經歷數學抽象過程 形成數學核心素養

朱春雷

【摘要】數學抽象，是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程。基于數學核心素養的教學活動基本路徑是把握數學內容的本質，創設合適的教學情境，提出恰當的數學問題，啟發學生思考，讓學生在掌握知識技能的同時，形成和提升數學核心素養。抽象的方法一般有對應方法和內涵方法。數學核心素養是學生習得的綜合素養，也是學生數學能力的體現，因此我們在關注數學抽象核心素養的同時，也要密切關注其他數學核心素養的培養，達到整體考慮、重點突出，全面發展數學核心素養的目標。

【關鍵詞】數學抽象 核心素養 基本路徑 過程方法

會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界是數學教育的終極目標。此終極目標與人的行為有關，是數學學科的本質要求。數學是研究數量關系和空間形式的科學，數學抽象反映了數學的一般性特征，從而形成數學眼光；邏輯推理反映了數學的嚴謹性特征，從而形成數學思維；數學模型反映了數學的廣泛性特征，從而形成數學語言。本文以數學抽象為例，探討在義務教育階段的數學學習活動中，如何讓學生初步經歷數學抽象過程，形成數學核心素養。

一、數學抽象核心素養的概述

數學學科核心素養的理解要從概念內涵、學科價值、學生表現等方面來進行。從概念內涵來理解數學抽象，是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程。主要包括從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征。從學科價值角度來理解數學抽象，是指數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿于數學的產生、發展、應用的過程中。數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統。通過數學課程的學習，學生能在情境中初步抽象出數學概念、方法，運用數學抽象的思維方式思考和解決問題，把握事物的本質；從學生表現方面來理解數學抽象，是指積累從具體到抽象的活動經驗，養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣。

數學抽象核心素養不僅是一種關鍵能力，更是一種思維品質，是人的行為表現。數學抽象具體功效是獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系。義務教育階段的數學抽象核心素養主要是指數感、符號意識、幾何直觀、空間想象等的發展培養，當然還有應用意識、創新意識等超越數學的核心素養的發展。

二、遵循智力發展的規律探討數學抽象核心素養的教學

布魯納認為，教學說到底是一種幫助或促進人的成長的努力。人類的智力發展始終會沿著按動作性表象、映象性表象、象征性表象等三種表象系統的順序前進的。動作性表象是借助于動作；映象性表象是依靠視覺或其他感覺組織和各種概括化映象的作用；象征性表象是通過文字或語言形成的表象，其特點是具有符號的性質。成長的過程發端于我們自己注意了自己的活動痕跡，并且在成人或教師的幫助下對我們已經做過的事情和看到的東西用一種新的形式重新編碼，而后利用重新編碼產生的新的結果來繼續組織新的結構模式。布魯納三種表象系統順序說，是從學生認知發展角度表明數學抽象素養形成的過程，這為我們探討基于培養數學抽象核心素養的教學提供了理論依據。教育的過程的核心在于為受教育者提供幫助和對話的機會，以便他把具體經驗轉譯為更加有力的標志系統和更有次序的體系。

那么如何進行基于數學抽象核心素養的教學呢？基于數學抽象核心素養的教學就是要求在教學活動中關注數學抽象。數學教學的目的是為了引發學生思考，數學教學活動的關鍵是啟發學生學會數學思考。那么如何啟發學生思考？學生獨立思考的落腳點又是什么呢？通過對這些問題的分析，我們認識到數學核心素養不是知識，不能靠講解讓學生理解，而是要創設情境、通過教學內容讓學生感悟。數學核心素養是借助學生參與其中的教學活動，通過思考，獲取知識和技能，逐步形成素養。也就是說核心素養是通過學生的獨立思考和相互交流得到的，是感悟的結果，是經驗的積累。

三、數學抽象核心素養教學的基本路徑

設計基于數學核心素養的教學活動基本路徑是把握數學內容的本質，創設合適的教學情境，提出恰當的數學問題，啟發學生思考，讓學生在掌握知識技能的同時，形成和提升數學核心素養。通過學生參與其中的活動引發思考，就能發展數學思維。啟發思考必須創設合適的情境和提出合適的問題，創設情境和提出問題的基礎是把握數學的本質。

