數學教學中運用數學史的方式探究

徐潔 張波

摘 要：數學史講述了數學發展的歷史，揭示了數學思想方法的起源。而在實際中小學的教學中，很多數學教師因為考試壓力，只重視教學生硬邦邦的公式、概念，忽視了數學作為人類創造，服務生活的人性美。在數學教學中合情合理的運用數學史可以幫助學生打開數學思路，提高學生對于教學內容的認知，體現數學的育人價值，也更容易完成學習目標。本文通過附加式、復制式、順應式、重構式四種方式的具體案例探究數學教學中數學史的運用方法。

關鍵詞：數學教學；數學史；運用方式

隨著1972年HPM（數學史與數學教學的關系國際研究小組的簡稱）的成立，廣大數學教育者開始開發數學史的教育價值。美國數學史家卡約黎曾經說過，數學史知識是“使面包和黃油更加可口的蜂蜜”。而如何應用數學史為學科教學服務，使其不僅發揮文化功能，增加趣味性，還能直接或間接的幫助學生對有關數學教學內容更好的認知，促進學生的發展，不同的數學學者提出了不同的想法。而本文介紹的主要是在Fauvel、Tzanakis、Jankvist等人的基礎上總結整理的運用數學史的四種方式：附加式、復制式、順應式和重構式。具體如表1所示。

借鑒或者重新構造教學知識發生發展的歷史。適應于“發生教學法”中，激發學生學習動機，完成教學目標。

四種方式各有千秋，可以根據教學內容選擇合適的某一個方式或者組合方式，最終目的都是使數學史融入課堂教學當中，提高學生對于所學知識的認知，完成有效教學。例如，在小學數學圓周率的學習中，可以采用附加式方法，通過介紹古代數學家祖沖之的生平事跡，激發學生對于中國圓周率領先世界一千年的民族自豪感。在初中數學“二元一次方程組”的學習中，可以采用復制式和順應式相結合的方法，引用《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題，既活潑生動又能激發學生學習新知識的熱情，之后的對于題目的改編，有助于學生對于新知識的鞏固。而在高中數學的對數學習中，可以采取重構式的方式，通過借鑒當時對數發展時遇到的問題，讓學生親自經歷尋求簡捷算法的過程，更加理解對數產生的思想方法，有助于之后的對數教學。但是值得注意的是，數學史并不能融入所有的學習單元，強行硬加可能會適得其反，不僅影響教師的教學計劃，還會影響學生學習積極性。因此，在適合數學史融入的教學中選取合適的方式尤為重要。以下將詳細舉例四種方式的運用。

一、 附加式

例：笛卡爾與解析幾何學

在講解高中必修二“空間直角坐標系”前，可以在PPT上展示笛卡爾的頭像，向學生講述我們將要學習的空間直角坐標系的始祖，第一個傾斜坐標的誕生，利用坐標系誕生的有趣故事，啟發學生對于坐標系的認知，再通過講解解析幾何學的意義及現在解析幾何學的前沿課題，增加學生的數學視野。

美國數學史家M.克萊因曾經這樣評價：“代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就會緩慢，隨之而來，應用也會變得狹窄。只有當二者結合，才會互相完善。”而將二者結合在一起的正是笛卡爾。早在很久以前，古希臘學者就開始研究曲線，卻一直苦于找不到曲線表示的方法。17世紀的法國數學家笛卡爾出色地解決了這一難題。他將構成曲線軌跡的點用有序數對表示，從而建立曲線的方程。巧妙地將幾何問題轉化為代數問題。而笛卡爾當時用的坐標系并不是現在常見到的直角坐標系，而是傾斜坐標，這也是數學史上第一個坐標系。

講到這里，同學們肯定覺得笛卡爾是因為非常聰明才取得如此大的成就，實際上笛卡爾從小身體弱，上學也比別人晚，只是特別刻苦努力，愛思考問題。有一個有趣的故事說笛卡爾創立解析幾何的靈感來源于天花板上的蒼蠅，笛卡爾躺在床上望著天花板上的蒼蠅，不停地思考如何描述曲線軌跡，突然想到可以將蒼蠅看為運動的點，根據蒼蠅與各個墻壁的距離確定蒼蠅的位置，用數字表示出蒼蠅位置，從而得到蒼蠅這個點的運動軌跡。從中可以看出每一個成功都離不開背后的努力。

笛卡爾和費馬創立的解析幾何學，打開了數學新世界的大門，開啟了數學新時代。后來的數學學者站在巨人的肩膀上，利用數形結合、類比的思想，不僅表示出三維空間的點，還推廣到四維空間甚至高維空間，極大促進了數學的發展。讓人欣喜的是，解析幾何學并沒有停滯不前，反而愈加充滿活力，現在高等教育中的泛函分析及代數幾何便是其分支。

通過上述附加式的引入，不僅讓學生了解到早期的坐標系誕生的背景，也感受到了坐標系的誕生為數學學者研究幾何學提供便利，更重要的是笛卡爾勤于動腦的好學精神，更加值得同學們學習。

