明辨重點切勿“滑過”，類比教學特殊到一般
——以二次函數起始課教學為例

☉江蘇省蘇州工業園區星海實驗中學 王小燕

近讀《中學數學》（下），全國著名特級教師李庾南老師就反比例函數起始課教學給出了精彩的教學設計（見文［1］），讓我們大開眼界，才發現“教材重組”、“單元教學”原來是我們一線教師都可以嘗試的.對比以前，我們只是機械地執行教材順序，嚴格按教材上的分節、分課時亦步亦趨，這給我們的專業思考和教學設計帶來了很大的沖擊.本文以二次函數起始課為例，談談筆者在一次校級教研課中的教學嘗試，敬請指導.

一、二次函數起始課教學研究

教學環節（一） 研究實際問題，引入新課

課件出示一些現實生活中實際問題（限于篇幅，摘自教材上的相關問題情境，這里略去），安排學生用函數模型來刻畫，學生很快就寫出一次函數和二次函數的關系式，跟進以下問題：

問題1：你們寫出的這些函數關系式中，哪些是熟悉函數類型，哪些是不熟悉的函數類型？（一次函數是熟悉的類型）

問題2：你們覺得這些不熟悉的函數類型應該取怎樣的名稱？（二次函數）

教學組織：在學生列出一次、二次函數關系式之后，引出本課研究課題：二次函數.并引導學生類比一次函數的定義，定義二次函數，教師根據學生的歸納，提取有效信息形成板書：形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數.

教學時注意跟學生強調：x是自變量，a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.

教學環節（二） 復習一次函數研究過程，為建構二次函數知識框架作準備

問題3：回顧一次函數的學習，是從哪幾個方面進行研究的？

教學組織：引導學生回顧從實際問題抽象一次函數，在此基礎上形成一次函數概念，研究一次函數圖像和性質，利用一次函數的圖像和性質求解，得實際問題的答案.

問題4：一次函數的圖像和性質又是如何研究的？

教學組織：引導學生回顧畫函數圖像，觀察圖像小結歸納一次函數圖像和性質，經歷了從特殊到一般的探究過程，先研究了特殊的一次函數——正比例函數y=kx（k≠0）的圖像和性質，再研究了一般的一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像和性質；并且分了k＞0，k＜0，兩種情況討論，由k取具體的數值入手，最后歸納出一般的情況.

教學環節（三） 建構二次函數章知識框架，明確研究方向

教學組織：在復習一次函數學習路徑之后，引導學生猜想接下來要學習二次函數的哪些內容，教師在學生回答的基礎之上，填補到如下的二次函數全章知識框架圖（生成板書）.

教學環節（四） 從簡單出發，探究y=ax2（a≠0）的圖像與性質

教學組織：引導學生繼續類比一次函數的研究內容和方法，從最簡單、最特殊的二次函數y=x2開始研究，在畫出圖像之前，先引導學生慢下來、停下來，不急于畫出它的圖像.

停留處一：認真觀察函數表達式x2，從“式”的角度，談談自變量取值有沒有限制條件？進一步思考函數值與自變量之間有怎樣的對應關系，函數值會在什么范圍里？猜想、想象它的圖像會有怎樣的特點？

停留處二：列表、取點有什么技巧或注意事項？從解析式分析自變量的取值范圍，在此基礎上合理的選取x的值，計算y的值.分析表格中數據的特點，預測、想象圖像的特點：過原點（0，0），其余各點均在x軸的上方；無最高點，原點為最低點；圖像關于y軸對稱.

最后再安排學生描點連線生成圖像，學生動手實踐，對稱描點，從左至右用平滑的曲線順次連接.在描點的過程中，驗證此前兩處停留時對二次函數y=x2的圖像的猜測與想象.