1.把握數學內容的本質，理解抽象的基礎，掌握抽象的方法

現在以“數的認識”為例來分析說明如何實現基于數學核心素養的教學。義務教育階段“數與代數”領域的課程知識技能與數學思考方面的總目標是：“經歷數與代數的抽象、運算與建模等過程，掌握數與代數的基礎知識和基本技能；建立數感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發展形象思維和抽象思維。”依據上述目標，教材從學生不同年齡特點和學習序列考慮，以知識點的方式分散安排了相關內容。這就造成了傳統上的教師以知識點來設計教學，這不利于核心素養的形成。基于數學核心素養的教學就必須要改變課程設置的方式和教師教學設計的方式，教學設計要由知識點拓展到知識“團”，從而在整體上把握知識的主線。數的認識過去注重知識點，教材中依次安排了10以內數的認識、20以內數的加法減法、100以內數的認識及加法減法、萬以內的數的認識、萬的認識、大數的認識等。從整體上把握知識的主線要求教師首先要弄清楚下面幾個問題：數是什么？數的本質是什么？表示數的關鍵是什么？如何認識數的加法減法？這個主線認識清楚了，再抓住幾個重要的邏輯性強的知識點來設計教學，教學實施就順利了。這樣依據知識的本質，抓住知識的主線，就可以設計出合適的教學情境，提出恰當的數學問題，讓學生在情境中掌握知識技能，同時發展核心素養。

遵循數學內容的本質，抽象的過程和方法怎么把握呢？我們還以“數的認識”為例來分析理解。數是數學研究的對象，是通過數學抽象得到的。數學抽象的功能是得到數學的研究對象，并且把這些對象予以表達，這樣就把教學活動與學科核心素養有機結合起來。通過數學抽象得到了數的概念以及概念之間的關系，數學內容的本質就是對數量與數量關系、圖形與圖形關系的抽象。數是對數量的抽象，然后用符號予以表達，本質上數是一種符號的表達。數學研究對象本身的存在性并不重要，重要的是它們之間的關系。數的關系的本質來源于數量，我們從數量和數量關系中一并抽象出數和數之間關系，數量關系的本質是多與少，抽象得到的數的本質是大與小。通過抽象使得數產生了，并能用符號表達，同時它的關系多和少也產生了。

抽象的方法一般有對應方法和內涵方法。低年級教學一般用對應方法抽象出數學研究的對象，如“3和4的認識”，教材上有3個小朋友和4棵樹，教師要引導學生學會抽象出3個小朋友對應著“□□□”，4棵樹對應著“□□□□”，讓學生慢慢感悟，具體的事物轉換成了映象性表象和象征性表象。這里要注意保持對應物“□”不變，對應得到幾個“□”，3個小朋友對應3個“□”，4棵樹對應4個“□”。3和4是舍去原來數量的后綴名詞，本質上去掉物理屬性，同時舍去事物的背景，因此通過抽象得到了數學的一般性。高年級除了對應的方法外，通常要用內涵方法抽象出對象的意義和內涵。如認識自然數是把自然數看作是一個個多起來的，2從1出發，2比1多1，2就是1加1；3比2多1，3就是2加1；4比3多1，就是3加1……這里一個個多起來的數叫作后繼數，可以用后繼的方法得到自然數。教科書上認識10000時，說10個一千是10000。我們在教學時，還必須要把10000看作比9999多1，而不是10個一千，因為這時學生還沒有學10×1000。10000本質上就是比9999多1的那個數。

2.創設合適的教學情境，提出恰當的數學問題，經歷抽象的過程

數學學習的核心是思維，思維源于問題，問題扎根于情境。因此在數學學習活動中教師需要做的就是依據數學內容的本質，創設合適的教學情境，提出恰當的數學問題，引發學生思考，經歷抽象的過程，發展學生思維。依據背景和內容，情境一般可以分為生活情境，數學情境、科學情境等三種情境。這三種情境對應著三個層次，熟悉的、關聯的和綜合的情境。因此我們可以提出相應的三類問題：簡單的、較為復雜的、復雜的問題。我們也可以把學生的認知和思維大致分為三個水平背景：第一水平的背景是熟悉的情境、簡單的問題；第二水平的背景是關聯的情境、較為復雜的問題；第三水平的背景是綜合的情境、復雜的問題。現在以“線段的初步認識”教學為例，體會基于數學內容本質，創設合適的情境，在數學思考中逐步培養數學抽象核心素養。線段是比較抽象的幾何概念，而低年級學生的年齡小，抽象思維水平還比較低，這就構成了學生思維水平與抽象數學概念之間的矛盾，也是學生認識和理解線段概念的困難所在。但教育的意義不在于跟隨學生思維水平的發展，而在于指導和促進學生思維水平的發展。即如維果茨基的最近發展區理論所言：“教學要走在發展的前面。”為此，教學中在引導學生認識線段時，特別要設計好合適的情境，注重用直觀的方式來說明線段的特征，從生活情境到數學情境，循序漸進地促使學生獲得豐富而正確的表象，初步形成線段的概念。過程如下：