二、 復制式

例：斐波那契數列

（一） 引入題目

教師：同學們，現在我們來看一個老朋友。（展示PPT）大家眼熟嗎？

學生看到后紛紛表示這個是小學時候的兔子數列。

教師：同學們的記憶力真好，這個兔子數列是意大利數學家斐波那契提出的，因此也叫作斐波那契數列。同學們可以看出來斐波那契數列的規律嗎？

由于比較簡單，學生回答比較快。即從第三項開始，每一項都是前兩項的和。

教師：非常好，那我們可以得到規律即：Fn+2=Fn+1+Fn（n∈N+）。但是這個并不是斐波那契數列的通項公式，同學們能不能根據我們已經學過的等差數列及等比數列的知識，求出斐波那契數列的通項公式呢。在PPT上展示題目：

已知F1=F2=1，Fn+2=Fn+1+Fn（n∈N+），求數列Fn的通項公式。

（二） 引導解題

學生列出表格觀察每一項的規律，列出表格：

通過復制式方式，將斐波那契數列融入高中數學解題中，學生們在利用所學知識的解題過程中，也能感受到數學的神奇與美麗。數學家們發現的問題被學生們解決，學生也會感受到收獲知識的喜悅感、成就感。

三、 順應式

例：解二元一次方程組

在解“二元一次方程組”中，經常會采用《孫子算經》中的“雞兔同籠問題”引入，其實，中國傳統數學非常重視算術及應用，唐代時，就有了《算經十書》作為人們學習數學的教材。其內容也為中學課堂教學提供了豐富的課程資源。比如在《張邱建算經》中，就有“百雞問題”，“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”這個問題可以列三元一次方程組解決。而我們在學習解二元一次方程組，可以將其改編為二元一次方程組的問題。

買一只母雞需要十元錢，一只小雛雞需要兩元錢，現在共買了母雞和小雛雞共18只，花費100元錢，問：買了多少只母雞，多少只小雛雞？

這個問題列二元一次方程組即可解決。借助數學史改編的問題引入，也可告訴學生，早在公元5世紀左右，我們的數學家就開始用方程解決實際問題，不僅有二元一次方程組，還有三元一次方程組。可見中國古人善于在實際情境中從數學的視角發現問題、分析問題、解決問題。

四、 重構式

例：復數的引入

我們熟悉的復數教學表面容易教，記住公式多做題就可以取得成績，實際上卻難于讓學生掌握對于復數的本質理解，真正認同復數。不妨嘗試重構式教學，用發生的方法引導學生參與到復數的歷史中來。

（一） 卡丹的發現

解方程組

x+y=10.xy=40

學生解得結果為x1=5+-15，x2=5--15，感覺自己解錯了，出現了負數的開方，但是驗證卻是正確的。實際上，這與16世紀的意大利數學家卡丹的經歷是一致的。他在解出這個題目后，認為這很矯揉造作卻又自圓其說。其實，早在卡丹以前，也有數學家發現了虛數，但都以負數沒有平方根直接否決了。卡丹卻承認了這種形式的數，并且將它用于計算。卡丹的這種敢于突破傳統實事求是的精神很令人佩服。

（二） 邦貝利的觀察

套用卡爾達諾公式x3=px+q（p，q均為正數）解x3=15x+4。

由于這個公式學生也不是很熟悉，教師可以嘗試給予方法幫助學生解決，師生共同參與解得x=32+-121+32--121。

再次出現負數的開平方，同學們出現疑惑，難道方程的根不存在？而通過師生的觀察和嘗試，發現這個方程竟有三個實數根，分別為：4，-2+3，-2-3，這與剛才利用卡爾達諾公式所解的答案似乎有矛盾。邦貝利也遇到了與同學們相同的問題，但是他沒有像他的前輩卡丹一樣，回避這個矛盾，而是直面問題得到了一個意想不到的結果。

邦貝利假設32+-121=a+-b，32--121=a--b

解得：a=2b=1

則：x=32+-121+32--121=2+-1+2--1=4

邦貝利創造性的使用了-121，-1這種形式的數，矛盾解決了，也使這種形式的數有了存在的意義。笛卡爾將其命名為“虛數”，意思為想象中的數。而隨著數學學者發現了復數在幾何上的意義，復數在數學上逐漸得到大家的認可，有了用武之地。

通過上述采用重構式的引入，讓學生參與到復數的歷史中來，遇到了與數學家相同的問題，逐步克服認知障礙，提高學生對于復數的認知能力，增加學生學習復數的動機。同時也感受到數學上的每一個發現都不是憑空出現的，而是人類在探索數學世界時不同時期不同數學家共同努力，遇到問題解決問題的結果。

總而言之，在數學教學中使用數學史的方式有很多，不僅有文中的附加式、復制式、順應式、重構式，還可以采用其他方法。其根本目的都是幫助學生更好的學習數學，形成良好的數學素養和文化素養，也使不同的學生在數學上得到不同的發展。

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作者簡介：

徐潔，張波，江蘇省揚州市，揚州大學數學科學學院。