數學表示：打通初中數學學習與運用的“任督二脈”

孫咸理

[摘 要] 初中生在數學學習中常常表現出“學”難以致“用”的情形，其機制性原因在于學生的輸入沒能有效地轉換為輸出. 要打通學與用的“任督二脈”，可以借力“數學表示”. 讓學生在數學學習與運用的過程中充分進行數學表示，可以促進學生信息加工能力的提升，進而提升學生運用數學知識的能力.

[關鍵詞] 初中數學；數學學習；數學運用

在初中數學教學中總遇到一個問題，那就是學生之所學，不能真正之所用. 就拿數學解題來說，一線教師最煩惱的是，學生對數學知識的運用，需要多次重復才能收到應有的效果，也才足以應付當前以考試為主要形式的評價. 而就算訓練到一定程度之后再遇到同樣的問題時，一旦問題的情境發生變化，學生所掌握的知識又不足以應付這種變化. 于是學生著急、教師揪心：怎么一變就不會了呢？

筆者分析這一現象后認為，這里存在一些學習的內在機制問題，即學生所學不足以應付習題之所用的一個重要的原因是在“數學表示”上出了問題. 如果學生在遇到熟悉問題時能夠順利解決，那很大程度上是機械訓練的結果，類似于行為主義心理學中的條件反射，而當問題情境發生變化時，這種反射就不能發生了，自然新的問題求解也就遇到了困難. 那么，為什么說數學表示可以解決這一問題呢？這是因為，在初中數學教學中，學生之所學，實為基于教師提供的情境進行的知識建構，而學生之所用，實為新情境中條件發生改變時對創新思維的需要. 這兩者猶如武俠小說中高手修煉時的“任督二脈”，它們并不天然相連，只有用高明手段打通之后，才能提升修煉者的功力. 而數學表示之所以具有打通“任督二脈”的作用，關鍵就在于，其能夠同時面向學與用，并在思維的高效運用中有所突破. 下面，筆者分三點進行簡述.

數學表示的內涵與外延概述

數學表示是一個極為通俗的概念，其是指學生在學習過程中對數學概念、結論、問題等內容的理解，用屬于數學范疇的語言、文字、符號或圖表的形式將其表示出來.

這個表示不同于學生照用現成的數學概念表述. 比如學生學習全等三角形，不是說照著教材上說出“形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合的圖形叫全等形”就行，因為這不是真正的數學表示，而只是現有數學語言的直接復述，充其量只用到了大腦的記憶功能，而沒有涉及思維. 真正的數學表示是面向思維的，學生在數學表示的過程中，需要通過自己的思維去加工所學對象，進而用數學語言進行描述. 顯然，這里既有最基本的精確描述的要求，其指向學生的概括能力，同時也指向信息的有效輸入與輸出，因此是一個信息加工的過程.

初中階段的數學學習需要學生在數感、符號意識、空間觀念、幾何觀念、模型思想等方面形成較為深刻的認識，這種認識顯然不是自然發生的，更加不是在行為主義式的反射中形成的，而是在學生學習、內化之后，經由有效的數學表示形成的. 數學表示的內涵可以在數學家格勞斯的描述中獲得認識，其在《數學教與學研究手冊》中明確指出，“（數學）表示的方法通常是外部的，其形式包括口頭語言、書面符號、圖畫或其他物理客體等”，這樣的表述給筆者的啟發是，數學教學一定要強調學生在學習之后的有形表達，只有學生能夠將自己的所學，用自己擅長的形式表示出來時，才能說學生對新學知識基本建構成功了. 譬如上面所舉的“全等形”，學生可以用語言描述（最好是自己的語言，而不是課本上語言的直接照搬）；可以用動作描述，如比畫兩個什么樣的圖形怎樣完全重合；還可以現場模擬，如有學生用兩本教材疊在一起，說這就是全等形，筆者以為這種信手拈來的動作，就是有效的數學表示.

同時筆者以為，數學表示也不是簡單的數學表示，其更多地反映了學生在數學學習中的所思、所想. 教師可以從學生的數學表示中看到他們建構數學知識的過程，知道好在哪里、差在何處，這樣，教師的教學更可以有的放矢，從而更順利地幫學生打通“任督二脈”，真正學以致用.

利用數學表示促進知識理解

學生在學習的過程中，很多時候對數學知識的理解似乎并不是自然發生的，機械學習的情形比較常見. 我們在責怪學生學得太呆板的時候，似乎也忘記反思為什么學生會這樣了. 顯然，只簡單地責怪學生是沒有用的，還是要從學習機制上著手，讓學生擺脫“死學”的狀態. 基于以上分析，顯然數學表示可以發揮這樣的作用.

