困惑的小螞蟻

趙光義

[摘 要]通過具體問題對初中數學中常見的立體圖形的表面最短距離進行了分析，能讓學生辨析學習過程中出現的錯誤.

[關鍵詞]最短距離；初中數學；立體圖形

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）14-0034-02

立體圖形表面最短路徑問題與生活實際聯系密切，能多方面考查學生的知識與技能.在實際教學中，學生對這類問題的掌握過于機械，有時甚至公式般的套用，他們對具體問題不做深入的思考，針對不同情況，不做具體分析，以致錯誤.

問題1：如圖1所示，有一個棱長為a的正方體，在頂點A處有一只螞蟻，它想吃到頂點B處的食物，沿著正方體的表面爬行，則需要爬行的最短距離是多少？

分析：將正方體表面展開，如圖2，連接AB，則線段AB的長度即為螞蟻爬行的最短距離.在Rt[△]ABC中，AC=2a，BC=a，根據勾股定理可得：AB=[AC2+BC2=（2a）2+a2=5a].對于這一點，學生都能理解、掌握.但是，這個問題一旦放到長方體中，有的學生也就簡單機械地模仿著這個過程來解決問題，往往會出錯誤.

如圖3，長方體的棱長分別為a、b、c （a>b>c>0） ，在頂點A處有一只螞蟻，它想吃到頂點B處的食物，沿著正方體的表面爬行，則需要爬行的最短距離是多少？

解：從點A到點B有3條不同的路徑可選（如圖4所示），長方體表面展開時，展開的方式不同，連接AB后，AB的長度也不相同（如圖5、圖6和圖7）.

（i）如圖5，當長為b、c的邊展開后在一條直線上時，根據勾股定理，可得l1=AB=[b+c2+a2=a2+b2+c2+2bc].

（ii）如圖6，當長為a、c的邊展開后在一條直線上時，根據勾股定理，可得l2=AB=[a+c2+b2=a2+b2+c2+2ac].

（iii）如圖7，當長為a、b的邊展開后在一條直線上時，根據勾股定理，可得l3=AB=[a+b2+c2=a2+b2+c2+2ab].

∵a>b>c>0，∴l1< l2< l3.

所以，路徑①的距離最短.

“小螞蟻沿著立體圖形的表面爬向另一個點去吃可口的食物，要求小螞蟻爬行的最短路徑”一類問題，當長方體的長、寬、高不等時，螞蟻爬行有三種不同的路徑，這三種路徑中，到底是哪條路徑最短，得通過計算比較，再做出選擇.在這個問題中，學生往往機械地利用正方形的方法，不做仔細的思考，任選擇其中的一種作為最短距離，容易出現錯誤.

問題2：如圖8，在圓柱體中，在點A處有一只螞蟻，它想吃到點B處的食物，沿著圓柱體的表面爬行，則需要爬行的最短距離是多少？

解析：設圓柱體的底面半徑為r，高為h，螞蟻從點A，沿著圓柱體的表面爬行，到點B處吃食物，如何爬行，才能使得爬行路徑最短？此時，有兩條路徑可以選擇，路徑①如圖9：A-B；路徑②如圖10：A-C-B，但是哪一條路徑更短呢？

路徑①，如圖11， 路徑為l1=[AB=AC2+BC2=h2+（πr）2].

路徑②，路徑為l2=[AC+BC=h+2r].

（i）當l1> l2時，[h2+（πr）2]>[h+2r]，

得：[r>4π2-4?h].此時路徑②較短.

（ii）當l1=l2時，[h2+（πr）2]=[h+2r]，

得[r=4π2-4?h]，此時兩路線相同.

（iii）當l1

得[r<4π2-4?h]，此時路徑①較短.

問題3：小河的同側有兩個村莊A、B.現想在小河邊建一個水站，向兩村莊送水，不考慮其他因素，要求所鋪設的管道最短，求水站的位置，并求此時管道的長度.

解析：水站的位置有兩種選擇的方案，如圖12和圖13.

設A到直線l的距離為a，點B到直線l的距離為b，（a

如圖12，l1=PA+PB=A′B=[m2+（a+b）2].

如圖13，l2=PA+AB=[a+m2+（b-a）2].

（i）當l1>l2時， [m2+（a+b）2]>[a+m2+（b-a）2]，

即12[b2-3a2>4m2]時，l1> l2.此時路徑②較短.

（ii）當l1=l2時， [m2+（a+b）2]=[a+m2+（b-a）2]，

即[12b2-3a2=4m2]時，l1=l2.此時兩路線相同.

（iii）當l1

即[12b2-3a2<4m2]時，l1

（責任編輯 黃桂堅）