基于“建模思想”的農村初中數學教學策略研究

張躍

[摘 要] 數學建模是數學學科的重要思想，也是數學教學的重要內容. 農村初中生由于生活經驗對數學知識構建與問題解決支撐作用相對薄弱，因此更需要基于數學模型來獲得數學認知. 將數學建模上升為建模思想，進而基于建模思想尋找數學教學的有效策略，是有價值的選擇. 建模思想首先面向教師，同時面向學生. 建模思想下的農村初中數學教學策略可由關注實例策略、建模的直覺意識培養策略，以及學習反思策略等組成.

[關鍵詞] 農村初中；初中數學；建模思想；教學策略

建模對于數學教師來說并不是一個陌生的詞匯，無論是在課程改革中，還是在核心素養的背景下，數學建模歷來都是數學教學的一個中心任務. 目前，對數學建模的理解基本上可以分為兩個層次：一是其基本含義，即數學建模就是建立數學模型（其間會用到數學抽象、邏輯推理等方法，同時也涉及數學符號與數學語言的具體運用）；二是其在問題解決中的應用含義，即數學建模被理解為運用數學模型解決實際問題的過程，這里同樣涉及對實際問題的抽象、簡化等. 筆者從教于農村初中，深感農村初中孩子所具有的知識面相對狹窄，但生活經驗卻相對豐富，且邏輯推理能力并不比城區學生弱的特點，于是考慮將數學建模上升為“建模思想”，以使其成為數學教學的主線索，從而驅動農村初中數學教學有效化. 同時在實踐中，堅持在這樣的思路下總結相應的教學策略，最終形成如下三點認識.

從建模到建模思想，是教學策略形成的源頭

數學建模在很多教師的意識中，更多的是以教學方法、教學模式等形式存在的，這種物化的思路可以讓學生在建模具體的數學知識時表現出較大的效益，但從整個學生學習的過程來看，如果將建模上升為建模思想，并使之成為教師主要的教學思路之一，就可以讓數學教師立足于一個堅實的基礎之上，并由此衍生出更為有效的教學策略.

其實，關于模型思想，著名數學教育家史寧中教授在解讀《義務教育數學課程標準》的時候，就重點強調了其中的一點，即“要初步形成模型思想”. 這樣的界定使筆者意識到建模思想既應當是教師的教學思路，也應當是學生數學學習的重要思路. 即教師所建立的建模思想最終要變成學生的數學學習意識，才可以更好地驅動學生建構數學知識.

那么，建模思想到底是一種什么樣的思想呢？筆者在實踐的基礎上建立的理解是這樣的：教師在教學中，有兩個基本認識. 其一，一個數學概念或規律的建立，需要讓學生經歷分析生活事例并進行抽象，且要努力放大這樣一個學習過程. 即數學教學不僅要立足于數學知識的形成結果，還要注重其生成過程. 譬如，教學“勾股定理”時，如果本著應試的思路，那只要讓學生記住a2+b2=c2就行了，因為很多習題就是靠這個關系式獲得解決的（實際教學中，本著這樣的思路，是可以取得應試的成功的）. 但從學生數學學科核心素養提升的角度來看，這樣的教學顯然不可取. 勾股定理是初中數學中為數不多的有著數學探究與數學文化意蘊的內容之一，經歷實例分析與抽象，再得出勾股定理，這樣的教學過程更容易讓學生形成立體認識，也能夠在學生的思維中生成關于勾股定理的模型（包括表象與解題思路），從而為其后的問題解決奠定基礎. 其二，一個數學問題的解決，要重點突出其中模型運用的過程. 只有教師立足于數學模型的建立，而不是簡單地獲得問題的答案時，其教學思路才有可能集中在數學模型之上，這樣的教學重心與思路的確立，才是模型思想及其相應教學策略形成的基礎.

學生學習時，保證建模思想及其策略落地的關鍵，在于學生要能夠在具體的學習過程中體會數學模型建立的過程，并且能夠體驗到其效用，必要的時候要將建模思想由隱性方式向顯性方式轉變，即讓學生清晰地認識到自己所獲得的數學概念與所解決的數學問題，就是靠模型思想才得以成功的. 這種基于建模思想而獲得的非智力因素動力，是建模思想及其策略發揮作用的重要保證.

建模思想衍生策略，是教學策略運用的途徑

那么，在具體的教學中，如何基于建模思想生成有效的教學策略呢？筆者通過總結，提出如下三點策略供同行們批評、指正.