在“最短路徑問題”的課題學習中，可以從“兩點的所有連線中，線段最短”引入“最短路徑”這一問題，然后提供一些真實情境，讓學生思考如何解決問題. 這里借助教材，可以提供這樣的問題：如圖1，牧馬人從A地出發，到一條筆直的河（l）邊飲馬，然后回到B地，牧馬人到什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

筆者以為解決這一問題時不能太快，那慢要慢在哪里呢？慢在問題分析、解決的過程中，具體包括如下三點：

一是對問題的重新表征. 這里可以對原題進行一些改造，即在提供文字命題的時候，不提供具體的圖形，而是讓學生根據問題的表述去構思圖形，這也是一種數學表示，是將文字信息轉換為圖像信息的過程. 事實證明，這一過程中的教學含金量還是挺高的，因為我們通常向學生強調審題的重要性時，所指的審題絕對不只是讀題，而是理解題目的意思，而當教師給學生一個明確的任務——用圖形表示題意時，其便具有任務驅動的性質. 事實也證明，對于這一任務，學生是感興趣的，因為圖形本就是形象思維加工的對象，初中階段的學生仍以形象思維為主要形式，于是他們就根據題目中給出的A點、B點、筆直的河邊等，構架三者之間的位置關系. 這里其實又是一個數學抽象的過程，最終學生形成的兩點（A，B點）和一線（表示河的l），既簡潔又明晰，可以為學生解決這一問題奠定良好的基礎.

二是對問題解決的表征. 抽象問題得到圖像之后，這個問題該如何解決呢？原問題中“牧馬人到什么地方飲馬”如何轉變成“尋找河邊的某個點”，“可使所走的路徑最短”如何與軸對稱知識聯系起來，這些都是本環節的重要問題. 筆者在教學中所做的引導是：如果直接從A點到B點，那自然是線段最短；現在多了一個中轉的過程，假設河邊的點是C，那就是求AC+BC距離之和最短，如何保證其最短呢？在這個問題的驅動之下，學生思維的對象顯然就是兩條線段及其求和了. 此時教師不要過于提前給學生以提示，而要讓學生自己想，最多提醒學生軸對稱知識在此是不是可以運用. 這樣置學生于問題解決的困境當中，可以“逼”著他們去思考. 此時采用的教學方式可以是合作學習，因為學生此時的合作必然會讓學生有一個充分的交流過程. 交流意味著語言運用，語言運用意味著對題意的理解與把握，而這就是一個比較充分的數學表示過程. 且隨著討論的深入，這個數學表示會越來越精確. 一旦學生想到求A點或B點的對稱點時，這個數學表示就基本完成了.

三是對問題解決過程回顧的表征. 一個數學問題是如何得到解決的？這個問題常常游離于學生的數學學習之外，因為在實際教學中我們看到的更多的情形是，學生解完一道題之后就去解下一道題（不信你看試卷講評時，常常是一頁講完了，學生隨手就翻向后面一頁了，絲毫沒有對剛剛所講最后一題進行回顧的意思）. 筆者以為，這體現了學生缺乏學習反思的意識與習慣. 但學習反思又不能只是簡單的回憶，一定要讓學生把解題過程說出來或比畫出來，至少要讓學生說說這一題先怎么解，再怎么解. 不要小看這個過程，學生的這一數學表示過程，實際上是一個解題思維提純的過程. 不讓學生說，學生大腦里的思路常常是模糊的；讓學生說，他們必然會重新加工這個解題過程，于是就會“逼”著將思路重新整理，進而清晰地表達出來.

以上三步都是數學表示的重要環節，其對于學生清晰地掌握、運用數學知識非常有益.

數學表示對學習品質的完善

行文到這個地方，相信不少同行已經認識到，數學表示不僅可以讓學生有效地掌握所學知識，更能提升學生的數學學習品質.

有經驗的同行都知道，學生學得好不好，最為關鍵的是學生的數學學習方法是否正確，而學習方法受學習品質的支撐. 學生只有擁有好的學習品質，才可能進入較好的學習狀態. 數學表示作為將學生的內隱思維過程清晰化的過程，從機制上保證了學生必須將思維加工的對象用語言、動作、符號、圖表等表示出來. 進入數學表示的學習狀態，思維就會對所學內容進行再加工，從而進行數學表示，這就意味著，對數學知識的掌握是可靠的，是可以有效地向外輸出的. 反之，不能進行數學表示，即意味著不能輸出，不能輸出，自然就不可能學以致用了.

總之，數學表示在初中數學教學中起著由“學”向“用”的轉承作用，可以有效打通學、用的“任督二脈”，從而讓學生的數學學習變得更加高效.