關注學生基本活動經驗，讓數學思想落地生根

朱禮娜

【摘要】數學思想與活動經驗不是兩個孤立的系統，數學基本活動經驗為數學思想的落地生根提供了沃土，數學思想同時也豐盈著學生的基本活動經驗體系。文章旨在結合具體案例，從系統角度關注學生經驗動態積累的不同階段，重新審視每個課時教學的核心價值，進行相關教學實踐嘗試，促進學生體悟數學思想，發展數學核心素養。

【關鍵詞】基本活動經驗；數學思想；課時教學核心價值

《多邊形的面積》是蘇教版五上的一個教學單元，本單元教學存在兩條教學主線，明線為引導學生經歷平行四邊形的面積、三角形的面積及梯形的面積的具體推導過程，暗線實為體悟轉化的數學思想。只有根植于活動經驗的沃土之上，數學思想才能落地生根。如何避免學生推導經驗在同一層面的簡單重復，促進其數學思想體悟的不斷升華，筆者做了以下幾點嘗試。

一、喚醒已有經驗，體會轉化思想

學生的學習，總是建構在一定的認知結構與經驗之上的。學生在研究圖形周長時，已初步積累了等長變形的轉化經驗；在長方形和正方形面積的拓展練習中，也初步感受了等積變形的轉化思想。所以，在《平行四邊形的面積》教學中，教師先引導學生回憶長方形的面積推導過程后，直接出示格子紙中的平行四邊形，讓學生數出面積。

【教學片斷1：平行四邊形面積的教學】

師：你能數出平行四邊形的面積嗎？

生1： 生2：

生3：

師：同學們都善于去智慧地數，這3種方法有共同之處嗎？

生4：他們都用了剪拼的方法。

生5：他們都是把未知圖形轉化成了我們已經學過的圖形。

師：把未知轉化成已知，是我們數學中重要的思想方法。你更喜歡哪一種轉化的方法？

生：我更喜歡第3種方法，這樣轉化更簡單。

師：是不是所有的平行四邊形都可以轉化成長方形？請任意選擇一個平行四邊形試一試。

1.根植概念本質，以研究單為探究支撐

面積計量的本質是計量其包含單位面積的數量，學生已經經歷了長方形和正方形的面積公式的探索過程，積累了單位面積計量的經驗。本課教學中，教師設計研究單，出示含單位面積的平行四邊形，不滿格的認知沖突喚醒了孩子的轉化經驗，驅動起學生探究的有效展開。

2.進行方法比較，凝練體會轉化思想

教師組織學生交流方法，注重引導學生進行方法比較。其一引導學生進行方法類比，“這3種方法有什么共同之處”，使得孩子體會到轉化思想的本質這些方法都是將未知圖形轉化成了已知的圖形。其二引導學生進行方法對比，“你更喜歡哪種方法”，在方法優化中使學生將研究的視角聚焦到沿高剪拼的轉化方法上。

二、豐盈轉化經驗，體會推理思想

數學思想與基本活動經驗不是兩個孤立的系統。學生經歷了《平行四邊形的面積》課時學習后，體會了等積變形轉化思想，這種轉化的思想也成為后續探究的基本經驗。與平行四邊形面積不同，一般三角形的等積變形轉化對于學生而言困難得多。教師在設計研學單時，先鼓勵學生用自己的方法轉化三角形，同時也提供了材料（若干組相同的三角形）支撐學生去探究，以期使不同層次的學生得到不同的發展。學生的方法統計如下（36人，有人使用了多種方法）：

