問題”的具體解析，就可以看出，解答這類問題的關鍵就是，需要學生能夠“看懂問題”，看明白問題后面究竟是想問你些什么問題，也就是說它存在或者是不存在是由哪個關鍵因素決定的，然后通過以這個關鍵因素為切入點進行逐步的剖析。

二、存在性問題的具體分類

1.廣義分類

“存在性問題”具體來說也是有很多種的，從廣義上來看，存在性的問題主要包括肯定的存在性問題和否定的存在性問題。

2.狹義分類

從狹義上來看，存在性問題的分類就顯得多種多樣了，具體包括以下幾個方面。

（1）關于數值存在性的問題。

這類題目，顯而易見就是給出一些具體的條件，讓學生通過對這些條件的處理分析，證明是否存在某一個具體的數值，滿足相應的條件。例如已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是直線y=-x+2與雙曲線y=k/x （k≠0）的兩個不同的交點.

①求實數k的取值范圍；

②是否存在這樣的k的值。使（x1-2）（x2-2）=x2/x1+x1/x2.

若存在，求出k的值。若不存在，請說明理由.

這類題目就屬于數值類的存在性問題，需要學生經過推算，判斷出是否存在這樣一個數值滿足相關的條件。具體解答如下，

（1）y=-x+2代入y=k/x，得x（-x+2）=k，x^2-2x+k=0，

有兩個不等實根，判別式4-4k>0，

實數k的取值范圍：k<1.

（2）x1+x2=2，

x1x2=k，

x1^2+x2^2=（x1+x2）^2-2x1x2=4-2k，

（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=k，

x2/x1+x1/x2=（x1^2+x2^2）/x1x2=（4-2k）/k，

k=（4-2k）/k，k=-1±√5.

-1+√5>1舍去，k=-1-√5時，（x1-2）（x2-2）=x2/x1+x1/x2

通過對條件的層層深入分析，可以解答出相應的條件。

（2）圖形的存在性問題。

另外一類就是圖形的存在性問題，一般來說，圖形類的存在性問題往往會與函數相結合，需要學生能夠通過對函數圖像的深入分析，判斷出某個點或者是某種關系是否存在。對于這類問題的解答，往往有相應的解題思路。學生先對題目進行總覽，然后假設相應的問題存在，然后對這個結論進行具體的推理，在推理的過程中，如果一切都合理，證明推論是正確的，也就是相關的現象是存在的，如果在推理的過程中，出現矛盾，說明假設是存在問題的，這時候，就可以證明相關的現象不存在。

三、解答存在性問題的思想

解答“存在性問題”的過程，往往需要學生具備相應的數學思想，具體來說，主要包括數形結合思想，要求學生能夠通過數與形之間的相互關系，巧妙的進行相互轉化，通過以形助數，找出具體的特殊點或者是特殊位置，結合相應的特性進行具體的計算，通過從數到形，結合相應數量關系的特征，找出具體的特殊點。另外，分類討論思想也是學生所必須具備的，學生需要有這個意識，能夠對條件進行具體分析，然后結合具體的分類依據，進行逐個擊破。

總結來說，“存在性問題”是初中數學中的一大重點，但同時，也是學習的一大難點，這就需要教師在開展教學活動的過程中，能夠結合具體的問題分析，開展恰當的教學活動，培養學生的思維能力，引導學生養成相應的數學思想。

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