基于單元設(shè)計，重組學(xué)材資源*
——以《銳角三角函數(shù)》教學(xué)為例

☉重 慶 復(fù) 旦 中 學(xué) 丁慶彬

☉重慶市第二十九中學(xué)校 鄭 莎

以課時為單位的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計對于合理把握每節(jié)課的數(shù)學(xué)教學(xué)活動進程、優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)活動具有重要意義.但其自身也存在不足之處：易使學(xué)生的知識割裂，不利于形成一個完整的知識鏈條和結(jié)構(gòu)體系，而且過多地關(guān)注知識與技能，忽略了學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng).銳角三角函數(shù)是人教版教科書九年級下冊第二十八章第一節(jié)內(nèi)容，該內(nèi)容既是對直角三角形邊角關(guān)系的深入研究，又是對函數(shù)關(guān)系的進一步深化，對以后高中階段學(xué)習(xí)三角函數(shù)起著鋪墊性作用.本設(shè)計充分遵循學(xué)生的認知水平，通過對學(xué)材資源的重組建構(gòu)單元教學(xué)體系，真正落實以學(xué)生學(xué)習(xí)為中心的教學(xué)觀，多維度提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力，從而實現(xiàn)發(fā)展學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo).

一、課堂導(dǎo)入，知識與方法兼顧

師生一起回憶已學(xué)過的有一個銳角為30°或45°的特殊直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生探究并計算出這些特殊角所對直角邊與斜邊的比值.在此基礎(chǔ)上，保持角度不變，將三角形放大，如圖1，再讓學(xué)生思考其比值情況.

圖1

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生很容易得出結(jié)論：在一個Rt△ABC中，∠C=90°，當(dāng)∠A=30°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于，是一個固定值；當(dāng)∠A=45°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于，也是一個固定值.教師再提出問題：當(dāng)∠A取其他的一個固定度數(shù)時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值呢？教師先借助幾何畫板進行動態(tài)演示，用幾何畫板畫出Rt△ABC，保持∠A的大小不變，拖動三角形至任意大小，其對邊與斜邊的比值a）大小不變，如圖2.

圖2

圖3

演示后，學(xué)生初步感知當(dāng)一個直角三角形的銳角固定，其對邊與鄰邊的比值是不變的事實.在觀察完圖形后，教師引導(dǎo)學(xué)生還要通過已學(xué)過知識進行嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)證明，并提出如下問題：

問題1：如圖3，任意畫Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么與′有什么關(guān)系.你能解釋一下嗎？

引導(dǎo)學(xué)生分組探究，并利用相似來證明結(jié)論的正確性.

設(shè)計意圖：改變千篇一律的情景引入方式，以復(fù)習(xí)切入，直截了當(dāng).通過對特殊銳角的對邊與斜邊比值不變性推廣到一般銳角，分別借助幾何畫板這一多媒體資源進行動態(tài)演示和利用相似進行嚴謹?shù)淖C明，不僅體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法，同時也將直觀的圖形觀察與嚴謹?shù)倪壿嬜C明巧妙的結(jié)合起來.對學(xué)材資源進行挖掘和重組，讓課堂導(dǎo)入層層遞進，嚴謹而又自然.

二、新知探究，知識與方法融合

1.正弦

在探究當(dāng)一個銳角固定時其對邊與斜邊的比值不變性的基礎(chǔ)上給出正弦的定義，教師在黑板上結(jié)合圖形（如圖4）寫出如下內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生在教材中勾畫出相應(yīng)內(nèi)容.

圖4

就概念的理解，教師做以下說明：

（1）sinA是一個完整的符號，它表示∠A的正弦，記號里習(xí)慣省去角的符號“∠”，當(dāng)角是用三個字母表示時，“∠”不能省去；

（2）sinA表示一個比值，沒有單位.

結(jié)合課前導(dǎo)入給出如下兩個小問題，讓學(xué)生自主完成，以此鞏固概念.

