MPCK視角下的小學數學“綜合與實踐”教學研究

侯正奎

[摘 要] MPCK是數學學科知識（MK）、教學法知識（PK）和學生學習相關知識（CK）三者的交集與整合，是數學教師有效設計和實施“綜合與實踐”所需要的必備知識。教師結合具體教學需求和實際情境，對MPCK的有效整合、加工和轉化，是提高教學效率和教學質量的核心和關鍵。

[關鍵詞] MPCK；小學數學；綜合與實踐

根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》，小學數學“綜合與實踐”活動是以數學問題為引領、以學生全程自主參與為主、數學實踐過程相對完整的學習活動。活動的目標是“培養學生綜合運用有關知識與方法解決實際問題，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累學生的活動經驗，提高學生解決現實問題的能力。”

基于課標精神，小學數學教師對“綜合與實踐”活動的設計和組織實施都與常規的課堂教學不同，更側重對學生綜合應用數學知識和方法去解決數學問題的引導與指導：在內容上，關注的是“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”等數學知識和方法的綜合及實際應用，不是對個別具體數學知識點的聚焦和探索；在方法上，重在問題引領和指導實踐，不是僅在課堂上的直接講授；在環節上，一般包括選題、活動實施、活動結果展示與評價等多個環節，是一個相對完整的學習活動，不是簡單的問題思考及回答；在活動時長上，根據選題與活動實施階段設計，用時短的活動可能在課堂教學過程中就可以完成，用時長的可能需要延續一個學期。

因此，小學數學“綜合與實踐”的有效落實，對小學數學教師的專業知識儲備及綜合應用能力都提出了較高的要求，這就涉及到數學教師MPCK的有效發揮。本文結合實例，簡要分析MPCK視角下的小學數學“綜合與實踐”教學和指導。

一、MPCK的含義及結構

國內外不同學者從不同角度對MPCK進行了定義和闡釋，綜合多種觀點，可以認為，MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge）是數學學科教學知識的簡稱，具體包括三類知識，即：數學學科知識（Mathematics Knowledge，簡稱MK），一般教學法知識（Pedagogical Knowledge，簡稱PK），學生學習相關知識（Content Knowledge ，簡稱CK），MK、PK、CK三者的交集與整合就是MPCK。隨著數學教師的不斷學習和經驗積累，其所具備的MK、PK、CK知識會逐漸增多和豐富，相應的，其所具備的MPCK知識也會隨著增加和豐富。如圖所示：

MPCK是數學教師有效設計和實施“綜合與實踐”所需要的必備知識，在教學實踐過程中，需要結合具體的教學需求和實際情境進行整合、加工和轉化。

二、MPCK視角下的“綜合與實踐”活動設計

小學數學“綜合與實踐”活動方案的有效設計，是順利組織實施的基本前提。

教師在進行活動設計時，首先需要調動MK知識，對小學階段需要學生掌握的數學知識體系和結構、各個數學知識之間的聯系和最佳學習順序等有準確的把握；其次調動MCK知識，對學生的年齡特征、認知特點、已學數學知識、已有生活經驗等進行分析和準確把握；再運用PK知識分析“綜合與實踐”活動的教學和指導可以采用的有效策略和方法。

在此基礎上，教師再充分發揮MPCK的核心作用，綜合PCK、MPK、MCK知識，選擇需要學生掌握或學會應用的、在學生“最近發展區”之內的數學知識，設計最適宜的學習目標，結合本地生活實際進行思考和研制，將數學知識轉化為學生可以接受和理解的“綜合與實踐”數學問題，設計合理的活動環節，形成學生可以采取的解決問題路徑的基本假設，并搭建有助于解決問題的必要“通道”或“橋梁”，以及可以促進學生自主參與和有效合作的活動環節等。需要注意的是，教師在設計問題時，不但要考慮多個數學知識之間的聯系和綜合應用，還要考慮數學學科與其他學科之間、與實際生活之間的聯系。