方法 圖例 人次

方法1：利用材料，把兩個完全相同的三角形拼成平行四邊形 25人

方法2：將等腰三角形轉化成長方形 9人

方法3：將直角三角形轉化成長方形 2人

方法4：將一般三角形轉化成長方形 2人

方法5：將一般三角形轉化成平行四邊形 2人

方法6：將一般三角形兩次轉化為長方形

1人

不會研究、研究錯誤 2人

【教學片斷2：三角形面積的教學】

生1：我將三角形沿著高剪，能拼成平行四邊形形。

生2：這根本就不是平行四邊形，這組對邊不平行。

生3：上下一組對邊不相等，這不是平行四邊形。

生4：只有我這樣的等腰三角形，才能剪拼成長方形。

生5：我也是將等腰三角形剪拼成長方形的，但方法跟他不一樣。

生1圖： 生4圖：

生5圖：

師：還有同學是把直角三角形轉化成長方形的。

生6交流：

師：有了這么多的例子，我們是否可以得到結論——任意一個三角形都能轉化成長方形？

生7：不可以，因為剛剛同學們轉化的都是特殊的三角形，我們應該研究一些普通的三角形。

師：是的，我們只是研究了一些特殊的例子，還不足以得出結論。小組交流，我們還可以用怎樣的方法來進行轉化？

（小組1交流：

小組2交流：）

重點組織小組3交流：

成員1：我們把全相同的銳角三角形、兩個完全相同的鈍角三角形拼成了平行四邊形。

成員2：我們發現兩個完全一樣的直角三角形可以拼成平行四邊形，也可以拼成長方形

師：你們覺得這組的研究怎么樣？

生9：我覺得他們組把所有種類的三角形都研究了，研究得比較全面。

生10：我想對他們組發言做個補充，其實長方形也是特殊的平行四邊形。

生11：他們也都是將未知圖形轉化成已知圖形，平行四邊形的面積要除以2才是三角形的面積

師：我們將兩個完全相同的銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形都拼成了平行四邊形，由此推斷出任兩個完全相同的三角形可以拼成平行四邊形。你會選擇哪個小組的方法，推導出三角形的面積公式？

生12：我選擇第3小組的方法，這種方法更清楚地看出三角形的底是平行四邊形的底，三角形的高是平行四邊形的高。

生13：我也認為第3小組的方法更好推導，不過要注意最后要把平行四邊形的面積除以2。

（學生嘗試推導三角形的面積公式，教師組織交流）

師：回憶我們推導平行四邊形面積公式的過程，與今天研究三角形面積公式的過程有什么相同之處？

生14：它們都是把我們沒有學過的圖形轉化成我們已經學習的圖形。

生15：轉化完了之后，我們都要分析轉化前后兩個圖形之間有什么聯系。

1.嘗試運用，讓等積變形經驗更為豐滿

對于三角形面積公式的推導，有相當一部分學生能運用等積變形的經驗將三角形轉化為已知圖形，其中方法2與方法3是將特殊三角形轉化為已知圖形，方法4、方法5、方法6的方法是將一般三角形轉化為已知圖形。這些方法不僅詮釋了學生對轉化思想的創造性運用，也使得學生對等積變形轉化的體驗更為豐滿。

2.加倍轉化，擴展豐盈轉化經驗體系

大多數學生基于已有經驗嘗試等積變形失敗，原有經驗平衡被打破。學生選擇利用教師提供的材料進行轉化，將兩個完全相同的三角形拼成平行四邊形，在過程中體會到了加倍轉化的價值所在。從等積變形轉化到加倍轉化，學生對轉化思想的體悟逐步走向深厚。與此同時，原有的轉化經驗體系進一步得到擴展與豐盈。

3.由特殊到一般，讓歸納推理更為理性

基于先研后導的教學模式，淡化教師課堂教學的設計痕跡，給學生充分的探究空間，學生先行研究出現了6種方法。其中有6人只進行了等腰三角形到長方形的轉化，可見部分孩子將某個特例的轉化推導歸結為一般情況。基于此，教師組織學生交流方法時，注重對學生的作品進行分層呈現，首先交流等腰三角形、直角三角形的轉化，使學生體會到某個特例不能代表一般。接下來，小組進行討論匯報，重點交流并評價加倍轉化方法，學生體會到考慮不同類型的三角形進行轉化，使得歸納推理更科學、更嚴謹。

4.加強理性經驗的類比，實現方法層面與思想層面提升性

歸納推理可以幫助學生培養預測結果和探究的能力，主要包括兩種方法，歸納法和類比法。在經歷了三角形面積公式的推導之后，教師引導學生通過與平行四邊形面積公式的推導過程進行類比，分析其共性化的東西，實現了基本數學思想的提升——對轉化的深層體悟，也實現了探究方法的提升——先轉化，再抓住轉化前后圖形在底、高、面積上的聯系進行推導。

三、靈活運用思想，提升數學核心素養

經歷了平行四邊形、三角形的面積探究，學生已經積累了豐厚的空間想象、轉化、推理的經驗。基于此，《梯形的面積》一課教學，教師完全放手，讓學生自主轉化，自主推理。學生的方法統計如下（36人，有人使用了多種方法）。