（1）當(dāng)∠A=30°時，則sinA=sin30°=______；

（2）當(dāng)∠A=45°時，則sinA=sin45°=______.

2.余弦

在引入銳角∠A的余弦時，可以改變通過繼續(xù)探究比值的方式，引導(dǎo)學(xué)生在原有圖形的基礎(chǔ)上進一步表示出sinB==.根據(jù)已學(xué)過的正弦知識，顯然這個比值也是不變的.再回到圖形上，引導(dǎo)學(xué)生觀察邊AC、邊AB和∠A的位置關(guān)系，易知邊AC是∠A的鄰邊，邊AB仍然是斜邊，這樣就可以得到∠A的鄰邊與斜邊的比值也是不變，我們把這個比值叫作∠A的余弦，可表示為：cosA=

此時，順勢引導(dǎo)學(xué)生觀察sinB與cosA的關(guān)系，并嘗試給出如下一般的結(jié)論：

在Rt△ABC中，若∠A+∠B=90°，則sinB=cosA或sinA=cosB.

3.正切

回到圖形上，以∠A為參照角，引導(dǎo)學(xué)生思考除了對邊、鄰邊和斜邊之間的比值外，還可能會遇到哪些邊的比？學(xué)生會想到對邊與鄰邊、鄰邊與對邊、斜邊與對邊、鄰邊與斜邊等四種情況.教師可以做如下處理：

師：請同學(xué)們想一想∠A的斜邊與對邊的比以及斜邊與鄰邊的比，數(shù)值上與∠A的正弦和余弦分別有什么關(guān)系？

生：互為倒數(shù)的關(guān)系.

師：很好，由于在數(shù)值上具有簡單的倒數(shù)關(guān)系，因此在初中階段我們就不做特殊的學(xué)習(xí)，到了高中后，這兩種比值也會有新的定義.我們再來探究一下兩條直角邊的比值情況.

這樣就自然的引出了正切的定義：tanA=∠A的對邊∠A的鄰邊=

設(shè)計意圖：正弦的概念是師生經(jīng)歷一系列探究之后給出的，采用了常見的講授方式.余弦和正切的給出改變了傳統(tǒng)的方式，緊緊抓住“比值不變性”層層推進，自然生成.通過∠B的正弦得出∠A的余弦，不僅教會學(xué)生通過已知探究未知的方法，同時也得到互余兩角正余弦的特殊關(guān)系，為高中階段的學(xué)習(xí)鋪墊了思想方法.同時，本環(huán)節(jié)還充分考慮學(xué)生的認知和思維習(xí)慣，余弦和正切的引入并沒有沿用正弦的引入方式，而是在學(xué)生列舉出所有可能出現(xiàn)的比值情況下教師加以引導(dǎo)自然生成，同時對學(xué)生可能產(chǎn)生的疑惑（為什么只研究三種比值）給予很好的說明.這種“大學(xué)材”觀不僅培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)散性的思維方式，同時也滲透了整體教學(xué)的思想.

三、概念延伸，知識與文化并舉

本節(jié)課的課題是銳角三角函數(shù)，而很多教師往往局限于正弦、余弦和正切的概念講授及簡單運用.很少會涉及到函數(shù)層面，即便有也是一帶而過.事實上，從知識的功能來看，本節(jié)課的一項重要任務(wù)就是通過對三角函數(shù)知識的學(xué)習(xí)來達到對函數(shù)的再延伸、再深入，而在教科書上也有一處旁白（如圖5）提示，值得我們?nèi)リP(guān)注和思考.

1.用列表的方式引入三角函數(shù)

以sinA為例，讓學(xué)生回憶幾個特殊角的正弦值.

∠A 30° 45° 60°sinA

師：請同學(xué)們想一想如果不是一個特殊角，我們又如何求出其正弦值呢？

生1：根據(jù)角度畫出直角三角形，測量該角對邊和斜邊后再計算比值.

生2：借助計算器計算.