例如，教師有效運用MPCK知識，在分析基本學情和小學數學知識體系之后，結合教學目標，將數學計量、基本計算、數據統計、比例計算等數學知識的綜合應用與《品德與生活》的課程內容進行整合思考和設計，再結合常見的“用水浪費”生活現象，形成主題為《節約用水》的小學六年級數學“綜合與實踐”活動方案。所涉及的方案中，包括以MCK和PCK知識為主而做出的學情分析，以MCK和MPK知識為主而設計的教學目標，以PCK和MCK知識為主而設計的教學重點和難點分析，以及基于MPCK知識而設計的課前準備、教學導入、教學情境設計、活動組織流程設計等。如，活動第一階段“觀察、調查和測量”，包括“通過網絡查找了解我國的水資源情況，以及缺水干旱地區及當地人民的生活狀態”“觀察學校中浪費水的現象，并記錄下來”“調查生活中還有哪些浪費水的現象或行為，并記錄下來”“調查學校中有多少個水龍頭漏水，并用量杯測量單位時間內的流水量”“測量班級里的水桶可以裝多少升水”“全班同學喝水杯子里要倒掉的潔凈水全部倒入水桶，每日測量當天本班同學浪費的水量”等；活動第二階段“總結、計算和統計”，包括“總結我國的水資源情況（總量、湖泊水量、降雨量等）”“總結學校中和日常生活中浪費水的行為有哪些”“根據測量數據，計算學校水龍頭因漏水而浪費掉的水的總量（一小時、一天、一月、一年）”“根據測量數據，計算全班同學僅從倒剩水浪費的水量（一天、一月、一年）”等。

三、MPCK視角下的“綜合與實踐”活動指導

小學數學“綜合與實踐”活動實施的效果是否理想，教師自身MPCK知識作用的發揮可謂是關鍵因素。

首先是問題發現與分析環節。教師需要應用MPK知識和CK知識，引導學生從融入了數學綜合知識的實際生活現象中發現問題，結合已學的數學知識去思考，嘗試把生活問題歸納為數學問題，再進一步尋找解決問題的方法或路徑，選擇可以與自己一起共同解決問題的合作伙伴，共同設計解決問題的方案，并判斷方案落實的可操作性和必需的人力或物力支持。

其次是問題解決環節。教師需要首先調動MPK和MCK知識并有效轉化，引導學生快速進入“小研究者”的角色，激發學生自主自覺參與活動的積極性，促進學生之間的團結合作；再將MPCK知識轉化為教學知識和教學策略，將“綜合與實踐”的教學任務轉化為學生可以真實獲得數學能力的實踐過程，對學生的探索過程進行合理、有效的指導，最終落實教學目標，促進學生數學活動經驗的積累，實現對學生數學知識應用意識和應用能力的培養。應用MPCK所轉化的“綜合與實踐”教學指導，包括：引導學生明確解決問題的探索路徑和方法；選擇和提供有利于促進學生理解問題的最佳表達與互動交流方式；準確判斷學生對問題的看法及遇到的困難，有針對性地幫助學生解除疑惑、解決探索路徑中的障礙；基于CK的認知圖式，實現教學過程中以促進學生有效學習為目標的MPCK二次轉化，化解學習難點，促進知識理解等。

例如，組織《參觀動物園》數學“綜合與實踐”活動，教師可以充分調動MPCK知識，轉化成學生可以理解的含有數學問題的生活情境，引導學生不斷進行思考和探索，如“全班33人，加上教師2人，一起坐大巴到動物園，一輛大巴能載18個人，需要預約幾輛大巴車？”“從學校到動物園約15公里，大巴車一小時可以走40公里，我們上午7點準時出發的話，幾點能到動物園？”“動物園的門票總價是50元一張，學生半價，每位同學應該帶門票錢多少元？這次到動物園全班買票總共需要多少錢？”在這些情境中，教師應用MPK和MCK知識，引導學生快速進入“小當家”的角色，并在學生思考、討論和計算的過程中，充分發揮MPCK的作用，引導學生找到解決問題時需要應用的數學計算知識（MK知識為主），幫助學生解除困惑并完成相應的數學計算（MPK和MCK知識為主），培養學生的數學知識應用意識和應用能力。在進入動物園后，教師充分利用MPK知識，激發學生的求知欲望，鼓勵學生用文字或照片的形式記錄下一些動物的身高、體重、奔跑速度等基本數據信息，在集體休息時間玩游戲，再次調動MPCK知識，引導學生給動物的身高、體重、奔跑速度等進行排隊，并進行動物體重的加減計算和比較，從而實現學生對數的加減和大小比較的練習。