1. 關注實例策略

建模本身是從實例到模型的一個抽象、推理過程，如果失去了對實例的關注，那教師所建立的建模思想及策略就不可能真正落地. 關注實例，最好是關注具有生活與數學意義兼具的實例. 例如，教學“勾股定理”時，教師常常會基于畢達哥拉斯在朋友家研究地磚的故事建立勾股定理，但到了勾股定理的應用中，就變成了海量的習題訓練. 從數學模型建立與應用的角度來看，這樣的思路顯然有些虎頭蛇尾. 筆者在得出勾股定理之后，沒有立即轉向習題，而是給出了這樣一個實際問題：在講臺上豎立一根柱子（已知其高度與周長），然后在其上繞線，問學生如何估算所繞線的長度.

這個問題來自一個中國古代問題：木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何. 題意是：如圖1，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B處，則葛藤的最短長度是多少尺？實際教學中，可直接向學生呈現此問題，筆者之所以做改編，是想讓學生有親切感（這更符合初中生數學學習的心理需要）. 而在此刻向學生呈現這一實際問題，很容易培養學生帶著勾股定理的思路去關注實例的習慣.

2. 基于建模的直覺意識培養策略

真正有效的建模思想教學策略，一定需要培養學生良好的數學直覺，也只有學生帶著數學直覺去關注事物時，才能說數學建模的思路得到了確立. 在上例中，帶有數學實驗性質的體驗過程，可以讓學生經歷一個較為全面的實例獲得過程（因為筆者具體做的時候，柱子側面是有一條直線的，繞線時特地提醒學生出發點和終點就在這根直線的端點上）. 學生需要思考的是繩子的長度與已知柱子的高度及底邊周長有什么關系. 由于沒有直接的直角三角形存在，因此學生還需要重點思考直角三角形從哪里來. 這個構思直角三角形的過程，其實正是建模直覺意識培養的關鍵. 因為構思直角三角形的過程，就是學生帶著勾股定理應用去尋找、發現直角三角形的過程.

3. 學習反思策略

學習反思存在于數學概念建構成功或問題解決成功之后，類似于一個“反芻”的過程，而這正是初中生數學學習的一個盲點. 很多學生在得出數學概念之后，在問題解決之后，都會下意識地認為學習已經結束. 而如果此時強調學習反思策略，讓學生重整自己的學習或問題解決思路，就可以讓學生原本的數學思維清晰化，更可以讓學生認識到數學建模在此過程中所起的重要作用. 比如上面的例子中，當學生發現“放開的繩子”與柱子的高、底邊周長的圈數倍數構成直角三角形的斜邊、高、底邊時，就會意識到勾股定理在這個問題解決中的存在. 這樣的反思，可以提純學生的思維，將思路牢牢鎖定在勾股定理上，而這就是數學模型在問題解決中進一步清晰化的關鍵之舉.

這里需要特別注意的是，當面向的學生是農村學生時，很多時候需要關注他們原有的生活經驗與認知方式，給予他們更多熟悉的事例，幫他們建立有效的表象，這樣才能驅動他們并不遜色于城區學生的數學思維，從而完成數學模型建構，進而解決數學問題.

建模思想驅動教學，是教學策略研究的關鍵

研究建模思想背景下的農村初中數學教學策略，最關鍵的一個抓手，是以建模思想驅動教師的教學. 而這就意味著教師教學思路的轉變，意味著教學習慣的重新打造，意味著課堂教學范式的重新建構.

數學建模原本就是一個容納了數學基礎知識、基本技能、基本思想方法與基本活動經驗的綜合性過程，數學建模銜接著學生的原有數學基礎、生活經驗與新學數學知識的關系，又銜接著數學知識與問題解決之間的關系. 同時，農村初中生因為認知素材的相對缺乏，需要更多的數學思想來構建數學知識，因此以建模思想驅動農村初中數學教學極為適切.

以建模思想驅動農村初中數學教學的另一層意蘊，在于教師與學生基于數學模型及其建構形成一對融洽的教與學的關系. 上面提到的兩種銜接關系的存在就超越了簡單的數學知識學習與運用，其不僅符合課程改革中提出的“用數學教”的思想，而且對提升學生的數學學科核心素養，讓學生帶著數學建模思想去觀察、分析、審視身邊事物帶來了極大的好處. 因此，基于“建模思想”研究初中數學教學策略，應當說是核心素養培育背景下數學教師的專業成長重心，值得提倡.