師：測量法求值是一種很煩瑣的方法，而且還有誤差.使用計算器計算比較精準(zhǔn)而且很快.無論采用那種方式，只要給出一個銳角就一定會有唯一的正弦值與之對應(yīng).這種對應(yīng)關(guān)系和之前學(xué)習(xí)的函數(shù)是一樣的.因此，我們通常把sinA叫作A的函數(shù)，即為正弦函數(shù).同理，也把cosA和tanA分別叫作A的余弦函數(shù)和正切函數(shù).

2.從圖像的角度認識三角函數(shù)

圖5

教師利用幾何畫板畫出y=sinA（0≤∠A≤3π）的圖像，引導(dǎo)學(xué)生觀察和認識正弦函數(shù)圖像，如圖6.并補充說明：我們也可以用同樣的方法畫出余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖像，也可以像研究其他函數(shù)一樣去研究三角函數(shù)的性質(zhì)，進入高中后我們會進一步學(xué)習(xí).

圖6

3.從歷史發(fā)展的角度了解三角函數(shù)

用幻燈片呈現(xiàn)出教材P70“閱讀與思考”材料——一張古老的“三角函數(shù)”，以此增進學(xué)生對三角函數(shù)的發(fā)展歷史和應(yīng)用領(lǐng)域的了解，增長見識，提升文化素養(yǎng).

設(shè)計意圖：在教材旁白的提示下，以特殊角的正弦值為切入，通過簡單的列表形式讓學(xué)生感受到角度的變化引起正弦值變化的事實.類比已學(xué)過的函數(shù)知識，讓學(xué)生很容易接受三角函數(shù)這一新概念.借助幾何畫板現(xiàn)場畫出正弦函數(shù)圖像，讓學(xué)生從形的角度感知三角函數(shù).這樣多維度的探究和學(xué)習(xí)，既體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系性，又體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的嚴謹性.本環(huán)節(jié)還鏈接了課后資源“閱讀與思考”，其在教學(xué)過程中起著拓展視野和提升文化素養(yǎng)的作用.

四、習(xí)題設(shè)置，知識與能力共生

課堂上，習(xí)題的設(shè)置既為了鞏固知識，更為提升學(xué)生的能力.可是，我們的課堂上往往只關(guān)注了知識的運用，卻忽略了能力的培養(yǎng).新課標(biāo)指出：培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力（以下簡稱“四能”）是數(shù)學(xué)課堂的重要使命.為此，本環(huán)節(jié)做了大膽的嘗試，不給學(xué)生預(yù)設(shè)固有的題目，只給出題目的基本條件和圖形（如圖7），讓學(xué)生以小組為單位利用剛學(xué)過的知識各自提出2-3個問題，每個小組代表向同學(xué)們展示本組所提出的問題，發(fā)動其他小組的同學(xué)去思考并嘗試解決.

例 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜邊AB上的高，BC=5，AC=12.

各小組經(jīng)過探究后，依次展示自己的問題，并給出解題思路.許多問題大大超出了預(yù)設(shè)，生成了許多寶貴的資源.這些問題的生成成為課堂上重要的學(xué)材資源，極大地提升了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)了合作學(xué)習(xí)的能力.

展示環(huán)節(jié)結(jié)束后，教師應(yīng)給予點評和歸納，引導(dǎo)學(xué)生如何在直角三角形中利用勾股定理和三角函數(shù)建立邊邊關(guān)系、邊角關(guān)系.并指出在五個元素（兩個銳角和三條邊）中，如果知道其中兩個元素（至少有一條邊），可以求出其他元素.

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)課堂不僅只關(guān)注知識本身，還要通過知識的學(xué)習(xí)和運用提升學(xué)生的“四能”.僅有預(yù)設(shè)的問題就無法實現(xiàn)”四能”的全面協(xié)調(diào)發(fā)展.本環(huán)節(jié)，學(xué)生在現(xiàn)有條件的基礎(chǔ)上提出許多寶貴的問題，增加了許多寶貴的課堂資源，不僅實現(xiàn)了對新知識的鞏固和運用，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的主觀能動性和學(xué)科素養(yǎng).

圖7