四、MPCK視角下的“綜合與實踐”活動評價

小學數學“綜合與實踐”活動的合理恰當、對學生真正有促進作用的教學評價，需要是過程性評價與總結性評價相結合的綜合評價，但要以過程性評價為主，這也是需要教師充分調動MPCK知識并有效轉化的。

小學數學“綜合與實踐”活動是一個相對完整的對數學問題探索和解決的過程，教師在過程中的引導、指導和及時的反饋評價十分重要，因此，在活動過程中易于采用過程性評價，并且靈活運用語言激勵、肢體鼓勵、引導指正、量化計分、成果評優多種有效的評價方式。教師需要基于MPK的過程性評價知識，確定在此項活動過程中需要評價的指標和維度，并不斷觀察、思考和判斷，結合PKC知識，對學生的階段性進步和成果給予及時肯定，促進學生的進一步探索學習；發現學生問題時則有效轉化MPCK知識，選取最佳的語言和方式，對學生進行及時的引導和糾正；對于學生合作過程中出現的情緒問題，則可以及時調用MCK和MPK知識，對學生進行有效的梳理和引導。

對于學生的實踐活動成果，教師需要運用MPCK知識，思考通過成果可以實現的教學目標，以及最佳的成果呈現方式、成果分享活動組織流程等。在成果分享活動環節中，教師有效運用MPCK知識，尤其是MPK知識，用恰當的組織形式和語言引導、評價反饋，不但讓學生體會到自己成果的價值，獲得成功的喜悅，還讓學生有效觀察和體會其他同學的學習成果，從同學的介紹中學習更多的解決數學問題的思路、方法和策略，學習大家面對數學問題迎難而上、堅持到底的精神。對于學生成果中體現出來的對數學知識的理解不足、綜合應用能力欠佳、解題思路不清晰等問題，教師有效轉化MPCK知識，進一步地講解、指導和強化，確保活動的有效性，提高教學實效性。

例如，教師完成《折線統計圖》教學之后，調動MPCK知識，充分分析學生對已學統計知識“統計表”和“條形統計圖”等的掌握情況，以綜合復習統計知識為目標，設計并組織《一周天氣》的“綜合與實踐”活動，包括“一周天氣調查與統計（溫度、陰晴、風情）”“一周天氣統計表”“一周天氣情況播報（條形統計圖、折線統計圖、文字總結）”幾個實踐環節。相應的活動評價，教師充分發揮PK知識中的評價知識，并有效轉化PCK和MCK知識，首先針對每個環節的教學目標制定具有可操作性的評價表，明確評價的維度、指標和打分標準，采取組內評價、組間評價和教師評價的綜合方式進行，如“折線統計圖”實踐環節的評價表包括人員及分工、完成繪圖的時長、有無查看條形統計圖的教材知識或學習資料、繪圖過程中小組成員討論的主要問題、存在的困難及解決方法、繪圖結果是否正確、錯誤之處有什么、如何糾錯等，統計表由學生填寫完成，教師則在學生小組自評和互評、活動過程中觀察和判斷的基礎上，充分調動和轉化MPCK知識，對學生的掌握和應用情況快速總結與分析，梳理出學生存在的主要困惑和核心問題，再逐一講解指導，重點突破。在學生實踐過程中，教師適時介入，進行必要的評價反饋，及時肯定、激勵或指正、糾偏，啟發智慧，激活思維，鼓勵學生積極、自主地思考、分析、討論和探索。

綜上所述，小學數學教師需要通過不斷學習和研究去完善自身的MPCK，學會分析MPCK教學實踐案例，建構自身的最佳MPCK結構，并用MPCK的視角去思考和設計“綜合與實踐”活動教學，在自身的實踐和反思中不斷提高個人的專業能力，充分發揮MPCK在小學數學教學中的核心應用價值，進而促進自身的專業發展，提高教學效率和教學質量。

[參 考 文 獻]

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（責任編輯：李雪虹）