精心構思習題講評，預設鋪墊相機追問
——以中考較難題習題講評為例

☉浙江省紹興市上虞區謝塘鎮中學 陳 燁

中考二輪復習期間，備課組內決定開展含參函數綜合題的復習，以應對目前這類熱點考題.經過認真篩選，我們選用了一道“含參”考題進行復習，并圍繞該題進行一些教學改編與鋪墊式設問，取得了較好的教學效果.本文整理了該課的教學素材，以分享給各位同行.

一、考題及思路突破

考題 已知二次函數y=ax2+bx+t-1，t＜0.

（1）當t=-2時，

①若函數圖像經過點（1，-4），（-1，0），求a，b的值.

②若2a-b=1，對于任意不為0的實數a，是否存在一條直線y=kx+p（k≠0），始終與函數圖像交于不同的兩點？若存在，求出該直線的表達式；若不存在，請說明理由.

（2）若點A（-1，t），B（m，t-n）（m＞0，n＞0）是函數圖像上的兩點，且S△AOB=0.5n-2t，當-1≤x≤m時，點A是該函數圖像的最高點，求a的取值范圍.

思路突破：（1）①當t=-2時，二次函數解析式中只有兩個參數a，b.把（1，-4），（-1，0）分別代入y=ax2+bx-3，解出方程組得a=1，b=-2.

②利用條件2a-b=1，先將原函數解析式中的參數消去一個，即y=ax2+（2a-1）x-3.這時認真分析該解析式特點，可得出兩個數對，與參數a無關，即當x=-2時，y=-1；當x=0時，y=-3.

故二次函數圖像一定經過兩個定點（-2，-1），（0，-3）.

于是當直線y=kx+p（k≠0）恰經過（-2，-1），（0，-3）時，可解出該直線表達式為y=-x-3.

當然此時直線y=-x-3始終與二次函數圖像交于（-2，-1），（0，-3）兩點，是符合題意的.

（2）先把A（-1，t）代入二次函數解析式y=ax2+bx+t-1中，可得用含a的代數式表示b=a-1.這樣二次函數解析式為y=ax2+（a-1）x+t-1.

接下來結合A（-1，t），B（m，t-n）（m＞0，n＞0），可以畫出如下草圖（如圖1）進行分析，注意在構圖時各點的位置需要想清，“形”的位置由一些數或字母的正、負控制著.

圖1

解得m=3.這是一步重要進展，在此基礎上，-1≤x≤3也得到確認.

接下來想清兩點的坐標為A（-1，t），B（3，t-n）.

由n＞0，有t＞t-n.分拋物線開口向上或向下的不同情況進行分類思考：

當a＞0時，構造符合要求的兩種草圖（如圖2，圖3）.

圖2

圖3

從圖2，圖3上容易看出，二次函數圖像的頂點為最低點，當-1≤x≤3時，若點A為該函數圖像最高點，則yA≥yB，于是把A（-1，t），B（3，t-n）代入y=ax2+（a-1）x+t-1，得t=a-（a-1）+t-1，t-n=9a+3（a-1）+t-1.

因為t＞t-n，所以a-（a-1）+t-1＞9a+3（a-1）+t-1.

當a＜0時，由t＞t-n，可構造符合要求的草圖，如圖4所示，

注意：在拋物線向下時，若A，B在對稱軸的異側，當-1≤x≤3時，圖像的最高點是拋物線的頂點而不是點A；

圖4

解后反思：第（1）②問還可以“走向一般”，當直線與二次函數圖像相交時，有kx+p=ax2+（2a-1）x-3.整理可得ax2+（2a-k-1）x-3-p=0.可得Δ=（2a-k-1）2+4a（3+p）.

化簡可得4a2-4a（k-p-2）+（1+k）2＞0.

若直線與二次函數圖像始終有兩個不同的交點，則△＞0.因為無論a取任意不為零的實數，總有4a2＞0，（1+k）2≥0

所以當k-p-2=0時，總有Δ＞0. 可取p=1，k=3……

所以，對于任意不為零的實數a，存在直線y=3x+1始終與函數圖像交于不同的兩點.

第（2）問有幾處關鍵步驟：第一，是消參；第二，構造草圖分析△AOB的面積，用不同的方式表示，溝通等量關系，求出m=3；第三，數形結合分析a的取值范圍（注意拋物線開口向上或向下進行討論）.

二、解題教學微設計

教學環節（一）基礎熱身

例1 在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx-3經過點A（1，-4），B（-1，0）.

（1）求a，b的值；

（2）求該拋物線的對稱軸；

（3）求△AOB的面積；

（4）求AB所在直線解析式，并寫出該直線與y軸的交點坐標.

教學環節（二）拾級而上

例2在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx-3，經過點C（-2，-1）.

（1）若該拋物線對稱軸為x=1，求a的值.

（2）分析拋物線會經過哪兩個定點？

（3）對于任意不為0的實數a，是否存在一條直線y=kx+p（k≠0），始終與函數圖象交于不同的兩點？若存在，求出該直線的表達式；若不存在，請說明理由.

教學環節（三）挑戰難題

例3已知平面直角坐標系xOy中，二次函數y=ax2+bx+t-1，t＜0.它的圖像經過點A（-1，t），B（m，t-n）（m＞0，n＞0），且S△AOB=0.5n-2t.

（1）求證：a-b=1；

（2）分別指出點A，B所在象限，說說你的理由；

（3）求m的值；

（4）當-1≤x≤m時，點A是該函數圖像的最高點，求a的取值范圍.

三、教學立意解讀

第一，精心構思，拉長學程，讓重點習題的講評從快思走向慢想

對于重點習題的講評，老師們肯定是非常重視的，大家都有不同的招數或絕活，比如有些老師精講、細講，然后安排學生整理過程再檢查，有些老師講評之后再進行變式檢測等等，都是非常有效的教學方式.我們對這道考題的教學實踐表明，在課前精心構思，基于教者對習題的深刻理解，預設一些問題串，讓學生經歷基礎熱身，拾級而上，挑戰難題的全過程，也就使得這類習題的講評從學生“快思”走向了“慢想”.拉長學程的同時，也讓學生對這類問題的結構加深了理解.

第二，預設鋪墊，相機追問，讓更多學生參與較難習題思路突破

在預設這類習題課時，既要分出幾個不同層次的教學環節，又要根據學情、學程，在教學過程中相機追問學生對一些問題的理解，而不是機械教條地執行教學預設.這類習題教學的總體教學追求是讓更多學生都能參與到課堂中來.而不能只是少數幾個優秀學生參與“題”中.比如，在例題2教學時，根據學情可相機引導學生思考，如何“走向一般”，這樣的直線只有一條嗎？只要k，b滿足怎樣的等量關系，直線與拋物線就一定有兩個不同交點？如果學生有困難，可以賦一些特殊數組進行計算研究，再“走向一般”給出證明.