教學環節（五） 成果擴大，小結概括二次函數y=x2的圖像特征和性質

教學組織：在同一平面直角坐標系xOy中，繼續畫二次函數y=x2，y=2x2的圖像，與函數y=x2的圖像比，有什么共同點？有什么不同點？當a＞0時，二次函數y=ax2的圖像有什么共同特點？

引導學生類比研究二次函數y=x2的角度和方法，嘗試從對稱軸、頂點、開口方向、開口大小及增減性等方面描述圖像特征和性質.

進一步小組內取a＜0時，猜想、確認圖像與性質，最后梳理、歸納二次函數圖像與性質（教師在學生回答的基礎上，調整完善生成結構化板書）：

當a＞0時，拋物線y=ax2的開口向上，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最低點，a越小，拋物線的開口越大.

當a＜0時，拋物線y=ax2的開口向下，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最高點，a越小，拋物線的開口越小.

二、關于二次函數起始課的教學思考

（一）基于學生最近發展區，重視“類比教學”

根據最近發展區理論，我們的教學起點可以選在學生已有的知識點、學習經驗之處，在此基礎上，基于數學知識的內在聯系、邏輯關系進行恰當的選取，形成教學設計并規劃教學流程.比如二次函數起始課是九年級所學內容，學生的知識起點是一次函數，與函數相關的概念、研究套路也是學生已有的學習經驗，這時我們就選定了一組情境問題，學生列出了一次函數關系式、二次函數關系式，就自然的引向二次函數的定義、圖像與性質等問題，并且在開課階段安排學生復習一次函數的研究方法、路徑，也是提醒學生要善于類比“一次”學“二次”.

（二）教學重點與難點之處，切勿“一帶而過”

我們知道，教學重點不能輕輕“滑過”.本課教學重點是二次函數y=x2的圖像與性質，并由此“走向一般”，在這個教學過程中，“萬事開頭難”的道理是一致的.我們不能因為函數y=x2的圖像與性質很簡單，一帶而過就行了，把教學與訓練的重點轉向研究“走向一般”的情形.事實上，清楚最簡單的函數y=x2的圖像與性質是教學重點之后，需要辨明如何避免“一帶而過”的教學，這就是在上面課例中提出的“兩處停留”，即引導學生認真觀察解析式，從“式”的特點判斷自變量與函數值的取值范圍，并由此猜測、想像出圖像的特點；另外跟進列表時取點要恰當的、智慧的選取數對，而不是盲目的、大量的、無序的選取數對，不利于最后描點、連線、生成圖像.事實上，學生結合對式的觀察，對自變量選取互為相反數的數對作值，更易發現函數值的特點.

（三）滲透數學思想與方法，從特殊走向一般

數學課不但要講知識、講習題，還要更上一層：通過數學知識、習題的學習，向學生滲透數學思想與研究方法.比如二次函數起始課的學習，可以類比一次函數學習二次函數，這是類比思想，具體來說，可以類比一次函數定義二次函數，類比一次函數的研究套路（定義、圖像與性質、應用）學習二次函數；另外，二次函數的學習是從特殊、從簡單出發，最后再走向一般、歸納性質，在這個過程中學生不但學到了二次函數的圖像與性質，而且感悟到從特殊到一般的研究方法，日后可用于其它新（陌生）函數（甚至一些新領域數學概念）的研究學習.

三、寫在后面

當前倡導數學核心素養的學習需要“落地生根”，而數學核心素養的界定又是“眾說不一”.由于數學的精神或本質（如抽象、推理、模型，或者求簡、從特殊到一般、量化研究等等）是值得重視的核心素養，所以如何在我們的日常課堂訓練或滲透這些素養，亟需教師基于“核心素養”的高觀點來精心設計教學.我們關于二次函數起始課的教學與思考只是一點初步的嘗試（比如向學生傳遞和滲透了類比、從特殊走向一般的思想方法等），還不成熟，期待批評指正.同時我們也希望出現大量體現核心素養的課堂教學設計，豐富這方面的研究.