“含參”題復習用力點：重視運算化簡的訓練
——一道“含參”考題解析與微教學設計

☉江蘇省張家港市梁豐初級中學 于景秋

近年來隨著大家對“偽函數”考題（以函數圖象為背景，實質考查的是幾何基本圖形的繁難構造與推理證明）的批判，一類含參數的壓軸題漸漸成為不少地區的命題熱點，這類考題抽象、晦澀，考生往往止步于草圖構造，含多個參數的運算與變形，使得不少學生面對這類問題常常感到無從下手，這就需要老師們精心構思，自己先要加深對這類考題的理解程度，然后再設計鋪墊式問題帶領學生深度參與、學會解題.本文結合某地區的一道中考模考的含參壓軸題，先給出思路突破，再跟進教學微設計，提供研討.

一、考題與思路突破

考題 如圖1，拋物線y=ax2+bx（a＞0，b＜0）交x軸于O，A兩點，頂點為B.

（1）直接寫出A，B兩點的坐標（用含a，b的代數式表示）；

（2）直線y=kx+m（k＞0）過點B，且與拋物線交于另一點D（點D與點A不重合），交y軸于點C，過點D作DE⊥x軸于點E，連接AB，CE，求證：CE∥AB；

（3）在（2）的條件下，連接OB，當∠OBA=120°，時，求的取值范圍.

圖1

（2）先構造可能的草圖分析（如圖2或圖3），過點B作BF⊥OA于F點.接下來明確解題目標（求解方向），待證的AB∥CE，只要求出這兩條直線與x軸形成的同位角相等（∠FAB=∠OEC）即可.而這組同位角恰在兩個直角三角形（Rt△ABF，Rt△OCE）中，只要能證明兩個直角三角形相似或者這兩個同位角的三角函數值相等都可實現問題的解決.由（1）中B，結合a＞0，b＜0，k＞0的已知條件，可得，所以在Rt△ABF中，tan∠FAB=-.

圖2

圖3

所以tan∠FAB=tan∠OEC，所以∠FAB=∠OEC，即AB∥CE.

圖4

至此轉向對另一個條件“∠OBA=120°”的解讀，如圖4，在Rt△ABF中，tan∠BAF=tan30°=，而前面（2）中已求tan∠BAF=-.于是-，解出b=-.

解后反思：本題主要難點在于含參的運算、變形，如在第（2）問中，用含3個參數的式子求出直線與y軸交點坐標另外將直線與拋物線聯立求出交點D的橫坐標也是關鍵步驟.這些含多個參數式子不但在第（2）問是重要進展，在第（3）問求線段比值也需要，對含參數的運算變形提出了很高的要求.

二、解題教學微設計

教學環節（一）基礎熱身

例1 如圖1，拋物線y=ax2+bx（a＞0，b＜0）交x軸于O，A兩點，頂點為B.

（1）當OA=2時，直接寫出拋物線的對稱軸方程；

（2）求A，B兩點的坐標（用含a，b的代數式表示）；

（3）連接AB，當b=4時，求tan∠BAO的值；

（4）若△AOB是等邊三角形，求b的值.

設計意圖：第（1）問先感受拋物線對稱軸與OA的關系；第（3）問為后面問題（原考題第（2）問）設計鋪墊、熱身；第（4）問對應著原考題第（3）問“∠OBA=120°”.此環節不僅可以滿足所有學生的需求，還可以為后續的活動鋪墊，起到承上啟下、激發學生興趣的效果.

教學環節（二）抬級而上

例2 如圖2，拋物線y=ax2+bx（a＞0，b＜0）交x軸于O，A兩點，頂點為B.直線y=kx+m（k＞0）過點B，且與拋物線交于另一點D（點D與點A不重合），交y軸于點C.過點D作DE⊥x軸于點E，連接AB，CE.

（1）求tan∠BAO的值（用含b的代數式表示）；

（2）求點C的坐標（用含a，b，k的代數式表示）；

（3）求點E的坐標（用含a，b，k的代數式表示）；

（4）求證：CD∥AB.

設計意圖：前面3問都是為第（4）問設計的鋪墊式問題，結合（2）（3）問學生就可以想到求tan∠OEC的值.此問旨在漸進式提升，一方面對前面的問題進行鞏固與變式、拓展與提升，另一方面開啟學生新的思維征途，滿足學生更高層面的發展需要.

教學環節（三）挑戰難題

例3 題干部分同“例2”.連接OB，且∠OBA=120°.

（1）求b的值；

設計意圖：為了學生能順利解決最后一問，設計了兩個鋪墊問題.這兩個問題從廣度和深度上進一步滿足學生發展與提升的需要.

教學環節（四）變式再練

變式題 如圖5，直線y=kx（k＞0）與拋物線y=ax2（a＞0，b＜0）交于O，A兩點.

（1）直接寫出A點的坐標（用含a，k的代數式表示）；

（2）直線y=b（b＞0）交拋

物線于C，B兩點，過B作BD⊥x軸，交直線y=kx于D點，過點A作AE⊥x軸于E點，連接OC，DE，判斷直線OC與DE的位置關系，并說明理由.

設計意圖：變式不僅是一種有效的鞏固，更是一種有效的拓展與提升，其不僅可以考查學生對知識與技能的掌握深度，還能激發學生進一步發散思維，拓展思維寬度和廣度.

圖5

三、進一步的思考

第一，加強含參題教學研究，重視含參運算能力訓練

隨著命題風向與熱點的轉移，含參考題是不少地區中考復習訓練的重要任務.如何提升這類考題的教學效果？我們不能盲目地以題海戰術來取勝，而應該將含參考題進行分解，逐個擊破.一般來說，多參數問題總體解答方向都是需要通過較為繁雜的運算來實現“消參”的目的.特別是，學生對含參運算普遍感覺吃力，這時就需要安排小專題復習，訓練含參數的方程或整式、分式的變形與化簡或求值.

第二，精心預設鋪墊式問題，助力學生自主發現思路

對于較難的含參考題往往第（2）、（3）問之間拉開較大距離，這里學生不容易找到臺階、發現鋪墊，或者是對某一個條件的忽略與無視，以致沒有思路.這里解題教學時，要在這些學生易忽略、難解析的條件上設置鋪墊，讓學生充分解讀這些條件的價值與可能帶來的圖形位置或某參數的值.值得一說的是，不少學生關于解題方向的明確也是值得訓練的，有些題的設問非常隱蔽，“言東而指西”，需要認真解讀、轉化設問，明確真正的解題目標.像本文中考題最后一問，解析目標實質上是分析出

在應試教育制度背景下，我們的教學離不開題目的訓練與檢測，但是，如果我們深入分析教學內容的價值，鎖定習題的方向與價值，不斷的實踐和優化習題的價值，將知識與技能與數學的學科價值相融合，開啟核心素養落地生根的新征途，筆紙化考查制度將會插上素質教育的雙翅，飛得更高、更遠.