第一層次，借助實物，比較感知。讓每個學生都準備一根較細棉線，先把它隨意地放在桌上，再用手捏住它的兩端，并把它拉直，引導學生仔細觀察和比較這根棉線拉直前后的樣子，說說各有什么特點，突出拉直后棉線就直。在此基礎上，指出：“把線拉直，兩手之間的一段可以看成線段。”教師把兩手捏得遠一點，問哪一段可以看成線段，再捏遠一點呢。讓學生體會，隨著教師的兩手捏得越來越遠，線段就越來越長，兩手捏得越來越近，線段就越來越短。通過這樣的操作活動，學生會初步感受到線段的本質特征：線段是直的，線段是有端點的，線段的長度是有限的。

第二層次，抽象圖形，鞏固特征。根據上面教學情境順勢提出：“那在數學上用什么樣的圖形來表示線段呢？”教師把線拉直貼在黑板上，兩端用磁鐵固定。教師繼續引導學生：“這直直的一段，我們用一條直直的線來表示。”教師用粉筆依棉線長度畫出直直的部分。剛才兩手捏的地方，就是線段的兩端，我們把它們叫端點，分別用兩個小圓點或小短豎來表示，同時告訴學生這樣的圖形就是線段。并讓學生說出線段有幾個端點。接著問：“那能不能豎著畫一條線段？”師豎著畫一條線段。“斜著可以畫嗎？”師生看著這三條線段總結得出線段的特征：線段是直的，有兩個端點，還有一定的長度。這樣利用直觀提示本質的同時，學生就初步建立了線段的表象。

第三層次，回到實物，操作體會。引導學生指一指直尺、課本等物體的邊，告訴學生：“直尺、課本面上的每條邊都可以看成線段。”再讓學生說一說，還有哪些物體的邊也可以看成線段。交流后，要求學生把一張紙折一折，觀察得到的折痕，說說這樣的折痕是否也可以看成一條線段；再要求學生分別折出一條比它長的和比它短的折痕，使學生在操作中體會到線段是有長有短的，從而進一步完善對線段的認識。

第四層次，學畫線段，體會表達。本層次主要是教學生用直尺畫線段，教師可以先示范，并說明畫線段的基本方法和步驟，再讓學生模仿著畫一畫，畫完要交流畫線段的方法和注意點。在鞏固練習中，針對用直尺把下面兩點連成一條線段的練習，拓展認識在兩點間只能畫一條線段；針對給出三點和給出四點（均不在同一直線上）要求學生在每兩點間畫一條線段，要讓學生充分理解“每兩點之間畫一條線段”的意思，并在實際練習中無遺漏地畫出所有線段。在此基礎上，可以初步學會給每一條線段命名，體會用數學語言進行表達。

四、基于數學學科本質，整體考慮核心素養

數學核心素養是學生習得的綜合素養，也是學生數學能力的體現，因此我們在關注數學抽象核心素養的同時，也要密切關注其他數學核心素養的培養，達到整體考慮、重點突出，以全面發展數學核心素養的目標。如在培養學生數感時，學生通過了解數字和數字運算，就可以針對數字模式和數字聯系的邏輯思維進行數學推理。如果基于計算的觀察活動能引導他們預測結果并爭論所使用的方法，那么這種預測和爭論正是激發思維力量的動力。如當我們對奇數相加時，會發現其結果是某一個數的平方：

1+3=2×2

1+3+5=3×3

1+3+5+7=4×4

1+3+5+7+9=5×5

分析這一數字模式，教師可以先讓學生在不需要計算的情況下，預測前10個奇數的和，或者前100個奇數的和，然后向學生們提問為什么會存在這一數字關系等問題。這類問題會引導學生進入數字的魔幻世界，在那里他們會不斷地發現富于邏輯性的解釋，這難道不是提升學生邏輯思維能力所必需的嗎？這樣的情境下，學生還會不斷地探索到激動人心的數字事實，這為他們超越數學的純功利性應用目標提供可能，也正是創新意識等超越數學的核心素養的發展。