方法 圖例 人次

①用兩個完全相同的梯形拼成平行四邊形

30人

②將梯形轉化成兩個三角形

7人

③將梯形轉化成一個三角形與一個平行四邊形

3人

④將梯形轉化成1個三角形

3人

⑤將梯形轉化成長方形

2人

⑥將等腰梯形轉化成長方形 1人

⑦不會研究 1人

【教學片斷3：梯形面積的教學簡錄】

師：你是怎么推導出梯形的面積公式的？誰愿意跟大家分享你的研究過程？

生1：我將梯形轉化成兩個三角形，我們發現梯形的上底就是左邊三角形的底，梯形的高就是左邊三角形的高。梯形的下底就是右邊三角形的底，梯形的高就是右邊三角形的高。所以，梯形的面積=上底×高÷2+下底×高÷2

生2：用兩個完全相同的梯形可以拼成一個平行四邊形。分析推導出公式：梯形的面積=（上底+下底）×高÷2

生1方法 生2方法

生3方法

生3：我的方法更簡單，把梯形轉化成三角形。三角形的底就是梯形的上下底之和，三角形的高就是梯形的高。所以，梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。

（全班響起掌聲）

生4：我將梯形直接轉化成了長方形，長方形的長，就是梯形的上下底之和除以2，長方形的寬就是梯形的高。所以，梯形的面積=（上底+下底）÷2×高。

生4方法

生7方法

生5：我有個疑問，長方形的長為什么就是梯形的上下底之和除以2呢？

師：這是一個很好的問題，數學學習要保持理性精神多問為什么。

生4：我也說不清楚，感覺是。

生6：哦，我知道了。這有點像我們之前學習平均數時用的移多補少，把下底多的2部分移給上底，長方形的長就是上下底的平均數。（全班響起掌聲）

生7：我將梯形轉化成一個平行四邊形與一個三角形。

分析推導出公式： 梯形的面積=上底×高+（下底-上底）×高÷2

生8：這樣轉化，推導的公式太復雜了。

師：同學們真了不起想出了這么多種方法，你最喜歡哪一種方法？

生9：我最喜歡第3種的方法，因為他的方法很巧妙，推導過程很簡單。

生10：我最喜歡第2種的方法，只要用兩個完全一樣的梯形就能拼出平行四邊形，這種方法很簡單，而且很容易找到圖形之間的聯系。

1.原生探究，自主設計探究過程

本課教學中教師沒有提供研究單，“你們準備怎么探索梯形的面積公式”，學生自主設計研究過程。絕大多數學生都能先將梯形轉化成已知圖形，再尋找轉化前后圖形之間的聯系，推導出公式。

2.基于建模，選擇適宜的轉化方法

梯形面積的推導，學生的轉化途徑是多樣的，可以將梯形分割轉化為已學圖形的組合（如方法2、方法3），可以將梯形利用等積變形轉化為已學圖形（如方法4、方法5、方法6），可以將梯形加倍轉化為已學圖形（如方法1）。經歷公式自主推導的過程，通過方法對比，引導學生體會到轉化的落腳點在于建構求圖形的面積一般模型（即公式）。基于公式推導，應選擇適宜的方法進行轉化。

3.運用交流，融合發展數學素養

在原生探究空間中，學生生成了多種富有個性的轉化方法，發展了空間想象能力。這些個性化的轉化（如方法3、方法4、方法5）也使得轉化前后圖形之間的關系更為隱蔽，推動著學生進行更為復雜的邏輯推理。學生隨機自愿交流各種方法，教師并未進行特定的預設。在自由安全的交流氛圍中，生生互動補充、質疑，思維不斷走向深刻，數學素養得到了進一步發展。

體悟轉化的數學思想是《多邊形面積》單元教學的靈魂。基本活動經驗為數學思想的落地生根提供了沃土，數學思想同時也豐盈著學生的基本活動經驗體系。關注學生不同階段的經驗動態積累，重新審視每個課時教學的核心價值，才能有效地設計相關教學活動。從大問題引領的學生自主探究到無問題引領的學生原生探究，教師對每個課時教學的干預在逐步減弱，學生的數學學科素養卻在不斷提升。

【參考文獻】

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